五大类数列题型-2026年高考数学冲刺大题解题技巧及专项训练原卷版

专题02五大类数列题型-2026年高考数学大题秒杀技巧及专

项训练(原卷版)

高考大题题型归纳:

【题型1错位相减求和无需错位直接出答案】

【题型2裂项相消巧妙变形问题】

【题型3分组求和必记常见结论】

【题型4含(-1)”类求和问题】

【题型5含绝对值求和问题】

数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下:

一、累加法

a,-a,_=f(n-2)

形如凡讨=4+/(〃)型的递推数列(其中/(〃)是关于〃的函数)可构造:nlt2

生一％二/(1)

将上述小个式子两边分别相加，可得：q=/(〃-1)+/(〃-2)+…/(2)+/⑴+4，(〃22)

①若/(〃)是关于〃的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

②若/(〃)是关于〃的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

③若/(〃)是关于〃的二次函数，累加后可分组求和；

④若/(〃)是关于〃的分式函数，累加后可裂项求和.

二、累乘法

%

也=/(〃-2)

形如4川=4•/(〃)—=/(〃)型的递推数列(其中/(〃)是关于〃的函数)可构造:

a„

将上述叫个式子两边分别相乘,可得:</„=f(n-1).f(n/(?)/(1)^/,,(n>2)

三、构造法

L第一种形式：形如%讨=〃4+,/(其中〃国均为常数且〃工0)型的递推式

(1)若〃=1时，数列｛勺｝为等差数列；

(2)若9=0时，数列｛氏｝为等比数列；

(3)若〃"且4。0时,数列｛q｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有

如下两种：

法一：设4+1+2=p(an+A),展开移项整理得%=pan+(p-l)2,与题设％=pan+q比较系数(待定

系数法)得％=—^7，(〃/。)=。刈+—^7="(4+—^7)nq+—=+—^7)，即，明-一构成

p-\p-1/7-1p-1p-1p-1

以4+—匕为首项，以〃为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出+一，的通项整理可得

p-1p-1

法二：由。用=pa”+q得an=pan_x+q(n>2)两式相减并整理得———=p,即｛%+]-构成以-%为首

项，以〃为公比的等比数列.求出｛〃川-q｝的通项再转化为累加法便可求出凡.

2.第二种形式：形如4川="”+/(〃)(〃hI)型的递推式

(1)当/(〃)为一次函数类型(即等差数列)时：

法一：设a"+A〃+4=〃[%_]+A(,L1)+用，通过待定系数法确定A、8的值，转化成以q+4+8为首项，

以A：=厂上一为公比的等比数列｛an+4?+用,再利用等比数列的通项公式求出｛〃"+An+B｝的通项整理

(〃_〃?)！

可得

法二:当/(〃)的公差为"时，由递推式得:%=­/(〃),4=〃，*+/(〃-1)两式相减得：

an+｝-an=p(an-%)+d,令b“=-—得:bn=pbn_y+d转化为第一种形式，求出bn,再用累加法便可

求出an.

(2)当/(〃)为指数函数类型(即等比数列)时：

法一：设%+%/(〃)=〃[/_1+2/(〃-川，通过待定系数法确定义的值，转化成以4+/1/⑴为首项，以

%"=正与为公比的等比数列｛/+4人〃)｝，再利用等比数列的通项公式求出｛4+4"〃)｝的通项整理可

得%.

法二：当/(〃)的公比为q时，由递推式得：(+]=〃%+/(〃)---①，4=〃4_]+/'(〃一1),两边同时乘以q

ca

得“国=Pln-\+----②，由①②两式相减得4+1-。“4=p(a“-qcin_｝),即———=p,在转化为

第一种形式便可求出外.

法三：递推公式为为3=+〃"(其中p,9均为常数)或％=〃〃”+应"(其中P，%r均为常数)时，

要先在原递推公式两边同时除以。向，得：■=£.%+',引入辅助数列｛〃,｝(其中2=4)，得：

qqqqq

〃川+'再应用类型第一种形式的方法解决•

qq

(3)当/(〃)为任意数列时，可用通法：

在〃向=〃q+/(〃)两边同时除以P"“可得到编=3+与，令之=%则%="+噌，在转化为累

PPPPP

加法，求出bn之后得an=p"bn.

