第十一章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第七二章.计数原理、概率、随机变量及其分布

第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理

最新考纲1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数

原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.

国朋惨断回归教材，夯实基础

知识梳理

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有〃z种不同的方法，在第2类方

案中有〃种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+〃种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有〃种不同

的方法，那么完成这件事共有N=〃zX〃种不同的方法.

3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问

题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法

计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完

成这件事.

［常用结论与微点提醒］

1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行.

2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程

序，即合理分类，准确分步.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“J”或“义”）

（1）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.（）

（2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.（）

（3）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.（）

⑷在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都

能完成这件事.（）

解析分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成

这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一

步，不能完成这件事，所以（1）,（4）均不正确.

答案（1）X（2）7（3）7（4）X

2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会,则不同的选法种数为（）

A.6B.5

C.3D.2

解析5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.

答案B

3.（选修2—3P28B2改编）现有4种不同颜色要对如图所示的四个厂----）

部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不57TM

同的着色方法共有（）V）

A.24种R.30种~/一

C.36种D.48种

解析需要先给。块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B

块着色，有2种结果；最后给。块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知

共有4X3X2X2=48（种）.

答案D

4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的

报名方法有种（用数字作答）.

解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步

乘法计数原理，总的报名方法共2X2X2X2X2=32（种）.

答案32

5.（2018・西安月考）已知某公园有5个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法

的种数为（用数字作答）.

解析分两步，第一步选一个门进有5种方法，第二步再选一个门出有4种方法，

所以共有5X4=20种走法.

答案20

I考点突破呼林彩PPT名师讲解分类讲练，以例求法

考点一分类加法计数原理的应用

【例1】⑴满足。，力£{-1,0,I,2},且关于X的方程加+2丫+〃=0有实

数解的有序数对(。，与的个数为.

⑵在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为.

解析(1)当。=()时，匕的值可以是一1,0,1,2,故(〃，的个数为4；当

时，要使方程加+21+〃=()有实数解，需使/=4-4"20,即必W1.

若。=一1,则〃的值可以是一1,0,1,2,(〃，力的个数为4；

若。=1,则力的值可以是一1,0,1,(a,3的个数为3；

若。=2,则〃的值可以是一1,0,(小公的个数为2.

由分类加法计数原理可知，3,勿的个数为4+4+3+2=13.

(2)当个位数字为2时，十位数字为I,共1个；

当个位数字为3时，十位数字为1,2,共2个；

当个位数字为4时，十位数字为1,2,3,共3人；

当个位数字为9时，十位数字为1,2,3,4,…，7,8,共8个；由分类加法

计数原理可知满足条件的两位数的个数为1+2+3+…+8=36.

答案(1)13⑵36

规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键

词、关键元素和关键位置.

(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于

不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.

(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(1)中易漏。=0这一类.

【训练1】(1)从集合［1,2,3,…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数

成等比数列，这样的等比数列的个数为()

A.3B.4C.6D.8

（2）如图，从A到。有种不同的走法（不重复过一点）.主

解析（1）以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；/\

以2为首项的等比数列为2,4,8；

BC

以4为首项的等比数列为4,6,9；

把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，

••・所求的数列共有2（2+1+1）=8个.

（2）分3类：第一类，直接由A到。，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A-8-0

和A-C-。共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A-B-C-。和

A-C-8—。共2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5种

不同的走法.

答案（1）D（2）5

考点二分步乘法计数原理的应用

【例2】（1）（2018・石家庄模拟）教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层

到五层的走法有（）

A.10种B.25种C.52种D.2”种

⑵（2016・全国H卷）如图，小明从街道的£处出发，先到尸处与小红会合，再一

起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短

路径条数为（）

上IS产

A.24B.18C.12D.9

解析（1）每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.

由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法.

（2）分两步，第一步，从E-F,有6条可以选择的最短路径；第二步，从F-G,

有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6X3=18条可以选择的

最短路径.故选B.

答案（I）D（2）B

规律方法（1）在第（1）题中，易误认为分5步完成，错选B.

（2）利用分步获法计数原理应注意：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是

有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完

成这件事.

【训练2】（1）用（），1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为.

（2）（2018・合肥质检）五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的

报名方法的种数为.五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），则获得

冠军的可能性有种.

解析（1）可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第

二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步乘法计数

原理，三位数的个数为5X5X4=100.

（2）五名学生参加四项伍育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4

种报名方法，共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4

个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性.

答案（1）100（2）4554

考点三两个计数原理的综合应用（多维探究）

命题角度1组数、组点、组线、组对及抽取问题

【例3—1】如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正

交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构

成的“正交线面对”的个数是（）

A.48B.18C.24D.36

解析在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正

交线面对“；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，

共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”.

答案D

命题角度2涂色、种植问题

【例3—2】（一题多解）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点1

染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜

色可供使用，求不同的染色方法种数.

B

解法一按所用颜色种数分类.

第一类：5种颜色全用，共有A?种不同的方法;

第二类：只用4种颜色，则必有某两个顶点同色（A与C,或8与Q）,共有2XAW

种不同的方法；

第三类：只用3种颜色，则A与C,8与。必定同色，共有AS种不同的方法.

由分类加法计数原理，得不同的染色方法种数为AR+2XA4+A9=42O（种）.

法二以S,A,B,C,。顺序分步染色.

