第九章 因式分解（单元自测-提升卷）-苏科版八年级数学下册【含答案】

2025-2026学年八年级下册数学单元自测

第九章因式分解,能力提升

建议用时：60分钟，满分：120分

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.下列各等式中，从左到右的变形是囚式分解且分解正确的是（）

A.（4+8）（。一方）=4?一b?B.Q:+2a+l=〃（a+2）+l

C.x2-2xy+y2=（jr+^）2D.x（x+2）-（x+2）=（x-l）（x+2）

2.若多项式5/一17~12可因式分解为（》+。）（瓜+3）,其中*b均为整数，则Q+b的值

是（）

A.9B.-9C.-1D.1

3.把多项式642b-3H/+i2R）因式分解时，应提取的公因式是（）

A.ahB.3a2bC.3ab2D.3ab

4.把多项式（x-2『-4x+8因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（）

解：原式二（x-2）~+（4x-8）①

=（X-2）2+4（X-2）②

=（~2）（X-2+4）③

=（x-2）（.r+2）.④

A.①B.②C.③D.④

5.计算（-2升，（_2）皿的结果为（）

A.22024B.22°25c.-22024D.-22025

6.己知实数机满足〃/+加一2=0，则〃/+2〃?2_机+9=（）

A.8B.9C.10D.11

7.已知a,b,c是△4?C的三边，且满足（万+/）（。-方）一。2（4-力）=0,贝IJZU4C的形状

是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角

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三角形

8.若/e+c)=〃(a+c)=2022,a手b,则abc的值为()

A.-2022B.1011C.2022D.2024

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

9.单项式8小y与4门/的公因式是

10.^xy=2026,x-3y=-1,则%除一3孙？+孙=.

11.我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证.观察图①，

2

a-l=fl(a-l)+(«-l)=(«-l)(a+l).接下来，观察图②，通过类比思考，因式分解:

a3-1=.

12.把多项式(x+D(—2)-(2-x)提取公因式x-2后，另一个因式为.

13.若整式9/+1加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式,则加上的单项式是

14.若匕叱3=82x4,则吁，

m

15.已知9+/+/-2x+6y-4z+14=0,WJ(x-y-z)5=.

16.如图，将三个边长分别为a,〃的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为

12,面积为7.则代数式〃%+6/〃+9而3的值是.

bbb

17.已知20242025—2024.③=2024"x2023x2025,则。的值为.

18.在日常生活中，如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便

记忆，原理是对于多项式f-八因式分解的结果是(x-)，)(x+#(.d+V),若取x=9,k9,

则各个因式的值是x+y-18,/i/=162,于是就可以把“018162”作为一个六

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位数的密码.对于多项式9丁_492,取x=11,y=10,用上述方法产生的密码是(写

出一个即可).

三、解答题(共7小题，共46分)

19.因式分解：

(1)24/6/-8"2；

(2)()?+3〃)(4〃?-〃)一(〃?+3〃)(加一7〃).

20.因式分解:

(1)4,+2/+4：

(2)9/一*-2式

21.先因式分解，然后计算求值.

已知”-6=；,ab=S,求一2a为2的值.

22.简便计算：

(1)1.992+1.99x0.01

(2)20132+2013-20142.

23.阅读下面的材料，回答问题：

因式分解：X2+4X+3.

解：原式=/+4工+4-4+3

=(X+2)2-1

=(x+2+l)(x+2—1)

=(x+3)(x+l).

上述因式分解的方法称为配方法.

请仿照上面配方法的解题步骤，将下列各式因式分解：

(1)x2-6.r-7;

(2)9/+12X-5.

24.阅读理解

常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法.但有更多的多项式只用上述方法无法分解,

如x2-4/—2x+4y,细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取

公因式前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分

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解因式了.过程如下：

x2-4/-2x+4^=(x-2y)(x+2^)-2(x-2y)=(x-2>)(.r+2y-2),

这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：

22

⑴分解因式：x-a+x-^a

⑵已知△N8C的三边长。、b、c满足条件：a4-b4+b2c2-a2c2=O,判断△/8C的形状，

并说明理由.

25.阅读材料，回答问题.

材料一：对于关于x的多项式P，有如下结论：若工-。是P的因式，则当x="时，P=0.

这个结论被称为因式定理.例如：若x-2是多项式尸=/一4的因式，则当x=2时，尸=0.

材料二：用。卜)表示三次多项式V+—+区+12,即。卜)=d+尔+以+12,例如：当x=2

时，Q(2)=2i+ax21+b>：2+\2.