【题型1错位相减求和无需错位直接出答案】

错位相减；形式必须是=(A〃+3).C"

AnBAA

则3=c^T+c^T"(c-i)2C

正规方法(I)适用条件

若&｝是公差为或"，0)的等差数列，依｝是公比为49工1)的等比数列，求数列｛ambn｝的前n

项和S”.

(2)基本步骤

a1-6+</(6+6+―+6j-a-6..

(I求和123B1

1-q

(3)注意事项

①在写出S”与小“的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”,以便下一步准确写出，一恭”;

②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号.

等差乘等比数列求和,令c”=(A〃+或",可以用错位相减法.

23n

Tn=(A+By/+(2A+B)q+(3A+B)q+...+(An+B)q①

qT„=(A+B)q2+(2A+B)q3+(3A+B)q4+…+(+B)qn+i②

①一②得：(1一4)7；,=(A+-(An+B｝qn+X+A(q2++...+qK).

整理得：含+已-古建Je-清y/

模型演炼

已知等差数列｛《,｝的前〃项和为S,，S?=8,%”=2%-l(〃eN)

⑴求数列m｝的通项公式;

(2)若数列｛%｝的前，项和为力求人

模型演炼/

己知数列｛《,｝,=|,2q+|=q+l.

(1)求证：数列｛4-1｝为等比数列，并求数列｛《｝的通项公式；

⑵求数列｛〃4」的前n项和S„.

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专项满分必刷j

---

1.已知数列｛〃”｝的前〃项和为S”，且勺=2%T+2"L且4=1.

(1)证明数列［黑］是等差数列；

⑵求数列｛q｝的前〃项和S”；

(3)若2足＜S”，求正整数攵的所有取值.

2.在公差不为零的等差数列｛《,｝中，4=1,且4,%，对成等比数列，数列低｝的前〃项和工满足S“=2bn-2.

⑴求数列｛q｝和低｝的通项公式；

(2)设q=%•加求数列｛［｝的前〃项和［.

3.设数列｛q｝的前〃项和为S“，且满足2s*36-3,〃wN+.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛"｝满足btl=log3%,求数列｛anb„｝的前〃项和。：

⑶对于(2)中的7；,若对任意的〃wN+，不等式，(-3)用＜7；+3恒成立，求实数4的取值范围.

4.已知正项等比数列｛4｝满足6=2,且2q,3g成等差数列.

⑴求｛q｝的通项公式：

⑵若%=岭泸+2H-1,求数列出｝的前〃项和S”.

5.已如数列｛〃“｝满足4=1

⑴求数列也｝的通项公式；

2

(2)若anbn=2n+3〃-2,求数列也｝的前〃项和S”.

6.已知数列｛《,｝的前〃项和为S“，2g=S“+〃(〃cN'),设"=q,+l.

⑴证明：数列｛，｝是等比数列；

(2)设数列•log/”｝的前〃项和为刀,，若数歹人，的前〃项和为匕，求证：

O

7.已知数列｛q｝满足4=l,g=2%+]=34-2〃,一(〃之2,〃£N)

(1)求数列｛"〃｝的通项公式.

(2)已知数歹U｛b„｝的前〃项和为S“e=5〃=5,月是等差数列，记数列｛“白｝的前〃项和为Tn.

①求9;

②求SB

MMM

8.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S.，且S“+2=2a“(〃eN.).

⑴求数列伍。｝的通项公式；

(2)设以.=——4/2—2/(〃w7N.)\,数列/他\｝的前〃项和为7；,证明：《＜6.

°n

【题型2：裂项相消巧妙变形问题】

裂项相消求和

csin1°.,.。

②---------------=tan(/?+1)o-tann

cosncos(〃+l)"

111^(2〃尸=1+K-12n1l

③%=-------=--------④q+)

n(n+1)nn+1(2/7-1)(2/2+1)

--------------------=T[1

n(n-\)(n+2)2(〃+1)(〃+2)

」±二，=2(〃+D-〃._L=」_______」则5=1――L_

〃(〃+1)2"+2"n-2/,-,5+1)2"'"5+1)2"

------------------=—!—(—?---------5—)

(An+B)(An+C)C-BAn+BAn+C

]

⑧%=册+篇=1—G，

4a+\Jb

…।〃+l।…八2"11

⑨％=log.丁喻(〃+1)-log。〃⑩4=(2〃二i)：(2"+匚1)=王丁尸I

(1)基本步骤

(2)裂项原则

一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.

