七年级下学期数学：实数（期中复习讲义） 解析版

专题02实数（期中复习讲义）

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明期中考清把握命题趋势，明确备考路径

记必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区

破•重难题型题型分类突破，方法技巧精讲

题型01平方根

题型02算术平方根

题型03立方根

题型04实数

过.分层验收阶梯实战演练，验收复习成效

.明•期中考情.

核心考点复习目标考情规律

平方根理解平方根概念，掌握性质，会求非负数逃择填空必考，常考概念辨析、求数的平方

平方根，区分正负平方根；根，难度基础。

算术平方根掌握算术平方根定义与非负性，会求算术高频考点，侧重非负性、计算，常与绝对值、

平方根，会简单应用：平方结合出题。

立方根理解立方根概念，掌握性质，会求任意实先择填空常考，考查计算与性质，正负立方

数的立方根；根均存在。

实数及其简单运认识实数分类，理解无理数概念，掌握实综合考查，选择填空判断无理数，解答题考

算数运算与性质；运算与大小比较。

.记•必备知识.

惶知识点01平方根

1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么a叫做这个数x的平方;

这个数x叫作a的平方根或二次方根。求一个数的平方根的运算，叫作开平方。

平方运算和开平方运算是互逆关系。

例：求下列各数的平方根：

(1)100：⑵高(3)0；(4)-9o

解：(1)(±10)2=100,100的平方根是±10；

(2)•・•(±?4，:.专的平方根是±点

(3),/()2=004,J0的平方根是0：

(4)•・•任何数的平方都不会是负数，工-9没有平方根。

2.平方根的符号记法

一个正数a的有两个平方根，记作：土向其中+G叫做a的正的平方根,“+V?'简写；

叫做a的负的平方根；

3.平方根的性质

(1)正数有两个平方根，它们是互为相反数；

(2)0的平方根是0；

(3)负数没有平方根.

因为负数没有平方根，所以G有意义的条件是a>0.

理知识点02算术平方根

定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根6叫作a的算术平方根.

规定：0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为V5.

例求下列各数的算术平方根：

(1)100;(2)64;(3)0.0001.

解：(1)=10；y

(2)V64=8；

(3)V0.0001=0.01

总结：从例题可以看出——被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这是实数比较大小的依据，也是求

无理数近似值的依据。

例：V5在整数和之间，V30在和之间。

解：V5在整数2和3之间，频在5和6之间。

愎知识点03立方根

1.定义

一般地，如果一个数的立方等于。，那么这个数叫做。的立方根或三次方根,记作：,；

求一个数的立方根的运算，叫做开立方：

2.立方根的性质

互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。

3.立方根的小数点移动规律

例：用计算器计算求*0.000216,V5^ii.VHi,W216000,.你能发现什么规律？

解：V0.000216=0.06

V0216=0.6

V216=6

V216000=60

总结：被开方数的小数点向左（右）移动三位，立方根的小数点相应地向左（右）移动一位。

悭知识点04实数及其简单的运算

I.实数的概念及分类

（1）相关概念：无限不循环小数叫作无理数，有理数与无理数统称实数。

（2）实数的分类

①按定义分类：②按性质分类：

|正有理数j

有理数0有限小数或无限循环小数।正实数

实数，I负有理数।实数平

T加她正无理数i丁阳/-旗1担负实数

无理数।无限不循环小数

负无理数।

（3）实数与数轴上点的对应关系

实数与数轴上的点一一对应，在数轴上右边的数总大于左边的数。（这是实数大小比较的依据）

2.实数的运算

（1）实数的相反数

数a的相反数是-a.

如：-（-V6）=V6.

（2）绝对值

一个正实数的绝对值是它本身：一个负实数的绝对值是它的相反数：0的绝对值是0.

IU.当a>0时；

a=0.当a=。时；

I-a・当aVO时.

