2026-2027学年人教A版高中数学选择性必修第二册课时分组练习：第2课时 等差数列的性质及应用

4.2.1第2课时等差数列的性质及应用

A组基础训练

1.在等差数列｛〃〃）中，。2+。9=10,0=2,则00=（）

A.8B.9

C.11D.12

2.在等差数列｛〃〃）中，若。2+的+。8=3,则244+47=（）

A.6B.5

C.4D.3

3.在。和方两数之间插入〃个数，使它们与小〃组成等差数列，则该数列

的公差为（）

A.匕B.三

nTi+l

C.TD.三

n+ln+2

4.已知等差数列｛斯｝是递增数列,且满足。3+。5=14,。2丽=33,则〃团等

于（）

A.33B.16

C.13D.12

5.（传统文化）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今

有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为：已知A,B,

C,D,E五人分5钱，A,B两人所得与C,D,E三人所得相同，且A,B,C,

D,E每人所得成等差数列.问，五人各得多少钱？在这个问题中，E所得为（）

24

钱

-钱-

AC.3B.3

D.

钱

5钱3

--

62

6.己知等差数列｛诙｝满足0+。3+。5+。7+。9=10，诟一通=36,则411的值

为.

=

7.已知数列｛〃〃｝满足1+。〃一|=2。〃（〃22.）,且42=5,（1513,则。8=

8.在等差数列｛斯｝中,412=23,042=143,所=239,求〃及公差d.

B组拔高提升

1.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，

每个节气的舜长损益相同（墀是按照日影测定时刻的仪器，唇长即为所测量影子的

长度）.二十四节气及孱长变化如图所示，相邻两个节气展长减少或增加的量相同,

周而复始.已知雨水的祎长为9.5尺，立冬的挎长为10.5尺，则冬至的挎长为（)

薛长送渐变小

春分

雨：30惊蛰0清明.F雨

立春立熨小满

大家30060

小寒芒种

冬至27090夏至

大雪小暑

小雪240120…

勺立冬人暑

210

霜降寒露180白露

秋分

播长逐渐变大

A.11.5尺B.13.5尺

C.12.5尺D.14.5尺

2.如果点（〃,m）（〃eN*）都在直线3x一厂24=0上，那么在数列｛小｝中，有（）

A.aia＜）＞0B.a?+〃＜）＜（）

C.。7+。9=（）D.。7。9=。

3.已知公差不为0的等差数列｛斯｝满足+即=245,则高+；的最小值为

（）

A.1B.-

4

3

C.-D.2

4

4.（多选）设正项等差数列｛斯｝满足（0十山0）2=2649十20,贝女）

A.。2。9的最大值为10

B.。2+。9的最大值为24U

C.2+W的最大值为:

屿Qg5

。.说+端的最小值为200

5.设数列｛小｝,｛加｝都是等差数列,且6/1=25,5=75,42+62=100,则数

列(m+仇｝的第37项为.

6.已知在等差数列｛〃“｝中，0=1,02+203+44=12.

(1)求出十。7的值；

(2)若数列｛儿｝满足仇=。2〃-1，证明：数列是等差数列.

7.已知数列｛小｝的前〃项和为S〃，s=l,如WO,atlan+\=XS„-\,其中2为

常数.

(1)证明：斯+2—斯=2；

(2)是否存在九使得他〃｝为等差数列？请说明理由.

4.2.1第2课时等差数列的性质及应用

A组基础训练

1.A解析：因为。|+。[0=。2+。9=10,所以lO=2+mo,解得0o=8.故

选A.

2.D解析：由等差数列的性质可得。2+。5+。8=3。5=3,则45=1,2G+〃7

=43+45+47=345=3.故选D.

3.B解析：在。和匕两数之间插入〃个数，使它们与a,匕组成等差数列，

则这个数列共有5+2)顼.设该数列的公差为,/,则d=,此：=U.故选B.

(n+2)-ln+1

4.C解析：设等差数列｛为｝的公差为d.

由等差数列的性质，得。2+。6=。3+。5=14.

由/2+。6=14,解得,2=3,或,2=11，

I。2a6=33,(怒=11(即=3.

又｛斯｝是递增数列，

所以『2=3，

所以公差1=%4=2.

4

所以a\ai=(a2-d)[a^d)=1X13=13.故选C.

5.A解析：由题意，设A所得为〃一44,B所得为a-3d,C所得为〃-2乩

D所得为。一d,E所得为明则pQ—l°d—5,解得!"3'故E所得为?

(2Q—7d=3Q_3d,Id=--.

钱.故选A.

6.11解析：设等差数列优〃｝的公差为d.

因为0+。3+。5+〃7+。9=5。5=10,

所以615=2.

因为忌—谖=(恁+。2)(。8—。2)=2〃5*64=36,

所以

2

所以01=45+63=2+9=11.

7.21解析：由小+|+〃“_|=2斯(〃22),知数列｛斯｝是等差数列.

由等差数列的性质，得。2+〃8=2。5,所以〃8=2a5—S=2X13-5=21.

8.解：由题意可得，]=等手=年里=4,

所以a\=a\i—1lc/=-21.

因为〃“=ai+(〃-l)d=-21+4(〃-1)=239,

解得〃=66.

综上,〃=66,d=4.

B组拔高提升

1.B解析：设相邻两个节气鼻长减少或增加的量为d(d>0),则立冬到冬至

(X—4d=95

等长增加3d,冬至到雨水鼻长减少4d.设冬至的再长为x尺，则''解

110.5+3d=%,

f/7=1

得，故选B.

13.5.

2.C解析：因为3〃一斯一24=0,

所以斯=3〃-24(〃三N*).

所以｛知｝为等差数列.

所以〃7+。9=2。8=0.故选C.

3.C解析：根据等差数列的性质可得根+〃=10,则(加+2)+〃=12,

所以扁+；=献扁+；)〃"+2+P)=置5+5^+詈)学45+

2/2.灼=2.当且仅当，匕=吧2,即〃=*m=6时，等号成立.故选C.

yjm+2pJ4m+2p

4.ABD解析：因为正项等差数列｛〃“)满足mi+〃io)2=2s〃9+2O,

所以(〃2+。9)2=2〃2硒+20,即说+说=20.

对于A,。2的W"2+"9=史=](),当且仅当42=。9=，而时，等号成立，故选项

22

A正确；

对于B,由于(笞^)2W当1=]0,所以芳g+的《2同，当且

仅当。2=。9=/历时，等号成立，故选项B正确；

对于C，裔+高=疑=京》说『=言三，当且仅当时,

等号成立，所以W+W的最小值为士故选项c错误；

对于D,结合A选项的结论，有帚+谒=(+do)2—2说谖=400—

2400-2X1()2=2()0,当且仅当〃2=硒=«。时，等号成立，故选项D正确.故

选ABD.

5.100解析：因为｛如｝,｛仇｝是等差数列,

所以｛m+d｝是等差数列.

因为。|+加=100,。2+①=100,

所以数列｛m+为｝的公差d=0,所以。37+如=100.

6.

(1)解:设等差数列｛斯｝的公差为d.

因为他+。4=2。3,。2+2的+。4=4。3=12,

所以43