2026年高考数学一轮复习 第十章 第三节 随机事件与概率（附答案）

§10.3随机事件与概率

【课标要求】1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别2理

解事件间的关系与运算3掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率.

---------------------------落实主干知识----------------------------

1.样木空间和随机事件

(1)样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用口表示.

全体样本点的集合称为试验E的样本空间,常用。表示.

②有限样本空间：如果一个随机试验有〃个可能结果5,(02,…，口〃，则称样本空间。={0,

①2，…，如}为有限样本空间.

(2)随机事件

①定义：将样本空间。的子集称为随机事件，简称事件.

②表示：一般用大写字母4,B,C,…表示.

③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.

2.两个事件的关系和运算

含义符号表示

包含关系若事件A发生，则事件E一定发生

相等关系BQA且A^B4=8

并事件(和事件)事件A与事件8至少有一个发生AUB或A+8

交事件(积事件)事件A与事件4同时发生4nB或48

互斥(互不相容)事件A与事件8不能同时发生AQB=0

互为对立事件4与事件B有且仅有一个发生An4=0,且AU8=0

3.古典概型的特征

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个.

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

4.古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含其中的&个样本点，则定义

事件A的概率尸(A)="=嘤.

7tM(J2)

其中，“(A)和〃(0)分别表示事件A和样本空间。包含的样本点个数.

5.概率的性质

性质1：对任意的事件4,都有尸(A)20；

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Q)=1,尸(0)=0；

性质3：如果事件4与事件8互斥，那么3(AUB)=P(A)+P(8)；

性质4：如果事件A与事件8互为对立事件，那么P(8)=l—P(4),P(4)=l—P(8)；

性质5：如果AG8,那么P(A)WP(8),由该性质可得，对于任意事件A,因为0GAGQ,所以

OWP(A)W1：

性质6：设A,8是一个随机试验中的两个事件，我们有一设J8)=P(A)+P⑻—P(An8).

6.频率与概率

(1)频率的稳定性

一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率.加⑷会逐渐稳定

于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.

(2)频率稳定性的作用

可以用频率44)估计概率P(4).

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“0或“X”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的.(X)

⑵两个事件的和事件发生是指这胡个事件至少有一个发生.(<)

⑶从一3,—2,—1,0,I,2中任取一个数，取到的数小于。与不小于0的可能性相同.(7)

(4)若AU8是必然事件，则A与8是对立事件.(X)

2.甲、乙等五人站成一排，其中为互斥事件的是()

A.“甲站排头”与“乙站排头”

B.“日站排头”与“乙站排尾”

C.”日站排头”与“乙不站排头”

D.“甲不站排头”与“乙不站排头”

答案A

解析因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，所以选项A正确；

因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确；

因为“甲站排头”与“乙不站排头”可以同时发生，所以选项C不正确；

因为“甲不站排头”与“乙不站排头”可以同时发生，所以选项D不正确.

3.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在［160,

175］(单位：cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为()

A.0.2B.0.3

C.0.7D.0.8

答案B

解析由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在［160,1751(单位：cm)内的概率和该同

学的身高超过175cm的概率和为1,故所求概率为1—0.2—0.5=03

4.抛掷一枚骰子，记事件A为“出现点数是奇数”，事件8为“出现点数是3的倍数”，则P(AUB)

=,尸(AC8)=.

答案IZ

36

解析抛掷一枚骰子，所有可能出现的点数是1,2,3,4,5,6,共6个样本点，

事件AUA包括出现的点数是1,3,5,6,共4个样本点，故P(4UB)=：;

事件ACI8包括出现的点数是3,共1个样本点，故P(AD8)=；.

国微点提醒

1.当随机事件A,8互斥时，不一定对立；当随机事件A,3对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必

要不充分条件.

2.若事件4,A2，…，4两两互斥,则尸(A1UA2U…UA“)=P(4)+P(A2)+・・・+P(4).

---------------------------探究核心题型----------------------------

题型一随机事件的关系

命题点1随机事件关系的判断

例1(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E=”点数为奇数”，F="点数为偶数"，G=

“点数大于2"，H=”点数小于2"，!<="点数为3”.则下列结论正确的是()

A.E,/为对立事件

B.G,"为互斥不对立事件

C.E,G不是互斥事件

D.G,R是互斥事件

答案ABC

解析“点数为奇数”与“点数为偶数”不可能同时发生，且必有一个发生，所以E,户是对立事件，选

项A正确；

“点数大于2”与“点数小于2”不可能同时发生，且不是必有一个发生，G,〃为互斥不对立事件，选项

B正确；

“点数为奇数”与“点数大于2”可能同时发生，E,G不是互斥事件，选项C正确；

“点数大于2”与“点数为3”可能同时发生，G,R不是互斥事件，选项D不正确.