例：因为V2<V3»

所以，I近一㈣=-（鱼一遍）-衣（负数的绝对值等于它的相反数）

（3）加减乘除运算法则

有理数的运算法则及运算律同样适用于实数.

3x&■可以省略“x”，写成“3鱼”

例：37？+2&=（3+2）V2=5V2（乘法分配律）

易错题：V3+V2*vm（不属于乘法分配律）

（4）实数的乘方、开方运算

因为x（x>0）的平方是a（a>0）,所以x是a的算术平方根，Va=%：

因为3的平方是32,所以3是32的算术平方根，记作：序=3：

反之，因为x是a的算术平方根，所以x2=a；

因为8是3的算术平方根，所以（遮）,3；

归纳：Va2=a（a>0）,（Va）2=a（a>0）；

同理：=a,（Va）2=a.

.破•重难题型.

团题型一平方根

r.......................................................................................................................................................

:解I题I技I巧

;先判断数非负，再找平方等于该数的数，注意正负两个根；

;易I错I点I拨

:I.易漏负平方根，负数无平方根，勿与算术平方根混淆。

I--------------------------------------------------------------------------------------

【典例1】（24-25七年级上•浙江杭州•期中）“我16的平方根是±4三”，用数学式子表达为（）

【详解】解：“要的平方根是±（"，用式子表示为土J^=±

故选：c.

【变式1】（24-25七年级下•全国•期中）（-0.4『的平方根是（）

A.-0.4B.±0.4C.±0.2D.±0.16

【详解】解：•・•（-Oaf=0.16,士而帚=±04

.••（-0.4）2的平方根是±0.4,

故选：B.

【变式2】（24-25七年级下•全国•期中）36的平方根是（）

1

-+-C6

A.+6B.6D.

【详解】解：（±6）2=36,

・・・36的平方根是±6,

故选：A.

国题型二算术平方根

r...................................................................................................

答I题I模I板

结果为非负数，直接找正的平方根，利用非负性列方程求解;

易I错I点I拨

结果只能为非负，易误写为正负值，混淆与平方根的范围。

【典例1］（24-25七年级上•全国•期中）J正的算术平方根是.

【详解】解：716=4,

:,加的算术平方根是〃=2，

故答案为:2.

【典例2］（24-25七年级下•四川•期中）已知后=2.45,廊=0.77,贝U疝丽。（）

A.0.0077B.0.077C.0.0245D.0.245

【详解】解：・・・J^2.45，

.•・7^=匹=迈=空=0.245,

V1001010

故选：D.

【变式1】（24-25七年级下•全国•期中）4的算术平方根是（）

A.±2B.2C.±72D.五

【详解】解：4的算术平方根是：〃=2，

故选:B.

【变式2】（24-25七年级下•全国•期中）学完平方根后，老师布置了4道填空题，下面是嘉鬲的完成情况:

①。的平方根是0;②16的平方根是±4；③9的算术平方根是3；④病的平方根是±5.嘉嘉做对了几道

题（）

A.1道B.2道C.3道D.4道

【详解】解：①根据平方根的定义，0的平方根只有0,故①正确：

②平方根包括正负两个值，16的平方根是±4,故②正确；

③算术平方根为非负数，9的算术平方根为百=3,故③正确；

④由后=5，5的平方根应为±45,而非±5,故④错误：

综上，嘉嘉做对了①、②、③，共3道题.

故选：C.

包题型三立方根

答|题|模|板

根据立方运算求根，正数、负数、0均有唯一立方根；

易|错|点|拨

易与平方根性质混淆，忽略负数有立方根，计算符号出错。

【典例1］（24-25七年级下•福建•期中）若GT+（3x+y-1『=0,则工+y的立方根为.

【详解】解：Vy/x-\+（3x+^-l）2=0,

d=0且3x+v—1=0.

解得：x=I,y=-2,

则x+y=l-2=-1,

则x+y的立方根为-1；

故答案为：-1.