第一步：S点染色，有5种方法；

第二步：A点染色，与5在同一条棱上，有4种方法；

第三步：B点染色,与S,A分别在同一条棱上，有3种方法；

第四步：C点染色，也有3种方法，但考虑到。点与S,A,C相邻，需要针对

A与C是否同色进行分类，当A与。同色时，。点有3种染色方法；当A与C

不同色时，因为C与S,8也不同色，所以。点有2种染色方法，。点也有2种

染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有

5X4X3X（1X3+2X2）=420（种）.

规律方法（1）①注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步.在

分步时可能又用到分类加法计数原理.②注意对于较复杂的两个原理综合应用的

问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题彩象化、直观化.

（2）解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.

例题中，相邻顶点不同色，要按人，C和B,。是否同色分类处理.

【训练3】（1）（一题多解）（2018・大同质检）如图所示，用4种不同的||B|

颜色涂入图中的矩形4B,C,。中，要求相邻的矩形涂色不同，；

则不同的涂法有（

A.72种B.48种

C.24种D.12种

（2）如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正

八边形有公共边的三角形有个（用数字作答）./\

解析（1）法一首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与

A,8相邻，则。有2种涂法，Q只与C相邻，则。有3种涂法，

所以共有4X3X2X3=72种涂法.

法二按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这对A

有4种涂法，8有3种涂法，C有2种涂法，。有1种涂法，共有4X3X2X1

=24（种）涂法；二是用3种颜色，这时A,B,。的涂法有4X3X2=24（种），D

只要不与C同色即可，故。有2种涂法，所以不同的涂法共有24+24X2=72（种）.

（2）把与正八边形有公共边的三角形分为两类：

第一类，有一条公共边的三角形共有8X4=32（4）.

第二类，有两条公共边的三角形共有8个.

由分类加法计数原理知，共有32+8=40（个）.

答案（1）A⑵40

课时作业分层训练，提升能力

基础巩固题组

（建议用时:25分钟）

一、选择题

1.（2018.郑州调研）有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学

检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有（）

A.8种B.9种C.10种D.11种

解析设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分别为mb,c,d,假设A

监考仇则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c,d

时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3+3+3=9（种）不同的

监考方法.

答案B

2.从集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取两个互不相等的数〃，人组成复数。+历，

其中虚数的个数是（）

A.30B.42C.36D.35

解析因为4+历为虚数，所以bWO,即〃有6种取法，。有6种取法，由分步

乘法计数原理知可以组成6X6=36个虚数.

答案C

3.已知两条异面直线◎〃上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同

的平面个数为（）

A.40B.16C.13D.10

解析分两类情况讨论：第1类，直线。分别与直线b上的8个点可以确定8

个不同的平面；第2类，直线人分别与直线。上的5个点可以确定5个不同的平

面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8+5=13个不同的平面.

答案C

4.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2（）13是“六合数”），

则首位为2的“六合数”共有（）

A.18个B.15个C.12个D.9个

解析依题意，这个四位数的百位数、十位数、人位数之和为4.由4,0,0组成

3个数分别为400,040,004；由3,1,。组成6个数分别为310,301,130,

103,013,031；由2,2,。组成3个数分别为220,202,022；由2,1,1组

成3个数分别为211,121,112.共计3+6+3+3=15（个）.

答案R

5.某电话局的电话号码为139XXXXXXXX,若前六位固定，最后五位数字

是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为（）

A.20B.25C.32D.60

解析依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方

法，根据分步乘法计教原理，符合题意的电话号码的个数为25=32.

答案C

6.集合P=*,1},Q={y,1,2）,其中x,y£|l,2,3,…，9},且P£。.把

满足上述条件的一对有序整数对a，y）作为一个点的坐标，则这样的点的个数是

（）

A.9B.14C.15D.21

解析当x=2时，xHy,点的个数为1X7=7（个）.

当火并2时，由PQQ,：.x=y.

••・x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法.

因此满足条件的点共有7+7=14（个）.

答案B

7.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法的种数为（）

A.3B.5C.9D.12

解析只用一种币值有2张10元，4张5元，2。张1元，共3种；用两种币值

的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5

元，1（）张1元；1张5元，15张1元，共5种；用三种币值的有1张10元，1

张5元，5张1元，共1种.由分类加法计数原理骞，共有3+5+1=9（种）.

答案C

8.从集合｛1,2,3,4,…，10｝中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意

两个数的和都不等于11,则这样的子集有（）

A.32个B.34个C.36个D.38个

解析将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一

小组中取一个，有@=2种，共有2X2X2X2X2=32个.

答案A

二、填空题

9.某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火

车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有种.

解析因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每

一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有4+

3=7（种）.

答案7

10.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委

员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种（用数字

作答）.

解析第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选

1人当文娱委员，有3种选法.

笫二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委

员有4种选法，再选伍育委员有3种选法.由分步乘法计数原理可得，不同的选

法共有3X4X3=36（种）.

答案36

11.在编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中放入两个不同的小球，每个盒子中

最多放入一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放

小球的方法有种.

解析设两个不同的小球为A,B,当A放入1号盒或者6号盒时，3有4种不

同的放法；当A放入2,3,4,5号盒时，B有3种不同的放法，一共有4X2+

3X4=20种不同的放法.

答案20

12.如图，矩形的对角线把矩形分成A,B,C,。四部分，现用4/

BJXSD

5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的

两部分颜色互异，则共有种不同的涂色方法（用数字作答）.

解析区域A有5种涂色方法；区域8有4种涂色方法；区域C的涂色方法可

分2类：若。与A涂同色，区域。有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时

区域C有3种涂色方法，区域。也有3种涂色方法.所以共有5X4X4+

5X4X3X3=260种涂色方法.

答案260

能力提升题组

（建议用时：10分