命题点2利用互斥、对立事件求概率

例2(1)(多选)下列说法正确的有()

A.若事件则P(4)WP(B)

B.若A,2为对立事件，则P(A)十尸(8)=1

C.若A,8为互斥事件,则尸(4U8)=P(A)+P(B)

D.P。UB)〈P(A)+P(B)

答案ABC

解析若事件B包含事件A,则P(A)WP(B)，故A正确；

若4,8为对立事件，则P(A)+P(B)=1,故B正确；

若A,8为互斥事件，则P(AU8)=P(4)+P(B)，故C正确；

因为P(AUI3)=P(A)IP(I3)P(AB),所以当A,4互斥时，P{AJB)=P(A)I尸(3),故D错误.

(2)某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.2,则这个射手

在一次射击中射中环数不够7环的概率为.

答案0.11

解析记“射中环数不够7环”为事件。，则事件方为“射中10环或9环或8环或7环”，

所以P(5)=021+023+025+0.2=0.89,

所以P(D)=1~P(D)=1-0.89=0.11.

命题点3利用频率估计概率

例3(多选)下列命题正确的是()

A.随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

B.抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是9

C.有i批产品，其次品率为0.05,若从中任取200件产品，则一定有190件正品，10件次品

D.抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是

0.51

答案AB

解析随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故A正确；

抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是奈=3，故B正确；

JLUUOU

有一批产品，其次品率为0.05,若从中任取200件产品，则不一定抽取到190件正品和10件次品，故C

错误；

100次并不是无穷多次，抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则不能得出抛掷一次该硬

币出现正面的概率是0.51,故D错误.

思维升华事件关系的运算策略

进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必

要时可列出全部的试验结果进行分析.当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式.

跟踪训练I(1)从装有4个白球却3个红球的盒子里摸出3个球，则下列选项中事件A与事件B互斥

却不互为对立的是()

A.事件4：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球

B.事件4：3个球中恰有1个红球；事件8：3个球中恰有1个白球

C.事件43个球中至多有2个红球；事件8：3个球中至少有2个白球

D.事件A：3个球中至多有1个红球；事件8：3个球中至多有1个白球

答案B

解析事件人与事件8可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A与事件8不是互斥事件,

故A错误；

事件A与事件4不可能同时发生，但不是一定后一个发生，还杓可能是3个白球或3个红球，所以事件A

与事件8互斥却不互为对立，故B正确；

事件A与事件8可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件4与事件8不是互斥事件，故C

错误；

事件A与事件8不可能同时发生，且必有一个发生，所以事件A与事件8是互斥事件也是对立事件，故D

错误.

(2)若事件A和8互斥，且尸(AUB)=0.5,P(8)=0.3,则P(1)=.

答案0.8

解析因为事件4和B互斥，则P(AU8)=P(A)+P(8)=P(A)+0.3=0.5,

解得P(A)=0.2,故P(A)=I—P(A)=0.8.

题型二古典概型

例4(1)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是()

A.-B.-

43

C.；D.1

23

答案B

解析当甲在排尾，乙在排头时，丙有2种排法，丁有1种，共2种；当甲在排尾，乙排第二位或第三位

时，丙有1种排法，丁有1种，共2种；于是甲在排尾共4种排法，同理乙在排尾共4种排法，于是共8

种排法符合题意，样本点总数显然是A，=24,根据古典概型的计算公式，丙不在排头，且甲或乙在排尾的

概率为

243

(2)(2024.烟台模拟)安排4名大学生到两家公司实习，每名大学生只去一家公司，每家公司至少安排1

名大学生，则大学生甲、乙到同一家公司实习的概率为(I

A.-B.—

510

C.—D.-

257

答案D

解析4名大学生分两组，每组至少一人，有两种情形，分别为3人、1人或2人、2人，即共有第A'+第

=8+6=14(种)实习方案，其中甲、乙到同一家公司实习的情况有禺A'+A'=4+2=6(种)，故大学生甲、

乙到同一家公司实习的概率为卷=*

思维升华利用公式法求解古典概型问题的步骤

-------J定型，根据事件的性质，确定事件类

、第;步尸［型为古典概,型

~~」定量，确定试验包含的-本点总数及

等力［所求事件包含的样本点个数

~~［求值，代入古典概型的一率计算公式

第三步卜［求解

跟踪训练2（1）将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中

至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（）

A.-B.-

32

C.-D.-

34

答案A

解析将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个

球，则样本点有（红1,白红2）,（红2,白红1）,（白红1,红2）,（白红2,红1）,（红1红2,白），（白，红

1红2）,共6个，而2个红球分别放入不同盒子中包含（红1,白红2）,（红2,白红1）,（白红1,红2）,

（白红2,红1）4个样本点，故由古典概型的计算公式得概率为|.