已知。。)=。(3)=0,求下列问题：

(1)求0(")=^+加+反+12中的〃和6的值;

(2)若。(x)=24,利用因式定理，求此时x的值；

(3)发现结论：对于x的两个不同取值，存在常数小，使得。(x)+，〃能写成某些正整数的平

方.例如：当x=4和x=5时，。(4)=24,。(5)=72,存在常数加=97,使得

C(4)+/H=24+97=I21=112,0(5)+〃?=72+97=169=".求当x=5和x=7时，满足结

论的正整数，〃的值.

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1.D

【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义(把一个多项式化为几个整式的积的形

式)，结合因式分解的方法逐一判断选项.

【详解】解：「.A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误；

选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误；

•••C选项中W-2町"_/=|孑-田2,原式分解错误,错误;

•••D选项中，提取公因式(x+2),x(x+2)-(x+2)=(x+2)a—l)=(x—l)(x+2),符合因式

分解定义且分解正确；

二故选：D.

2.D

【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项

式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键.先洛因式分解后的式子(X+。)(分+3)

展开，再与原多项式5x2-17x-12的各项系数对应相等，列出方程组求出整数。、力的值，

最后计算。+6的值.

【详解】解：•.•将(x+a)(版+3)展开得及2+(3+。。)》+%,

又-I7x-12=(x+tz)(/>x+3),

b=5

3"-12,

3+"=-17

由3a=-12得。=一4,

将。=-4,〃=5代入3+时得3+5X(—4)=—17,符合条件，

.••〃+〃=-4+5=1,

故选：D.

3.D

【分析】根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次恭，进行求解即可.

【详解】解：6a2b-3ab24-12ab=3ab(2a-b+4),

故选：D.

【力、睛】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键.

答案第1页，共12页

4.A

【分析】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分

解过程中的错误是解题的关键.

检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步

骤基于错误表达式进行.

【详解】解：原式为（x-2）—4.v+8,

v-4x+8=-（4x-8）,

•••正确变形应为（x-2『-（4x-8）,

但步骤①写为（x-2『+（4x-8）,符号错误，

・••开始出现错误的一步是①.

故选：A.

5.C

【分析】本题考杳了同底数嘉的乘法法则与提取公因式，找出公因式是解决本题的关键.先

提取（-2户“，再根据同底数'曷的运算法则进行变形求解即可.

【详解】解：（-2严+（-2严

=（一2严乜（一2+1）

=22024X（-1）

=-22024.

故选：C.

6.D

【分析】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的

值.

由已知可得“J+m=2,然后通过变形以及整体代入求值即可.

2

【详解】解：vW+m-2=0,

•••m~+〃?=2,

•••"/+2〃/一〃?+9

=nr+m2+m2-m+9

答案第2页，共12页

=ni^m2+〃?)+〃/-rn+9

=〃?x2+m2-〃?+9

=nr+m+9

=2+9

=11.

故选D.

7.D

【分析】由(/+⑹(a_〃)_c2(a_b)=o,可得(。_3(力+/12)=0,然后通过等腰三角

形定义及勾股定理即可求解.

【详解】解：•♦•(/+〃)(4—/>)一°2(4-6)=0,

.*.(<7人)(。2I%。-<?2)=0,

-6=0或/+b2-c2=0,

二。=8或/+b2=c2,

.•.△48。的形状是等腰三角形或直角三角形.

8.A

【分析】将己知等式利用提公因式法变形，整理可得/m+c)-〃(a+c)=0,进而可得

ab+ac+bc=0,所以ab+be=-ac,由于/(〃+c)=2022,即〃(a6+Z?e)=2022,从而可

得出答案.

【详解】解："Hc"(a+c)=2022,

/(b+c)-〃(a+c)=0,

即a2b+a2c-ab2-b2c=01

整理得ab(a-b)+e(a+/))(“-6)=0,

：.(a-b)(ab+ac+bc)=0,

,：a手b,

:.a-bfO,

ab+ac+bc=0f

答案第3页，共12页

即劭+a？=-ac,

•.•〃(a+c)=2022,

:.b(ab+bc)=2022,gpb(-ac)=2022,

abc=-2022.

9.4x2y5

【分析】本题考查了单项式的公因式，熟悉掌握公因式的概念是解题的关键.

根据公因式的概念解答即可.

【详解】解：8/y3与4x3/的公因式是：4O3；

故答案为：4X2/.

10.0

【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键.

先对所求代数式提取公因式进行因式分解•，再将已知条件整体代入计算求解.