(3)消项规律

消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

模型演炼

设S”为等差数列｛4｝的前〃项和，已知名=9,1=25.

(1)求数列伍“｝的通项公式；

(2)记2。为数列｛"｝的前〃项和，求

anan+l

模型演炼/

已知数列｛4｝中，％=1,%=4.产2《4”.

⑴求证：数列■为等差数列；

(2n-\\a3

Q)令/家n的前〃项和为却求证：

n(n+2)4

模型演炼/

*、

记数列｛〃"｝的前〃项和为J，已知4=2,且，，，是公差为g的等差数列.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵求三的前〃项和7；.

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专项满分必刷/

1.设各项均为正数的等比数列｛6｝的前〃项和为S.，的=8,5.=14.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

,111

⑵设d=10g2%,证明：丁+订+…+六一＜•

他b2b3b力计I

2.已知等差数列｛〃,,｝中，24+q=12,4+2/=1+卬.

⑴求数列｛为｝的通项公式.

1112

(2)记数列｛%｝的前“项和为S“，证明_L,+L+'S，＜£•

3.已知数列｛%｝为等差数列，前〃项和为邑吗=6,且1=12.

⑴求｛q｝的通项公式；

⑵求数列—的前〃项和Tn.

［4,4+1J

4.已知正数列｛q｝的前〃项和为3，4S“=a：+2a“，其中〃eN.

⑴求｛〃”｝的通项公式;

⑵求数列，」一］的前“项和

5.已知S.为等比数列｛%｝的前〃项和，若2%是4%和4的等差中项，且§3=14.

(1)求数列｛/｝的通项公式;

⑵若+2)7〃且数列步“｝的前“项和为若〃恒成立’求4的表达式以及”的取值范

困.

6.已知数列｛%｝满足4=1,且。什丹一。"+〃“+1=6

⑴求数列｛q｝的通项公式；

⑵设包=铝与，求数列也，｝的前〃项和5”・

I77+1I,Z

7.已知数列｛”“｝中，/=2,点®,<*+1)(在函数/(©=24+1的图象上.

(1)求数列｛q｝的通项公式;

⑵设N=Qg2%，证明：数列山』是等差数列;

2

⑶设c,F求数列｛C/的前〃项和s”.

【题型3：分组求和必记常见结论】

①等差数列求和公式：S”「团丁［一+妁片"

叫(q=1)

②等比数列求和公式:s〃=(#1)

\-q\-g

③S“=£k=—〃(〃+1)④S“=£k2=—n(n+1)(2〃+1)

hi2&=i16

⑤S“=l>3=£〃(〃+l)f

hi2

一、题型特征

数列通项不是等差、不是等比，但可以拆成等差数列+等比数列+常数项分开求和，再相加，就叫分组

求和

通项形式：即=等差+等比，加=等差-等比，即=指数式+多项式，即=奇偶项规律不一样

二、核心解题步骤

1.拆分通项公式，把an拆成两个数列之和

2.分别判断拆开后的数列：等差、等比

3.分别套用等差数列求和公式、等比数列求和公式

4.两个和相加/相减，得到前n项和Sn

5.化简整理最终结果

三、常见必考模型

l.a„=kn+b+q嘲差+等比分组求和

2=底+2呼方数列+等比数列

3.4=(-l)n-n+2怔负交替+等比

4.奇数项一个规律，偶数项一个规律

奇偶分开各自求和，再合并

四、等差求和公式

Sn=n(ai+an)/2=nal+n(n-l)d/2

五、等比求和公式

qWl时Sn二ai(l-q，/(l-q)=ai(qn-l)/(q-l)

q=l时Sn=n•ai

六、奇偶项分组求和(高考重难点)