（2）将1,2,3,4,5,6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，则表格内每一行数字之和均相等的

概率为（）

答案C

解析要使表格内每一行数字之和均相等，根据1+6=2+5=3+4,

先将6个数字分为3组，分别为（I,6）,（2,5）,（3,4）,

将三组全排列，安排在表格的三行中，每一行有A片种顺序，

则可组成不同表格的个数为属A'A；Ag=48；

将1,2,3,4,5,6这6个数填入表格中的所有情况的个数为能=720,

故所求概率为券=看

题型三概率与统计的综合问题

例5某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中

随机选出100名学生的成绩(满分为100分),按分数分为［40,50),［50,60),［60,70),［70,80),［80,

90),［90,100］,共6组,得到如图所示的频率分布直方图.

［频率

组距

().03()----------

------------

0.020k.....l

0.015卜——T—

二二二二—।_

°%)50A)片)4)1；N)虚贵/分

(1)求“7的值，并求这100名学生成绩的中位数(保留一位小数)；

⑵若认定评分在［80,90)内的学生为“运动爱好者”，评分在［90,10()］内的学生为“运动达人”，现

采用按比例分配的分层随机抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大

会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱

好者”和“运动达人”各1人的概率.

解⑴依题意，(0.005+0.015+0.020+0.030+〃?+0.005)X10=1,解得相=0.025.

前三组的频率为(0.005+0.015+0.020)X10=0.4,

前四组的频率为(().0()5+().015+().02()+0.()3())X10=0.7,

所以中位数为70+上泮X10=73.3(分).

(2)评分在［80,90)内的频率为0.25,［90,100］内的频率为0.05,两者的比例是5：1,

所以抽取的6名学生中，评分在［80,90)内的有5人，记为1,2,3,4,5,

评分在［90,100］内的有1人，记为6,

从中抽取2人，样本点有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,

共15个，其中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各I人的有16,26,36,46,56,共5个样本点，故

所求概率为白=：.

思维升华求解概率的综合问题时，一要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型，二要根据

公式准确计算.

跟踪训练3为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构联合医院，进行了小规模的调查,

结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏

症状的副作用，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：

无疲乏症状有疲乏症状合计

未使用新药15025t

使用新药Xy100

合计225m275

(1)求2义2列联表中的数据x,〉，，〃?，/的值，依据小概率值。=0.05的独立性检验，能否以此推断有

疲乏症状与使用该新药有关？

(2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人，再

从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率.

附〃(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),〃a+"+c+d

aOJO0.050.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

解(1)由列联表知，工=225—150=75,y=100-75=25,刖=275—225=50,r=150+25=175,

所以上=75,>-=25，m=50,1=175,

零假设为儿：有疲乏症状与使用该新药无关.

根据列联表中的数据，经计算得到

275x(150x25-75x25)-=^4.91l>3.841=X0.05

225X50X175X10056

根据小概率值a=0.05的独立性检脸，我们推断仇不成立，即认为有疲乏症状与使用该新药有关.

(2)从使用新药的100人中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人的抽样比为白=白，则抽取有疲

JLuu/n

乏症状的人数为2X25=l,无疲乏症状的有3人，

抽取的有疲乏症状的1人记为1,无疲乏症状的3人记为。，方，c,从4人中随机抽取2人的所有样本点为

(1,〃)，(1,b),(1,c),3,/?),Q,c),(力，c),共6个，

记2人中恰有1人有疲乏症状的事件为它所含样本点是(1,4),(1,b),(l,c),共3个，

于是得P(M)=；=；,

62

所以这2人中恰有1人有疲乏症状的概率是，

课时精练

［分值：100分］

阈知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

I.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（）

A.3个都是男生

B.至少有1个男生

C.3个都是女生

D.至少有1个女生

答案B

解析从5个男生、2个女生中任意选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件.