【详解】W-：x2y-3xy2+xy

=可，(彳-3)，)+孙

将xy=2026,x-3y=-l代入上式，得

原式=2026x(-1)+2026

-2026+2026

=0,

故答案为：0.

11.(a-l)(a24-47+1)

【分析】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形体积的割补是解题的关键.

图②图形的体积有两种计算方法：(1)三个长方体体积相加；(2)大正方体体积减去小正

方体体积，按要求列出式子，即可解答.

【详解】解：将图②分成三个长方体，

可得体积为-。-l)+le(〃-1)

=£72(6T-1)+67(£7-1)+(6(-1)

答案第4页，共12页

=(4-1乂〃2+4+1),

-1+Q+1).

故答案为：(。一1乂/+。+1).

12.x+2

【分析】先将多项式中的(2-丫)变形为-(一2),使两项都含有公因式(.2),再提取公因

式，即可得到另一个因式.

【详解】解：(x+l)(x—2)—(2—x)=(x+l)(x—2)+(x—2)

=(x-2)[(x+l)+l]

=(X-2)(X+2)

提取公因式x-2后，另一个因式为x+2.

故答案为：x+2.

【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过符号变形统一公因式，再

完成提取，从而确定另一个因式.

13.6x或-6x或@

4

【分析】根据完全平方公式的结构特征，分情况讨论，确定符合条件的单项式即可.

【详解】解：完全平方公式的结构为(a±6)2=/±2ab+〃，分两种情况讨论：

①当和1分别为完全平方中的两个平方项时，

此时9/=(34，i=r，中间项为±2.3对二±6》，

因此可以加上的单项式为6x或-6x；

②当1为其中一个平方项，9x2为中间项时，设所加的单项式为加，

0

根据完全平方公式，有±2・/&=9/，解得/=±y2,

因此加上的单项式为/=(±^工2j=与父，

Q1

综上，符合条件的单项式为：6%或-6》或4/.

4

14.72

【分析】利用平方差公式分解因式后化简可求解.

答案第5页，共12页

*7*191111

【详解】解：V(--)(--)(--)=82x102,

:n

(7T(9-)(U—)

-82X102

(7+1)(7-1)(9+1)(9-1)(11+1)(11-1)

82X10:

8x6x10x8x12x10

82X102

=72.

15.32

【分析】将等式的左边转化为完全平方公式的和的性质，利用非负性求出x，y，z的值，再进

行计算即可.

【详解】解：x2+y2+z2-2x+6y-4z+\4=0,

——2x+1+/+6y+9+z?—4z+4=0,

(X-1)2+(^+3)2+(Z-2)2=0,

x—1=(),y+3=(),z-2=0,

:.x=\ty=-3,z=2,

二(x-y-z)’=(1+3-2)s=32.

16.84

【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出。+3匕=6,

7.

处=M再将代数式变形为帅(4+38)-,即可求解.

【详解】解：•••大长方形的周长为12,面积为7

2(a+3b)=\2,3ab=7,

a+3b=6,ab=—

3t

：.crb+6a2b2+9加=ab(a2+6ab+9b2)=ab(a+3b)2=x62=84,

故答案为：84.

17.2023

【分析】本题考查了提取公因式法和平方差公式在指数式中的应用，掌握提取公因式后用平

答案第6页，共12页

方差公式分解因式，再对比指数求解是解题的关键.

通过提取公因式和平方差公式将左边化简，再与右边对比指数得出结果.

【详解】解：左边：2O242025-2O242023=2O242023（20242-1）

=20242023X（2024-1）（2024+1）

=20242023x2023x2025

右边：2024°x2023x2025.

因此，2024?023x2023x2025=2024"x2023x2025,

约去非零因子2023和2025,得2O242023=2024a,

所以4=2023.

故答案为：2023.

18.111353（答案不唯一）

【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握因式分解的步骤是解题的关键.

对多项式进行因式分解，然后代入数值计算各因式的值，组合成密码.

【详解】解：多项式提取公因式得耳9/-4/）,再利用平方差公式分解为

x（3x-2y）（3x+2y）

当x=ll,歹=10时，

3x-2j^=3x11-2x10=33-20=13,

3x+2y=3x11+2x10=33+20=53

因此产生的密码可以是111353

故答案为：111353（答案不唯一）.

19.（l）8«Z）（3«2c2-Z＞）

（2）3（〃?+3〃）（/"+2〃）

【分析】（1）依据题意，运用提公因式法即可分解因式得解；

（2）依据题意，根据提公因式法进行分解可以得解.