【典例2](24-25七年级下•黑龙江•期中)求下列x的值

(1)8(X-1)3+27=0

⑵2—-32=0

(3)1*7)2=81

【详解】(1)解：8(x-lf+27=0,

.\8(x-l)-=-27

—半

X-1=—,

2

解得：x=；

(2)解：2--32=0,

J2/=32,

•*-=16»

解得：x=±4：

(3)解：V(X-1)2=8I,

Ax-1=±9,

贝ijx-1=9或x-1=-9

x=10或x=-8.

【变式1】(24-25七年级下•江西赣州•期中)求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如衣，有

些数则不能直接求得，如行，但可以通过计算器求.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律

求得，请同学们解答以下问题：

a•••0.04440040000•••

•••0.2220200•••

⑴运用你发现的规律，探究下列问题：已知〃06。1.435,求下列各数的算术平方根：

©V0.0206«_；®>/206«_：

(2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根.已知正方1.260,则炳丽。一

(3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值

©X2-6=30

②(》+1丫+1=0

【详解】(1)解：丁而3.435,

/.V0.0206=VZ06xVMT«1,435x0.1«0.1435，

A7206=VZ06xVl00=51.435x10»14.35；

故答案为：0.1435,14.35；

(2)解：类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小10"倍，/方根就相

应的扩大或缩小10”倍：或者说成被开方数的小数点向左或向右移动3〃位，则立方根的小数点就向左或向右

移动〃位.即有：

•.•^2®1.260»

.•.(2000*12.60.

故答案为：12.60

(3)解：一一6=30移项得犬=30+6,

即x2=36,

得x=6或-6；

②(x+iy+l=0原方程移项得(x+l)3=-l,

即x+1=-1,

解得X=-2.

3题型四实数的运算

答|题|模|板

先化简再运算，按有理数运算法则计算，区分有理无理数;

易I错I点I拨

误判带根号数为无理数，运算时符号、运算法则出错。

【典例1】（2024七年级下•河南•专题练习）在下列实数中，无理数是（）

I____22

A.0.151515...B.冗C.VO.16D.

.____22

【详解】解：0.151515…、疝而、3是有理数，乃是无理数；

故选：B.

【典例2］（24-25七年级下•全国•期中）石-石的相反数是,绝对值是

【详解】解：百-石的相反数是一（6-后）=病一6：

后的绝对值是椁-码=后-6.

故答案为：#）-6，V5-V3.

【典例3】（24-25七年级下•全国•期中）比较大小：V6-12.（填或“=”）

【详解】V4<6<9,

*,*<y/（><5/9，

：・2<瓜<3,

A1<V6-1<2..

故答案为：<.

【典例4］（24-25七年级下•全国•期中）计算：

（1）-\f\6+—x5/8+（-2）2；

VJ—>/9+|V3—3—小—

【详解】⑴解：-旧+夫我+（-2）2

=-4+—x2+4

2

=-4+1+4

=1：

(2)解:V3-V9+|V3-3

=^-3+3-5/3--

4

1

4

【变式1】（24-25七年级下•全国•期中）把下列各数分别填在相应的括号内：

-5,--,病，0,-1372,后，0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）.

（1）整数：｛…｝;

（2）分数：｛…｝;

（3）无理数：｛

【详解】⑴解：-||=|,病=5,

・••整数有：一5、炳、0；

（2）解：分数有：、-1372；

（3）解：无理数有：一5、后、0.1010010001...（每两个1之间依次多一个0）.

【变式2】（24-25七年级下•湖南•期中）下列各组数中互为相反数的是（）

A.3和B.-3和力历C.-（-75）2和3D.-3~\^27\

【详解】解：A、由代斤=3,得3和斤斤不互为相反数，故A选项不符合题意;

B、由在方=-3,得-3和在而不互为相反数，故B选项不符合题意；

C、由-卜6『=一3,得-卜6丫和3互为相反数，故C选项符合题意；

D、由-|纭力=-3,得-3和竹卜-3不互为相反数，故D选项不符合题意:

故选：C.