2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2025次，那么第2024次出现正面朝上的概率是（）

A——B---

'2024'2025

C型揖

20252

答案D

解析由概率的性质得，尢论试验多少次，概率始终不变，故邕2024次出现正面朝上的概率是点

3.从2,3,5,7,11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（）

A.-B.-

55

C.-D.-

25

答案A

解析从2,3,5,7,11这5个素数中，随机选取两个不同的数，共有第=10（种）选法，其积为偎数,即

两个数中有一个为2,共有4种选法，所以概率为4=，.

4.某校希望统计学生是否曾在考试中作弊，考虑到直接统计可能难以得到真实的回答，故设计了如下方案:

在一个袋子里放入只有颜色和序号不同的红球和绿球各5（）个，分别编号为卜5（）,被调查的学生从中随机

摸出一个，确认颜色和序号后放回（调查者不知道），摸到红球的学生回答“你摸到的球的序号是否为奇

数？”，摸到绿球学生的回答“你是否曾在考试中作弊？”.共调查了I200名学生，得到了390个“是”

的回答，据此估计该校学生的作弊率为（）

A.15%B.20%

C.5%D.10%

答案A

解析调查的1200名学生中，摸到红球的概率是:，其编号是奇数的概率也是:,摸到绿球的概率为:，即

摸到红球的人数约为1200X1=600,摸到绿球的人数约为1200X1=600,所以回答问题“你摸到的球的

序号是否为奇数？”且回答“是”的学生人数约为6OOX1=3OO,回答问题“你是否曾在考试中作弊？”

且回答“是”的学生人数约为390—300=90,所以估计该校学生的作弊率为券X100%=15%.

5.甲、乙两位同学到莆田市湄洲岛当志愿者，他们同时从“妈祖祖庙”站上车，乘坐开往“黄金沙滩”站

方向的3路公交车（线路图如下）.甲将在“供水公司”站之前的任意一站下车，乙将在“鹅尾神化石”站之

前的任意一站下车.假设每人自“管委会”站开始在每一站点下车是等可能的，则甲比乙后下车的概率为

（）

123456789101112131415161718192O21222：i24

轮

妈基

莲

金莲

北

白

下

布港

东鹅

海福

下宝

后黄

地

兴闽

供

妈

祖

池

至

佑

山澜

金

渡

池

尾

石

景

楼

卷

税海

水

祖

台

海

白

域

范

会

祖

沙

沙

街

街

分路

公

码

小

神

玉

大

庙

风

岸

(石

年

庙

滩

滩

东

局

司

化

头

学

女

酒

平

情(

东

石

闹

店

安

街

环

环

)里

)

11

-

A.一54

3

C，-

一3

10

案

答C

解析甲从“管委会”站到“北城（东环）”站的每一站下车都可以，有8种情况,

乙从“管委会”站到“东至”站的每一站下车都可以，有15种情况，

若乙在“管委会”站下车，则甲有7种情况，

若乙在“地税分局”站下车，则甲有6种情况，

若乙在“兴海路”站下车，则甲有5种情况，

若乙在“闽台风情街”站下车,则甲有4种情况，

若乙在“莲池小学”站下车，则甲有3种情况，

若乙在“金海岸”站下车，则甲有2种情况，

若乙在“莲池沙滩”站下车，则甲有1种情况，

因此，甲比乙后下车的概率为

==—

8x15---8x15---30'

6.15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻的概率是（）

A.-B.-

9191

C.竺D.-

9191

答案A

解析15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻，则可先让11个人入坐好，再让其余4

人插空，共有等.A，种不同的围坐方法，所以所求概率是当*=*.

11A.91

15

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.（2025•哈尔滨模拟）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球.事件A=

“两次取到的球颜色相同"，事件B="第二次取到红球"，事件C="第一次取到红球”.下列说法正确

的是（）

A.AGB

B.事件8与事件C是互斥事件

C.P（A8）=S7

JLD

D.P（B+C）三7

3

答案CD

解析由题意可得,事件4包含的取球颜色为｛（红，红），（绿，绿）｝,事件B包含的取球颜色为｛（红，红），

（绿，红）｝,事件。包含的取球颜色为｛（红，红），（红，绿）｝,则A不包含于B,选项A错误；

8rleW0,选项B错误；

事件A8包含的取球颜色为｛（红，红））,P（48）=3=j,选项C正确；

Ci。15

事件B+C包含的取球颜色为｛（红，红），（绿，红），（红，绿）｝,P（7?+C）=4X3；6：4X2W，选项D正确.