【详解】（1）解:24a3be2Sab2

=Sab（3a2c2-b）.

（2）解：（m+3/7）（4w-/i）-（m+3w）（w-7w）

答案第7页，共12页

=(/〃+3")(47"一〃一〃？+7〃)

=(〃？+3〃)(3〃？+6〃)

=3(加+3〃)(〃？+2〃).

20.⑴〃(〃+1)2；

⑵4(2x-y)(x+y)

【分析】(1)先提公因式。，再利用完全平方公式分解因式即可；

(2)先根据平方差公式分解因式，每个因式再提公因式2即可.

【详解】(1)解：a3+2a2+a

="/+2a+l)

=<7(<7+1)~；

(2)解：9x2-(x-2y)2

=(3x)2-(x-2y)2

=[3x+(x-2y)][3x-(x-2刈

=(4x-2y)(2x+2y)

=4(2x-y)(x+y).

21.2

【分析】先对待求式提取公因式"，再对括号内的式子利用完全平方公式进行因式分解，

最后代入已知数值计算结果.

【详解】解：-2a262+ab:+crb=ab[a2+b2-2ab)=ab(a-b)2.

将。一b=Q/J=8代入，

原式=ab(a-Z>)2=8x(；)=8x；=2.

22.(1)3.98

(2)-2014

【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，解题的关键是熟练掌握分解因式的方

答案第8页，共12页

法.

(1)直接提取公因式1.99,进而求出答案；

(2)将前两项提取公因式2013,进而分解因式得出答案.

【详解】(1)1.992+1.99x0.01

=1.99x(1.99+0.01)

=1.99x2

=3.98；

(2)解：20132+2013-20142

=2013x(2013+l)-20142

=2013x2014-20142

=2014x(2013-2014)

=-2014.

23.(l)(.r+l)(.x-7)

⑵(3x+5)(3x-l)

【详解】(1)解：原式=/一6》+9-9一7

=(x—3)2—16

=(X-3)2-42

=(x-3+4)(x-3-4)

=(x+l)(x-7)：

(2)解：原式=(3xy+12x+4—4—5

=(3X+2)2-9

=(3X+2)2-32

=(3x+2+3)(3x+2-3)

=(3x+5)(3x-l)

24.(\)(x+a)(x-a+\)

(2)△川?。为等腰三角形或直角三角形，理由见解析•.

【分析】(1)利用分组分解法进行求解即可；

答案第9页，共12页

(2)利用分组分解法将等式左边的多项式进行因式分解后，进行判断即可.

【详解】(1)解：/―/+x+〃=(一一/)+(x+a)

=(x+fl)(x-t7)+(x+tf)

=(x+a)(x-a+l)；

(2)解：△48C为等腰三角形或直角三角形，理由如下：

a4-b4+b2c2-a2c2=0,

(^-^4)+(/)V-frc2)=O,

W+//)+(?仅2_*=0,

(a2-Z>2)(a2+b2-c2)=0,

(al%)("〃)(『-ih2-c2)=G,

•:a、b、c是△/BC的三边长，

二a+b>0,

-,-a-h=O^a2+b2-c2=0

.•.△45C为等腰三角形或直角三角形.

25.(l)a的值为0,2的值为T3

(2)x的值为-1或-3或4：

⑶/〃=2137或〃？=412或m=97

【分析】本题主要考查了因式定理的应用、二元一次方程组的解法、一元三次方程的因式分

解与求解、平方差公式的应用以及整数的性质，熟练掌握利用因式定理对多项式进行因式分

解以及根据平方差公式和整数性质求解不定方程是解题的关键.

(1)根据因式定理，将工=1和x=3代入多项式。(工)，得到关于。、b的二元一次方程组,

解方程组即可求出。、的值.

(2)先由(1)得到。(％)的具体表达式，再根据。(另=24列出方程，通过因式定理找出方程

的因式，分解因式后求解方程.

(3)先计算。(5)和。(7)的值,根据题意设。(5)+〃?=¥、。⑺+「=素,两式相减得到

平方差，利用平方差公式分解后，根据正整数的性质列出所有可能的因数分解情况，进而求

答案第10页，共12页

HI机的正整数解.

【详解】(1)解：•.■。⑴=0,

.•.1+。+8+12=0即。+力=-13①

v0(3)=O,

.•.27+9a+3b+12=0

即9。+3力=-39②

联立①②得

a+b=-\3

'9。+36=-39