2026年中考数学《二次根式》过关自测卷解析版

专题04二次根式过关自测卷

（考试时间：120分钟，试卷满分：120分）

一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1.若％是任意实数，则下列各式一定有意义的是（）

A.Vx24-1B.Vx+1C.D.

【答案】A

【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键.

逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可.

2

【详解】解：选项A：x+l>1,故Jt+i一定有意义;

选项B：当不<—1时，X4-1<0.故Vx+1不一定有意义;

选项C：当x>3时，3-x<0.故万三不一定有意义；

选项D：-X2<0,故口7仅在％=0时有意义，

故选：A.

2.下列二次根式中，与我是同类二次根式的是（）

A.V3B.而C.V8D.V10

【答案】C

【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被尸方数与衣相

同即为同类二次根式.

【详解】解：A.百是最简二次根式，被开方数为3,与正的被开方数2不同，不是同类二次根式；

B.行是最简二次根式，被开方数为5,与2不同，不是同类二次根式；

C.瓶="芯=2近，化简后被开方数为2,与近的被开方数相同，是同类二次根式；

D.伍是最简二次根式，被开方数为10,与2不同，不是同类二次根式.

3.计算：（五+1）（&-1）=（）

A.1B.2C.-1D.3

【答案】A

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，本题可运用平方差公式（。+匕）（。-8）=。2_/进行简便计算,

直接代入公式运算即可得到结果.

【详解】解：（&+1）（&-1）=（加）2-12

=2-1

故选:A.

4.已知某物体的质量m=5VSg,其体积P=V5cm3,则它的密度p为（）

A.10g/cm3B.5V2g/cm3C.10V3g/cm3D.15V2g/cm3

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握物体的密度=质量+体积是解题的关键.

根据物体的密度公式计算即可.

【详解】解：它的密度p为5痛+百=5五（g/cn?）.

故选：B.

5.下列计算正确的是（）

A.V2-rxV3=V2B.3V6-2V6=1

百

c.百+VJ=V7D.V20-V5=V5

【答案】D

【分析】本题考查二次根式的四则运算，需掌握同类二次根式的加减法则、二次根式的乘除运算顺序及

化简方法.根据二次根式的运算可直接进行排除选项.

【详解】解：A、V2-4=xV3=V2xV3xV3=V2x3=372^72,故选项计算错误，不符合题意;

V3

B：3V6-2V6=（3-2）V6=V6*1,故选项计算错误，不符合题意；

C：百+北二百+2工”，故选项计算错误，不符合题意；

D：场一石=2诉一诋=（2-1）而=而，故选项计算正确，符合题意；

故选：D.

6.根据以下程序，当输入百时，输出结果为（）

A.1B.y/2C.V3D.2

【答案】C

【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计

算，直到满足输出条件.

先将输入的％=而代入表达式存二i计算，判断结果是否小于2,若不满足则将该结果作为新的％再次代

入计算，直至结果小于2时输出.

【详解】解：当输入％=再时，

第一次计算:J（&T=与1=喜=2,2V2不成立，将2作为新的％:

第二次计算：V22-l=74^1=V3,百<2成立，输出结果.

故选：C.

7.估计（百+痣）x而的值应在（）

A.6和7之间B.7和8之间C.8和9之间D.9和10之间

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，将原式化简为而+5,通过估算后的取值

范围，确定整体值的区间即可.

【详解】解：v（V3+V5）x=V15+V25=^15+5,

又•.•西=3,V16=4,且9<15<16,

3<V15<4,

---8<V15+5<9,

故选：C.

若a+Vg=S®,则表示实数。的点会落在数轴的（）

①②③④

/■A/、/、，.、

■f、>,'J!'J|、1

01234

A.段①上B.段②上C.段③上D.段④上

【答案】B

【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出a的值，再估算

出。的范围，再结合数轴即可得出结果.

【详解】解：,-a+V8=V18.

••.a=VT8—V8.

---a=V18-V8=3V2-2V2=V2,vVT<V2<V4,

1<V2<2,

即1VQV2,

故实数a的点会落在数轴的段②上，

故选：B.

9.已知1VXV2,化简］(%-1)2+1*-2|的结果为()

A.-1B.1C.2x-3D.3-Zx

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键.