【变式3】（24-25七年级下•广东•期中）如图，正方形川?CO的面积为3,点4在数轴上，且表示的数为

-2,以点力为圆心，力4长为半径画弧，与数轴交于点E（点七在点力的右侧），则点七所表示的数为

D

\4/

-3-2-1；0M

【详解】解：•・•正方形的面积为3,

/.AB=y/3；

•・•以4点为圆心，48为半径,和数轴交于£点，

/.AE=AB=6

・••点E所表示的数为-2+6，

故答案为：-2+VJ.

【变式4】(24-25七年级下•贵州•期中)如图所示，b,c是数轴上三个点4,B,C所对应的实

数.其中。是4的一个平方根，方是-27的立方根，。是”3&的相反数.

■■U，a

84ac

(1)填空：a=_,b=_,C=_；

(2)先化简，再求值：+|/?-a|-|c|

【详解】(1)根据数轴可得

:。是4的一个平方根，

/.a=±2

根据数轴可得a<0

a=-2,

—27的立方根为—3,则b=—3,

•・"是1-3&的相反数

:・c=3&-\，

故答案是：一2,—3,35/2-1;

(2)*：b<a<0<c

a<0,b-a<0,c>0t

•-y[(af+\b-a\-\c\

=-a-\-a-b—c

当6=-3,c=3&-l时，

原式=-(-3)-(3&-1)

=3-3>/2+1

=4-3&

【变式5】(24-25七年级下•全国•期中)材料：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如

2<V5<3.是因为"〈逐〈强，所以右的整数部分是2,小数部分是b-2.

根据上述材料，回答下列问题：

(1)、/万的整数部分是一，小数部分是

(2)若5十囱的整数部分是。，小数部分是6,求2a十6的值.

【详解】(I)解；:丁^〈风〈后，

/.4<V17<5,

・••炳的整数部分是4,

・•・小数部分是旧-4,

故答案为：4；JF7—4：

(2)解：：Vi'〈百

/.1<75<2,

，6<5+6<7,

・・・5+6的整数部分。=6,

，5+6的小数部分力=5+6-6=6-1,

，2〃+Z?=2x6+G-l=11+5

.过•分层验收.

期中基础通关练（测试时间：10分钟）

1.下.列各数是无理数的是（

A.0B.1C.V9D."

【详解】解：A、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；

B、g是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；

C、&=3是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；

D、不是无理数，故此选项符合题意.

故选：D.

2.规定：把不超过实数x的最大整数记作凶，例如：[2.6]=2,[5]=5,卜3.1]=-4,则卜-4卜卜6]的

值等十（）

A.1B.0C.-ID.-2

【详解】解:根据国的意义得,

=-1-（-2）

=-1+2

=1,

故选:A.

3.下列说法中，正确的是（）

A.8的立方根是±2B.病的平方根是9

C.平方根等于本身的数有0,1D.-64的立方根是-4

【详解】解：A、8的立方根是2,原选项说法错误，不符合题意:

B、庖的平方根是±3,原选项说法错误，不符合题意；

C、平方根等于本身的数有0,原选项说法错误，不符合题意：

D、-64的。•.方根是-4,原选项说法正确，符合题意；

故选：D.

4.下列说法：①.（-10）2=-10；②数轴上的点与实数成一一对应关系：③任何实数不是有理数就是无理数;

④两个无理数的和还是无理数，正确的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【详解】解：①IO)?=10,故此选项不符合题意；

②数轴上的点与实数成一--对应关系，故此选项符合题意；

③任何实数不是有理数就是无理数，故此选项符合题意；

④两个无理数的和不一定是无理数，故此选项不符合题意；

即：正确的有②共2个.

故选：B.

5.乃的相反数为.

