高一数学：复数的加、减运算及其几何意义

第七章复数

7.2复数的四则运算

7.2.1复数的加、减运算及其几何意义

课标要求熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则，理解复数加、减法的儿

何意义.

【引入】1.上一节我们学习了复数的几何意义，请同学们思考：复数、点、向量

之间的对应关系是什么？

2.实数可以进行加、减、乘、除四则运算，且运算的结果仍为一个实数，那么复

数呢？

3.多项式的加、减运算法则，合并同类项法则是什么？

一、复数的加、减运算

探究1多项式(3"+2〃)十(2〃一3/的运算结果是什么？多项式的加减法遵循什

么原则？

提示5a—b;合并同类项.

【知识梳理】

I.设zi=〃+Z?i,Z2=c+di(〃，b,c,dWR)是任意两个复数，则

(l)zi+Z2=(a+c)+(/?+d)i；

(2)z|—Z2=(〃-c)+(h—d)i.

2.对任意Zl,Z2,Z3CC,有

(I)zi+z2=z2+zi;

(2)(zi+Z2)+Z3=Zl+(Z24-Z3).

例1(链接教材P76例1)(1)计算(2+4i)+(3—4i)；

(2)计算(-3—4i)+(2+i)—(1—5i).

解(1)原式=(2+3)+{4—4)i=5.

(2)原式=(-3+2—l)+(—4+l+5)i

=-2+2i.

思维升华1.复数的加、减运算类似于多项式的合并同类项.

(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.

⑵把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项.

2.对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算，运算的

结果仍然是一个复数.

训练1(l)(l+3i)+(—2+i)+(2—3i)=.

⑵已知zi=(3x—4y)+(y—2x)i,Z2=(—2x+y)+。-3y)i,x,＞为实数，若zi—Z2

=5—3i,则|zi+z2|=.

答案(1)1+i

解析(1)原式=(l-2+2)+(3+l-3)i=l+i.

(2)因为z\—Z2=[(3x—4y)+(y—2x)i]—[(—2i+y)+(x—3y)i]=[(3x-4y)—(—+

y)]+[(y-2Y)—(x—3y)]i=(5x-5y)+(—3x+4y)i=5—3i,

5x-5y=5,fx=l,

所以.L2解得n

〔一3x+4y=-3,ly=O,

所以z【=3—2i,Z2=—2+i,

则zi+z2=1-i,

所以|zi+z2|=&.

二、复数加、减运算的几何意义

探究2我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐

标运算法则是什么？向量加法的儿何意义是什么？

提示设应I=m，b),应2=(c,d),则应1+应2=(。，Z?)+(c,c/)=(a+c,b+

d).

几何意义是以应],应2为邻边作平行四边形0ZlZZ2的对角线.

【知识梳理】

如图，设应I,应2分别与复数历，c+di对应，则应1=(4,8)，0Z2=(ctd).

由平面向量的坐标运算法则，得O2i+O22=(〃+c,b+d),OZi—OZ2=(a-cfb

一d),这说明两个向量应1与应2的和就是复数白土©±鱼垃_对应的向量，两个

向量应】与注的差就是复数(a—c)+g—d)i对应的向量.

因此，复数的加法(减法)可以按照向量的加法(减法)来进行，这就是复数加法(减

法)的几何意义.

例2如图所示，在平行四边形QA8c中，顶点。A,。分别表示()，3+2i,-2

+4i.求：

(1)历所表示的复数，比所表示的复数;

(2)对角线以所表示的复数；

⑶对角线为所表示的复数及宿的长度.

解(1)因为0—(3+2i)=-3—2i,

所以劭所表示的复数为一3一2i.

因为反：=启,

所以反1所表示的复数为一3一2i.

(2)因为讨=次一无所以N所表示的复数为(3+2i)—(―2+4i)=5—2i.

(3)因为对角线为=―+筋=苏+反，

所以场所表示的复数为(3+2i)+(—2+4i)=l+6i,

所以|丽|=、12+62=4.

思维升华1.复数Z与复平面内的向量应是一一对应的关系，复数的加法可以按

照向量的加法来进行运算，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边

形法则.

2.类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算.