Ln为偶数：奇数n/2项，偶数n/2项，分别求和相加

2.n为奇数：奇数(n+l)/2项，偶数(n-l)/2项，分别求和相加易错：一定要分清项数，不能算错个数

七、正负交错数列分组

a*(」)nn奇数项负，偶数项正,两两一组：(-1+2)+(-3+4)+……每一组和都等于1,快速分组计算

八、高频易错点

1.等比数列求和必须讨论公比q=l

2.奇偶项数列，项数极易算错

3.拆分符号不要出错，减号也要分组

4.最后结果一定要合并化简，不能保留两个求和式子

5.(-l)n一定要分n奇、n偶两种情况写答案

九、大题标准答题模板

由通项公式可得

an=等差数列通项+等比数列通项，分别对等差数列、等比数列求和

Sn=等差前n项和+等比前和，代入公式化简，即可得出数列前n项和

模型演炼

为偶数

已知等差数列｛4｝中%=6，4=12,且"=«

2%〃为奇数

⑴求数列｛q｝的通项公式；

(2)记数列｛2｝的前〃和为了“，求友的值(结果可以用辕的形式表示).

3

已知数列｛q｝的首项4=5,且满足qX—2q=­.

⑴求证：是等比数列；

⑵求数列｛%｝的前〃项和3.

模型演炼/

在数列｛4｝中，6=2,。e=3。“一2.

(1)求证：数歹ij｛q—1｝为等比数歹U：

⑵设b.=4+〃，求数列也｝的前〃项和S“.

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1.已知数列｛/｝满足4=1,且％=2q+1(〃£*).

(1)求证：数列口+1｝是等比数列；

(2)求数列也｝的通项公式及数列｛〃〃｝的前〃项和S..

2.已知等差数列｛凡｝的前〃项和为3，q=3,56-53=45.

⑴求｛可｝的通项公式：

⑵若数列｛〃“+〃｝是首项为I，公比为2的等比数列，求数列他J的前〃项和

3.已知数列满足％=2,4用-2",设｛〃“｝,｛%”｝的前"项和分别为S“,

an+2,n=2k,k€N*

(1)试求生，处的值并探究§2“与(的关系；

(2)当〃N2时,试求出小的通项公式;

⑶试求52026的值.

4.已知数列｛4｝的首项是4=]且％+|二5:.

⑴证明数列J-1•是等比数列，并求出数列｛4｝的通项公式；

⑵若,++,>2026,求满足条件的最小整数〃的值.

4%%an

5.已知等差数列｛q,｝前〃项和为S“，，+%=%，S3=%T.

⑴求数列｛%｝的通项公式.

⑵若数列的前2〃项和为心,，且6“>2027,求〃的最小值.

2

6.已知等差数列乩｝的公差为d,前八项和为S”，且q=sin2。，a2=cos6?,S4=4,其中.

⑴求公差d及。的值；

（2）设数列〃t=&sin晟，数列也｝的前〃项和为人求段.

7.已知等差数歹U｛%｝和正项等比数歹必2｝满足4+%+6=92自勿=27,a『b-4—4=18.

⑴求｛q｝和也｝的通项公式；

（2）若数列匕,｝满足%=[：：：为偶数£，求数歹U｛q｝的前2〃项和立.

【题型4：含（-，类进行求和问题】

我们估且把这种求和的方法称为“并项法可以推广到一般情况.用“并项法”求形如通项公式为

4二（一./（〃）的摆动数列｛为｝前〃项和的步骤如下：

第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当〃为奇数时，q+〃向的表达式；

第二步：然后对〃分奇、偶进行讨论，即当〃为偶数时，由

S"=（4+生）+（。3+/）+（%+。6）+…+（%T+凡）求出S”；

第三步：当〃为奇数且〃>1时，由S“=S〃T+凡求出S“，特别注意对〃=1时要单独讨论，即S1要单独求

出.

第四步：将S1代入当〃为奇数且〃>1时s〃的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表

示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示

模型演炼!

若正项数列｛〃“｝，仇｝满足4"=%-昭，则称数列｛q｝是｛2｝的平方差数歹U.已知数列｛q｝是低｝的平方差数

列，且+=〃〃“+[+1,4=3々=3.

（1）求｛4｝，｛〃｝的通项公式;

(2)求数列｛(-1)"。"｝的前〃项和S.；

⑶若嗯蠹求数列k｝的前2〃项皿

模型演炼

记S”为数列｛/｝的前〃项和，已知4=2,，=也招

⑴求数列｛同｝的通项公式；

⑵记T“为数歹IJ｛(一1)”七｝的前〃项和，求心.