【洋解】解：万的相反数为一%

故答案为：一汗.

6.按照如图所本的操作步骤，若输入x的值为6,则输出的值为

【详解】解：输入x的值为6时，按程序图计算为：土而5=±百=±3,

开平方后为3时，3>0,取相反数为-3,-3-5--8,

开平方后为-3时,-3<0,-3-5=-8,

故输出的值为-8,

故答案为：-8.

7.求59319的立方根，解答如下：

©VV1000=10,^1000000=100,又•••1000<59319<1000000,7,1(X^59319<100,工能确定59319的立

方根是个两位数.

②59319的个位数是9,又•.•93=729,「・能确定59319的立方根的个位数是9.

③划去59319后面的三位319得到数59,而炳〈回〈病，则3c病<4,可得30〈病杀<40,由

此能确定59319的立方根的十位数是3,因此59319的立方根是39.根据以上步骤求出314432的立方根是

【答案】68

【分析［本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，

即可解答.

【详解】解：­,­V1000=10,■（/1000000=100,

又v1000<314432<1000000,

.\10<^314432<100,

；・能确定314432的立方根是个两位数.

314432的个位数是2,

又•,•83=512,

；・能确定314432的立方根的个位数是8.

划去314432后面的三位432得到数314,而蚯而〈际7<加而，则6<际7<7,

可得60<V314432<70，由此能确定314432的立方根的十位数是6,

因此314432的立方根是68,

故答案为68.

8.计算：-呼+加一"码+肪—［（一31.

【详解】解：一产22+后一卜一血+肪一几斤

=-i+4-（V2-l）+3-3

=-1+4-72+1+3-3

=4-72.

9.已知第一个正方体水箱的棱长是6dm,第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81dm3,

则第二个水箱需要铁皮多少平方米？

【详解】解：第一个正方体水箱的体积为右=216（5一）,

所以第二个正方体水箱的体积为3x216+81=729侬叫，

所以第二个正方体水箱的棱长为如前=9（dm）,

所以需要铁皮为92x6=486（dm2）=4.86（m）

答:第二个水箱需要铁皮4.86m2.

期中重难突破练（测试时间：10分钟）

1.在0、1、-2、-行这四个数中，最小的数是（）

A.0B.1C.-2D.-V3

【详解】解：在0,1,-2,-百这四个数中，最小的数是：-2.

故选:C.

2.观察下列各式:

+—7+-T7=1+———=I—•根据上面二

32423412

个等式,猜想假+看的结果为（

)

A.1；B.C.D•讶

1O£

【详解】根据题意.第〃个等式为

785656

3.计算：-V^27-V9=

【详解】解：一后i—也

=3-3=0.

故答案为：0.

4.下列实数,，0.57557,强，。中，其中无理数是

【详解】解：与22，分数，是有理数：

0.57557,有限小数,是有理数；

-〃=-2,整数，是有理数；

我、?是无限不循环小数，是无理数.

故答案为：强和

5.比较大小：72后.

【详解】解：:7=如,2«=痴，且49>44,

./49>744,

:・T>2拒，

故答案为：>.

6.(1)计算：一产22+百+场+|退一2|

(2)求x的值：4X2-9=0

【详解】解：(1)原式=一1+百+3+2—Q

=4；

(2)移项，得4./=9,

4，

直接开平方得x=±|.

7.组1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形.

(2)如图2所示，点力表示的数是.

(3)网格中有一个由8个小正方形组成的图形(加粗部分)，请仿照图1,将它剪开并拼成一个正方形，在网

格中画出示意图.再将数轴补充完整，并在数轴上表示-布.〔保留作图痕迹)

【详解】(1)解：•・•图1中拼成的正方形是由五个边长为1的小正方形组成的，

・••图1中拼成的正方形的面积是5,

，图I中拼成的正方形的边长为不，

故答案为：5,布;

(2)解：由图1可知，边长为逐的正方形是由4个直角边为1,2的直角三角形组成的,

・••此直角三角形的斜边长为石，

同理可得。4=后，

・••点4表示的数为6-1,

故答案为：\/5—1:

图2

(3)解：如图所示，即为所求.