3.若用d表示平面内点Zl和Z2之间的距离,则d用私|=|ZLZ2],其中Zl,Z2是

复平面内的两点Zi,Z对应的复数.这就是复平面内两点间的距离公式.

训练2(1)已知复平面内的向量宓，油对应的复数分别是-2+i,3+2i,则|无|

(2)若zi=l+2i,Z2=2+〃i,复数Z2—zi所对应的点在第四象限内，则实数。的取

值范围是.

答案(1》四(2)(—8,2)

解析(\y：OB=OA-\-AB1

・••痈对应的复数为(-2+i)+(3+2i)=l+3i,

.,.|dB|=^l2+32=Vio.

(2)由题意得Z2-zi=l+(〃-2)i,

贝《4一2<0,即4V2.

三、复数模的综合问题

例3⑴设z£C,且|z+l|一|z—i|=0,则|z+i|的最小值为()

A.OB.1

C坐D.1

答案c

解析•・•由|z+l|一|z—i|=o,得|z+l|=|z-i|,

，复数Z表示以4—1,0),仅0,1)为端点的线段的垂直平分线0M,

设复数一i对应点C（0,—1）,|z+i|表示点Z到点C（0,—1）的距离.

当CM_LOM时，|z+i|取到最小值|CM.

又|CM=|OC|sin450=^-,

所以|z+i|的最小值为坐

⑵若复数z满足忆|=2小，且z—4是纯虚数，求复数z.

解设复数z=x+yi(x,y£R),

则z—4=(x—4)+yi,

■\1$+y=2小,

依题意,

x—4=0且yWO.

x=4,x=4,

解得或“

产一2,

故复数z=4+2i或4-2i.

思维升华1.设出复数z=x+）心，yeR）,利用复数相等或模的概念，可把条件

转化为X,），满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思

想的应用.

2.在复平面内，zi,Z2对应的点为A,3,zi+zz对应的点为C,O为坐标原点，则

四边形O4C2满足：（1）为平行四边形；（2）若|zi+z2|=|zi—Z2|,则四边形O4C9为

矩形；（3）若|zi|=|Z2|,则四边形OACB为菱形；（4）若|zi|=|Z2|且|zi+z2|=|zi—Z2|,

则四边形。ACB为正方形.

训练3设复数z=a+历（小Z?£R）,lW|z|W2,则|z+l|的取值范围是_______.

答案10,3]

解析由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，lW|z|W2表示如图所示的圆

环，而|z+1|表示复数z的对应点A（a,力与复数zi=-1的对应点6（—1,（））之间

的距离，即圆环内的点到点8的距离d.

由图易知当A与8重合时，C，min=O,

当点A与点。(2,0)重合时，dmax=3,

所以0W|z+l|<3.

【课堂达标】

1.已知复数zi=3+4i,Z2=3—4i,则zi+z2等于()

A.8iB.6

C.6+8iD.6-8i

答案B

解析根据复数的加法法则得zi+z2=(3+4i)+(3-4i)=6.

2.设z1=3—4i,Z2=-2+3i,则zi—Z2在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第二象限D.第四象限

答案D

解析Vzi-z2=(3-4i)-(-2+3i)=5-7i,

・・・Z1—Z2在复平面内对应的点位于第四象限.

3.在平行四边形A8C。中，若A,。对应的复数分别为-1+i和一4—3i,则该平

行四边形的对角线AC的长度为()

A.5B.5

C.2小D.10

答案B

解析依题意，AC对应的复数为(一4—3i)—(—1+i)=-3—4i,

因此AC的长度为|一3一4i|=5.

4.计算|(3-i)+(—1+2i)-(-1-3i)|=.

答案5

解析原式=|3—1+1+(—1+2+3)i|=|3+4i|=5.

------------------------课时精练------------------------

一、基础巩固

1.设复数z满足z+3—i=T+i,则|z|=()

A.5啦B.2小

C.4D.5

答案B

解析由题意知，z=-1+i—3+i=-4+2i,

：.\z\(-4)2+22=2小.