先根据//=1司化简二次根式，然后再根据1<XV2去绝对值即可.

2

【详解】解：J(x-l)+|x-2|=|x-l|+|%-2|,

V1<X<2,

•••x-1>0,x—2<0,

.,.|x—1|+\x-2\=x—1+2—x=1.

.­.J(X-1)2+|X-2|=1,

故选：B.

10.将一组数五,2,后,2&Vld,2内,…，痴…，按以下方式进行排列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2V5VW2V3

••••••

则第八行左起第1个数是()

A.7衣B.8交C.V58D.477

【答案】C

【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键.求出第七行共有28个数,

从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得.

【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，

归纳类推得：第七行共有1+2+3+44-5+6+7=28个数，

则第八行左起第1个数是V2x29=V58,

故选：c.

二,填空题(本题共6题，每小题3分，共18分)

11.若式子后工在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

【答案】x>1/1<x

【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等

于零，进一步求解即可.

【详解】解：；牛？在实数范围内有意义，

••.X-1>0,

解得x>1.

故答案为x>1.

12.计算：V2XV6=.

【答案】2百

【分析】利用二次根式乘法法则计算，再将结果化为最简二次根式即可.

【详解】解：V2xV6=V2X6=V12=V4x3=2百.

13.比较实数4、2口、3后的大小，并将其用"V"连接：.

【答案】4<3V2<2V7

【分析】将三个数转化为算术平方根的形式，通过比较被开方数的大小得到原数的大小关系即可.

【详解】解：4=用=限,2^7=V22x7=V28,372=V32x2=V18,

-.16<18<28，

.-.V16<V18<痴，即4<372<2M

VYA

14.对于任意不相等的两个#负实数a,〃，新定义种运算“※〃如下：aXb=i=(b>Q)，则2派6=

【答案】V3

【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键.

根据新定义运算的规则计算即可.

【详解】解：2X6

x/2xV6

V6-2

V12

F

=V3.

故答案为：V3.

15.已知y=G5+74-2x-底则x+y的值为.

【答案】2-V5

【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的被开方数大于等于0,确定工的值，然后代入求y,

最后计算％+y.

【详解】解：由二次根式的定义可得：U-2x>0>

解得：％=2,

将％=2代入可得：y=-瓜

••・x+y=2-V5.

故答案为：2—V5.

16.我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a,b,c,三

角形的面积S=《亭C)］.若。=2我力=3,c=l,则S的值为.

【答案】V2

【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，

通过计算即可求出三角形面积.本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算.熟练学

握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键.

［详解］解:s:瓦荷叵亚不

将Q=2五，b=3,c=l代入上式：

=[[72—82]

=V2

故答案为：五.

三、解答题（本题共8题，共72分）

17.（8分）计算下列各题：

（1）V3-V12+2V27；

（2）（2-旬（2+,3）—2卜制一（一。二

【答案】（1）5百

（2）-百

【分析】本题考查了二次根式的混合运算.

（1）先化简二次根式，再计算加减即可；

（2）先计算平方差公式、绝对值、零指数基，再计算乘法：最后计算加减即可.

【详解】（1）（1）解：V3-V12+2V27

=V3-2V3+6V3

=5百；

（2）解：（2-西）（2+百）一21一制一（一衣）°

V3

=（4-3）-2x--1

=1-V3—1

=-收

18.（8分）已知％=2-百，y=2+西，求代数式,一、2的值.

【答案】一8百

【分析】先将,―/分解因式，然后将我=2-q.y=2+百代入求值即可.

【详解】解：・・・——y2=（%+y）Q_y）

将％=2-百，y=2+百代入得:

原式=(2-V3+2+百)x(2-V3-2-V3)

=4x(一2场

【点睛】本题考查了因式分解和二次根式混合运算，热练掌握因式分解和运算法则是解题的关键.

19.（8分）已知两个实数：百和行.

⑴计算：春

⑵若〃，为正整数，百与五这两个数的平方和小于加，求用的最小值.

(2)6

【分析】本题考查实数的运算，求•元••次不等式的整数解:

（1）利用分母有理化进行求解即可:

（2）根据题意，列出不等式，求出不等式的整数解即可.