8.动画电影《哪吒闹海》中，哪压在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用"混天绫'’恰好能围成一个面

枳为25mz的止方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面枳为⑵/的长方形，旦长与宽之比为

2：1.

(1)“混天绫”的总长度是多少米？

(2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由.

【详解】(1)解：因为5x5=25(m2),

所以正方形的边长为5m.

所以正方形的周长为5x4=20(m).

答：混天绫的总长度是20m.

(2)设宽为xm,则长为2xm.

可得：2xxx=12,

解得:x=46(因为长度为正，舍去负根)，

K为：2乂指=2指(”?)，

(小+2指)x2=6指(加)，

6am<20w.

答：混天绫长度足够完成新阵法.

期中综合拓展练(测试时间：15分钟)

1.下列说法中，正确的是()

A.不带根号的数一定是有理数

B.实数和数轴上的点一一对应

C.无限小数都是无理数

D.算术平方根等于它本身的数是0和±1

【详解】解：A、不带根号的数不一定是有理数，例如兀不带根号，但它是无理数，该选项错误；

B、根据实数与数轴的关系，实数和数轴上的点是一一对应的，该选项正确；

C、无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是

无理数，该选项错误；

D、算术平方根等于它本身的数是0和1,7,负数没有算术平方根，该选项错误.

故选:B.

2.比较三个数：-3的大小，下列结论正确的是()

A.一乃>一3>—yioB.->/[()>-^>-3

C.-Vl()>-3>-7tD.-3〉一万>-Vio

【答案】D

【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键.先分别求出

三个数的绝对值，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”来比较这三个负数的大小.

【评解】解：V|-3|=3,|-^|=^®3.14,|-V10|=Vi0«3.16,

又,,•3<3.14<3.16,

-3>-7T>—>/10♦

故选：D.

3.比较大小：>/20，3.14乃；

【详解】解：&<石，3.14<4，

故答案为：<，<

【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握比较的方法是解本题的关键.

4.若记国表示任意实数的整数部分，例如：艮5]=3,[后]=2,…，则

+…+[展7]-[755应](其中"+”“一”依次相间)的值为.

【详解】解：•・・1/，?V2即力"时，［C］=l,此时片1,2,3,

・・.固-［司+㈣=1-1+1=1；

•・・2W6V3即4W6V囱时，［4］=2,此时〃=4,5,6,7,8,

・・・-［/卜网-［甸+［布卜网=-2+2-2+2-2=-2：

•・・3W〃V4即我时，［«］=3,此时〃=9,10,11,12,13,14,15,

+++3+3-3+3-3+3=3；

由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1,且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部

分是2的算术平方根的整数和是・2,整数部分是3的算术平方根的整数和是3,

V442=1936,452=2025，

・•・44WG<45即V193G^V^<V2O25日寸，«］=44,

-Vl936+>/i937-V1938+Vl939--••+^2019-V2020+V2021-y/2022--44,

・・・MH&］+［行［-［/］+…+［而可-［而司

=1-2+3-4+54+…+43-44

=(1-2)+(3-4)+...+(43-44)

=-1x22

=-22,

故答案为：-22.

5.若的整数部分为〃，小数皆分为4

(1)求”，8的值；

⑵求/+b-JI5的值.

【答案】(1”=3,6=加一3

⑵6

【分析】本题主要考查了无理数的估算，代数式求值，实数的混合运算，

对于(1),根据百vjilvj记，可知3vjil<4,即可求出答案：

对于(2),将(1)中数值代入计算即可.

【详解】（i）解：•・•囱<>/15<丽，

••・3〈曰<4,

・・・。=3,8=m-3：

（2）解：由（1）得。=3,