2.已知复数ZI=/T?2—3隙+〃尸i,Z2=4+(5〃?+6)i,用为实数.若zi—Z2=0,则m的

值为()

A.4B.-1

C.6D.0

答案B

"户一36=4,

解析由题意可得Z1=Z2,贝61

・"厂=5/〃十6,

解得/〃=—1.

3.如图所示，在复平面内，复数zi,Z2所对应的点分别为A,B,则而|=()

y

A

B

A.|Z1|-|Z2|

B.|ZI|+|Z2|

C.|Z|—Z2|

D.|zi+z2|

答案c

解析因为晶一循=成，Z1与晶对应，Z2与协对应，所以I矗1=1位|=|Z|-Z2|.

4.4,B分别是复数Zl,Z2在复平面内对应的点，O是坐标原点.若|zi+z2|=|zi—Z2|,

则4AOB一定为()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.等腰直角三角形

答案B

解析根据复数加、减法的几何意义及|Z|+Z2|=|Z|一Z2|,知以。8为邻边所

作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形.

5./XABC的三个顶点所对应的复数分别为Z]，Z2,Z3,复数Z满足|Z—Z||=|Z—Z2|

=|z—Z3|,则Z对应的点是△ABC的()

A.外心氏内心

C.重心D.垂心

答案A

解析,:由于|z—Zl|=|z—Z2|=|z—Z3|,

，复数z对应点M到△ABC的三顶点的距离相等，

故复数z对应点M是AA3c的外心.

6.已知|力=3,且z+3i是纯虚数，则2=.

答案3i

解析设z=〃+/?i(a,3£R),

因为|z|=3,所以片+。=9.

因为z+3i=〃+bi+3i=a+3+3)i为纯虚数，

。=0,4=(),

所以即1

、b+3W0,bW-3,

fa=O,

又〃2+及=9,所以所以z=3i.

S=3,

7.设y(z)=z-3i+|z|,若zi=-2+4i,Z2=5—i,则4zi+z2)=

答案3+3也

解析zi+z2=3+3i,又zi+z2)=/(3+3i)=3+|3+3i|=3+3，5.

8.若|z-2|=|z+2|,则|z-l|的最小值是.

答案1

解析由|z—2|=|z+2],知z对应点的集合是到(2,0)与到(一2,0)距离相等的点

的集合，即虚轴，

・・・|z-l|表示z对应的点与(1,())的距离，

••|z-1|min=1.

9.一个复数与它的模的和为5+Si,求这个复数.

解设这个复数为x+yi(x,y£R),

所以x+yi+52+y2=5+#i,

所以产产=5,解得卜塔

所以x~\~yi=£+小L

1().计算：(l)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)；

(2)11+3+(27)一住/)；

(3)已知zi=2+3i,Z2=—l+2i,求zi+z2,zi—Z2.

解(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)

=-7i+5—9+8i+3-2i

=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-l-i.

(2)Q+|ij+(2—i)—

43

-*-

33+■?

G3

+2-++-

--2

3J

(3)zi+z2=2+3i+(—l+2i)=l+5i,

zi-z2=2+3i—(—l+2i)=3+i.

二、综合运用

11.复数zi=1+icos8Z2=sin。-i,则|zi—Z2|的最大值为()

A.3—2gB.V2-1

C.3+26D巾+1

答案D

解析|zi—Z2|=|(l—sin0)+(cos8+l)i|

=«(l—sin<9)2+(1+cosO)2

=、3+2(cos?一sin?)

=勺3+2啦3(。+；]

*.*—iWcos(e+g)wi,

|zi—224ax=43+2/=yfi+1.

12.已知i为虚数单位，复数Z满足1W|z+l+i|W\B,则|z—1—i|的最大值为()

A.2^2-1B.2V2+1

C.2y[2D.3&

答案D

解析由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，

1W|z+l+i|W也表示如图所示的圆环,

因为|z—l—i|=|z—(l+i)|表示Z在复平面内对应的点Z到点(1,1)的距离，

而点(1,1)到点(一1,一1)的距离为2啦，大圆的半径为啦，

所以|z一l—i|的最大值为2也+也=3啦.

13.已知复数zi=*\/2a+l+ai(〃£R且心一：)，若复数z=zi—|zi|+1—i在复平面