【详解】⑴解:浮篇邛

（2）由题意得：（西）2+（行）2Vm

解得m>5

取最小正整数值6.

20.（8分）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方

形木板.

32dm2

18dm2

⑴截出的两块正方形木料的边长分别为

⑵求剩余木料的面积.

【答案】（1）3加，4五

(2)6

t分析】（1）根据平方根的定义计算即可;

（2）利用面积公式进行计算即可；

本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.

【详解】（1）解：两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2,

这两个正方形的边长分别为：

V18=3加（dm）,

伤=4五（dm）.

（2）•・•这两个正方形的边长分别为：3交，4五

剩余木料的面积为（4衣一3&）x3五二五x3后=6（dm2）.

21.（10分）描点法是探究函数图象变化规律的重要方法.请用该方法探究函数丫=万7的图象变化规律.

,

8

7

6

5

4

3

2

1

-8-7-6-5-4-3-2-ie?i2345678A

⑴求函数自变量文的取值范围：

⑵请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；

3

⑶已知点力0，/）是函数图象上的点，若n>5,求m的取值范围.

【答案】⑴％W2；

⑵见解析；

（3）若九>，时，m的取值范围是m<一:.

【分析】本题考查函数的图象及性质；利用所学函数知识探索新的函数性质，综合运用描点法，观察

图象得出函数增减项是解题的关键.

（1）根据一次根式有意义的条件即可求解:

（2）根据列表、描点、连线，作出图形即可;

（3）根据函数的性质结合图形即可求解.

【详解】（1）解：求函数自变吊工的取值范围为工W2：

（2）解：列表:

X・・・-7-2012

…

y32V210

描点，连线，图象如下,

（3）解：由函数图象可知，在自变量的取值范围内，函数直y随着"勺增大而减小.

3131

当n=E时，m=­4»即当n>2时,m<—4.

31

答：若时，m的取值范围是mV-彳.

22.（10分）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：

©7F=1；（2）V1I*3+23=3；@V13+23+33=6；（4）V13+23+33+43=

（2）深入探究，观察下列等式：

.(1+2)X2.(1+3)X3(1+4)X4

①1+2=-2—,②1+2+3=-2—；③1+2+3+4=—2—：...

根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：

1+2+3+…+n+(几+1)=.

(3)拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：

I3+23+33+-+993+1003；

②Il+123+133+..•+193+2()3.

(7t+2)(n+l)

【答案】(1)10：(2)----2---:(3)①5050；@41075

【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和;

(2)所有自然数相加的和等于首项+尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；

(3)利用(1)(2)中的规律综合运用即可求解.

【详解】解：(1)加+23+33+43=1+2+3+4=10；

(2)根据以上等式的规律可得，1+2+3+…+几+(九+1)=("2器1)：

(3)I34-23+334--4-993+1003

=1+2+3+4+5+…+99+100

(1+100)x100

二2

=5050；

0113+123+133+•••+193+203

=I3+23+33+…+183+193+203-(13+23+33+…+103)

=(1+2+3+-+20)2-(1+2+3+…+10)2

202x212102xII2

二44

400x441100x121

二44

=44100-3025

=41075.

【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探

求规律是解题关键

23.(10分)观察下列等式：

第1个等式：%=一、=&一1,

1+V2

第2个等式：a2==V3-V2,

V2+V3

第3个等式：=2-，3,

V3+2

第4个等式：。4=一=二近一2,...

2+V5

按上述规律，回答以下问题：请写出第九个等式：Qn=.a1+a2+a3+-+an=.

【答案】=7n+1-石i:Vn+1-1

1―

【分析】根据题意可知，%=-==亚-1,a2=，^=V3—V2,的=4=2-百，。4=一==

1+V2V2+V3V3+22+V5

V5-2,…由此得出第n个等式：an==V^T+1-^；将每一个等式化简即可求得答案.

Vn+vn+1

【详解】解：•.•第1个等式：%=±二交一1,

1+V2

第2个等式：。2==73-五,

第3个等式：的=意=2-百，

第4个等式：。4=一二=后一2,

2+V5

第九个等式：a=Vn4-1-Vn