04ONEFINEDAY'

专项满分必刷)

1.已知数列｛叫满足4=一列当〃之2时，(n-｝)an-nan_l=3.

⑴求数列1%］的通项公式；

n

(2)数歹站24｝的前汽项和为S“，证明：£“§+2<£"；

⑶若数列出｝满足力1T=%,&”=(-1-。屋2册，求数列也｝的前〃项和

2.已知点?(1/)在函数〃司="-1的图象上，记数列｛4｝的前〃项和为S“，且s”=75).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)设a=k)g2〃”，求数列｛(-1)7”的前2026项和.

3.已知数列｛%｝满足4=1,勺+产加+2%+1+1.

⑴求出，%,4的值，并猜测｛q｝的通项公式；(无需证明猜测)

(2)设4=(-1)"q,求数列｛bn｝的前〃项和Tn；

1

(3)设c“=,数列｛0｝的前〃项和为S；若对任意〃eN'，不等式S”<4恒成立，求实数人的最小值.

4.已知数列｛《,｝中，q=1,即加=(〃+1)4+〃(〃+1).

(1)证明：［半1为等差数列，并求｛4｝的通项公式；

⑵记仇=(-1)"凤，数列他｝的前，7项和为S“，求S”：

⑶数列｛%｝满足：年|+/。2++〃£=〃、〃+%+一,求［吧4的最大项.

22cn

5.已知等差数列｛q｝满足%+《川=2〃+l.

⑴求｛为｝的通项公式；

(2)设数列出｝满足bn=(T)"•a；+2%,求低｝的前2〃项和Q及其最小值.

6.已知数列｛&｝的前〃项和为S”，且满足(1+：%+(1+■|，2+0+1■/a+…+(1+］。”=S“+2-〃2-5〃-3,

又知4=1,4=2.

(1)求出,“4；

⑵求｛〃“｝的通项公式：

⑶2=(-1)"%,求也｝的前〃项和7；.

7.已知等差数列｛q｝,S.是数列｛4｝的前〃项和，满足S?=4,S4=16；数列也｝的各项都是正数，且满

足4=q,&=%-1,幼+2=%(〃协).

⑴求数列｛%｝和色｝的通项公式；

(6〃_7)"，〃为偶数

⑵记c“=-4,4+2'，求数列｛%｝的前2〃项和心；

%,〃为奇数

⑶在《和4小人旷中插入k个相同的数(-1产小,构成一个静数列｛4｝：4，1,生，-2,-2-3,3,3必,…，

求｛4｝的前2026项和.

8.数列｛4｝的前〃项和S,r=〃(〃+I),数列低｝满足她L"=2竽，〃wN..

⑴求数列｛q｝,也｝的通项公式；

⑵将数列仇｝和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列｛4｝,其中重生的数只取一次,

求数列应｝的前100项和.

【题型5:含绝对值求和问题】

一、题型特征

等差数列an带有绝对值

an=|kn+b|,数列项先正后负/先负后正

需要找到正负分界项，分段去掉绝对值再求和

二、核心解题思路

1.先不看绝对俏，判断原数列是等差数列

2.求an=0时n的值，找到正负分界项k

3.nWk时，an符号一致

n>k时，an符号相反

4.分段求和：前k项直接求和，后面各项取相反数求和

5.分nWk、n>k两种情况写Sn

二、标准解题步骤

1.求数列通项an,判断等差公差d

2.令an》()，解出正项最大项序号k

3.当nWk时,|an|=an,5产原数列前n项和

4.当n>k时

Sn=2X前k项和-原数列前n项和

四、万能公式结论

设第k项开始变号

nWk,Sn=Sn原

n>k,Sn=2Sk-S原n

五、正负规律

1.公差d>0,数列递增：先负后正

2.公差dVO,数列递减：先正后负

3.分界项一定是整数，不是整数就近取整

六、常见易错点

1.分界项k一定要取正整数，不能直接用小数

2.分界项本身符号不要搞错

3.n>k时，后面每一项都要变号，不是只变一项

4.必须分两种情况写答案，不能合并

5.等差数列求和公式不要代错首项、项数

七、大题标准答题模板

如果数列｛/｝为等差数列，