JLUXV，

8.某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的双皮奶，同时尽量减少滞销，统计了30天的销售情况，得到如

下数据：

日销售量价[25,35)[35,45)|45,55)[55,65)[65,75]

天数46956

以样本估计总体，用频率代替概率，则下列结论正确的是（

A.估计平均每天销售50杯双皮奶（同一组区间以中点值为代表）

B.若当大准备55杯双皮奶，则售罄的概率为非

C.若当天准备45杯双皮奶，则卖不完的概率为:

D.这30天双皮奶口销售量的80%分位数是65杯

答案BCD

解析平均每天双皮奶的销售量为

30x4+40x6+50x9+60x5+70x65［（杆）A错误，

30

日销售量不小于55杯的概率为%=?,B正确；

3030

日销售量小于45杯的概率为4=：,C正确；

*5UD

1-^=0.8,因此这30天双皮奶日销售量的80%分位数是65杯，D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.（2025•八省联考）有8张相同的卡片，分别标有数字123,4,5,6,7区现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的

3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为.

答案专

解析从8张卡片中随机抽出3张厕样本空间中总的样本点个数为备二56,

因为1+2+3+4+5+6+7+8=36,

所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等、

则抽出的3张卡片上的数字之和应为18,

则抽出的3张卡片上的数字的组合有8,7,3或8,6,4或7,6,5共3种.

所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点有3个，

所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之利相等的概率为怖.

bo

10.通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四个数字agam（其中。£{0,1,2,9）,/=1,

2,3,4）随机组成，如果验证码满足0v72<。3<e则称该验证码为递增型验证码.某人收到一个验

证码，则它是首位为2的递增型验证码的概率为.

解析由题意设该验证码为,则ai=2,2<〃2<43<。4,,。4从3,4,5,6,7,8,9中选，

选出3个数，让其按照从小到大的顺序排列有

G=35（种）排法，

又四位验证码共有10X10X10X10=10000（种）排法，

・•・它是首位为2的递增型验证码的概率为

35_7

10000-2000,

四、解答题（共28分）

11.（13分）某市A,8两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，8中学推荐了3

名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机

抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（6分）

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生不少于2人的概率.（7分）

解（1）由题意，参加集训的男生、女生各有6名.

参赛学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为需=之,

故4中学至少有I名学生入选代表队的概率为1—3

100100

⑵设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件C,“参赛女生有2人”为事件“参赛女生有3人”为

事件E.

则P（D）=萼=|,P（£）=萼=

由互斥事件的概率加法公式，得

P（C）=P（D）+P（E）=W+：=g,

300

故所求事件的概率为点

12.（15分）笫十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日在珠海国际航展中心开幕，我国空军汇

聚多方智慧，研讨无人智能、通航建设，带来了歼-35A、红一19等新型装备.某市为了了解居民对航空航

天知识的认知程度，举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认

知程度高的有〃?人，按年龄分成5组，其中第一组：［20,25）,第二组：［25,30）,第三组：［30,35）,第

四组：［35,40）,第五组：［40,45J,得到如图所示的频率分布直方图.

（I）根据频率分布直方图，估计这相人年龄的第85百分位数；（6分）

（2）现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有

甲（年龄31）、乙（年龄34）、丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从笫三组和第五组被抽到的使者

中，再随机抽取2人作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选中的概率.（9分）

解⑴由频率分布直方图得，年龄在[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45]的频率分别为

0.05,0.35,0.3,0.2,0.1,

由各组频率知第85百分位数。£（35,40）,

由（40—0X0.04=0.9—0.85,解得4=38.75,

所以第85百分位数为38.75.

（2）由第三组、第五组的频率可知第三组抽取20X03=6（人），第五组抽取20X0.1=2（人），

方法一不妨设除甲、乙、丙外的五人为A,BtC,DtE,于是从第三组和第五组被抽到的使者中抽取2

人的所有情况为：

甲A,甲8,甲。，甲。，甲E,甲乙，甲丙，乙A,乙B,乙C,乙D,乙E,乙丙，丙A,丙8,丙C,

丙。，丙E,48,AC,AO,AE,8C,8。，BE,CO,CE,QE,共28种，

其中甲、乙、丙都没被抽至I的情况有AA,AC,A。，AE,,8。，“E,C。，CE,OE,共10种，

所以甲、乙、丙三人中至少有一人被选中的概