《整式的乘除》单元提升卷-七年级数学下册专项提升练（浙教版）

第3章整式的乘除单元提升卷

【浙教版2024]

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（23-24七年级•山东烟台・期末）若2"=7,2'=3则》与y之间的关系为（）

A.相等B.互为相反数

C.互为倒数D.无法判断

【答案】B

【分析】本题考查了同底数幕的乘法，以及相反数的定义，熟练掌握同底数累的乘法法则是解题的关键.

根据同底数基的乘法法则和相反数的定义解答即“J.

【详解】解:•-2X=7,2y=号

2,2y=2*+y=7x^=1,

7

x+y=0,

•••k与y之间的关系为互为相反数，

故选：B.

2.（3分）（23-24七年级・湖南衡阳・阶段练习）一0.1252。24乂（-8）2。25的值为（）

A.1B.-1C.8D.-8

【答案】C

【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，将原式变为-0.1252024x（-8）2024x（-8）,然后逆用积的乘方法则

计算即可.

【详解】解：—0.1252024x（—8）2025

=-O.1252024x（一8）2。24X（-8）

=-[0.125x（-8）]2024x（-8）

=-1x（-8）

=8.

故选：C.

3.（3分）（23-24七年级•辽宁丹东•期末）下列运算正确的是（）

A.3a7-2a3=a4B.（-a）•a3=-a4

C.(2a3)2=4a5D.(—a)7-7-a3=a4

【答案】B

【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、同底数暴除法等知识点，灵活运用相关运算

法则成为解题的关键.

根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、同底数幕除法逐项判断即可解答.

【详解】解：A.3a7与2a3不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意：

B.(-a)-a3=-a4,故该选项正晌，符合题意；

C.(2a3)z=4a6,故该选项错误，不符合题意；

D.(-a)7-a3=-a4,故该选项错误，不符合题意.

故选B.

4.(3分)(23-24七年级.浙江杭州•阶段练习)已知多项式ax-3与2/+2%+3的乘积展开式中不含工的

・次项，贝M的值为()

A.0B.-2C.2D.3

【答案】C

【分析】先根据多项式乘多项式法则计算多项式以-3与2/+2x+3的乘积，然后根据乘积展开式不含x的

一次项，列出关于Q的方程，解方程即可.

本题考杳了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键.

【详解】解：3-3)(2/+2x+3)

=2ax3+2ax2+3ax—6x2—6x—9

=2ax3+(2a—6)x2+(3a-6)x—9,

•••多项式ax-3与2/+2x+3的乘积展开式中不含x的一次项，

・••3a—6=0,

cz—2.

故选：C.

5.(3分)(23-24七年级•湖南衡阳•期中)某同学在计算3(4+1)(42+1)时，把3写成4一1后，发现可以

连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=

的-1=255.请借鉴该同学的经验，计算：(1+3(1+蠢)(1+泉)(1+京)+亲=()

【答案】D

【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以2x（i-j之后，连续使用平方差公式进而得出答案.

【详解】解：（1+3（1+。。+或）（1+或）+）

=2、（1］（1+飘1+曷（1+另（1+曷+余

=2x（1一装）+击

11

=2-----F--

215215

=2,

故选：D.

6.（3分）（23-24七年级.重庆.阶段练习）若多项式4/一（4-1）孙+25y2是关于小y的完全平方式，则

〃的值为（）

A.21B.19C.21或一19D.-21或19

【答案】C

【分析】本题考查了完全平方式，先得出4/-（攵-1）%丫+25丫2完全平方式为（2%±5丫）2,再将其展开，则

有一6一1）=±20,计算出我的值即可.

【详解】解：•・•多项式4/一（4一1）盯+25y2是关于“、y的完全平方式，

/.4x2-（k-l）xy+25y2=（2x±Sy）2.

V（2%±5y/=4x2±20xy+25y2,

A-（/c-1）=±20,

:・k=21或k=-19,

故选：C.

7.（3分）（23-24七年级•贵州遵义•期末）规定:使等式/一4叱=0成立的a,7c的值称为“等根系数”,

记作［a,b,c］.如62-4x9x1=0,称［9,6,1］为“等根系数4若［%十y,无,x-y］是“等根系数”，则一3/十

4y2+5的值为（）

A.0B.1C.3D.5

【答案】D

【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据题目所给的“等根系数''的定义，得出-3/+4y2=o,即可解

答.

【详解】解：♦・•[%+?%,%-力是“等根系数”,

*»x2—4(%4-y)(x—y)=x2—4A2+4y2=-3x24-4y2=0,

:.-3x2+4y2+5=04-5=5,

故选：D.

443322

8.(3分)(23-24七年级•福建厦门•阶段练习)已知a=2255,&=33,c=55,d=66,则。、b、c、d

的大小关系是()

A.a>b>c>dB.a>b>d>cC.b>a>c>dD.a>d>b>c

【答案】A

【分析】先变形化简Q=22S5=(225)11,Z?=3344=(334)",c=5533=(553)U,d=6622=(662)H,比

较II次事的底数大小即可.

【详解】因为a=2255=(22s)U,ZJ=3344=(334)U,c=5533=(553)U,d=6622=(662)”,

因为兽=55x雪=55x(5)2=55乂翁>i,

66，66，636

所以553>662,

所以(553)”>(662)II,

故55-33>6622即c>d；

同理可证a>8,b>c

所以a>b>c>d,

故选A.

【点睛】本题考查广暴的乘方的逆运算，熟练掌握舞的乘方及其逆运算是解题的关键.

9.(3分)(23-24七年级•福建莆田•期末)观察下列等式：已知：。2一川=(aM)(^)；a3-b3=

(«-b)(a2+ab+b2)；a4—b4=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)；a5—b5=(a-b)(a44-Q3b+。2b2_j_

ab3+b4)……小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“29-28+27一

26+…+2的值,这个值为()

A.?B.29+1C.210-1D.三匚

33

【答案】D

【分析】根据己知可得29+28+2；+26+…+2+1=21°-1①，设29-28+27-26+…+2-1=电，则由

①+②得：28+26...4-224-1=/C@,由①-②得：29+27+...+23+2=210-1-k@,由④-③得：29—28+

27-26l...I2-1=21O-1-/c—k,即可求解.

【详解】解：由题意,W29+28+27+26+...+2+1=(2-1)(29+28+27+26+...+2+1)=210-1

即29+28+27+26+...+2+1=210-1@,

设29-28+27-26+...+2-1=1®,

由①+②得：2x29+2x27+...+2x2=210-1+匕

210+28+...+22=210-1+/C,

即28+26...+2?+1=k③,

由①-②得：2x28+2x26+...+2x22+2x1=210-1-/c,

即29+27+...+23+2=210-1一4④,

由④-③得：29-28+27-26+...+2-1=210-1-k-k,

：.21Q-1-k-k=k,

解得：上浮

故选：D.

【点睛】本题考查数字规律探究，平方差公式的运用，等式的性质，解方程，求得2。+28+27+26+...+2+1=

210—1是解题的关键.

10.（3分）（23-24七年级.山东济宁.期末）在矩形48C0内将两张边长分别为Q和b（a>b）的正方形纸片按

图I和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片

覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为工，图2中阴影部分的面积为S?.当=4时,

52-Si的值为（)

图1图2

A.4QB.4bC.4a-4bD.5h

【答案】B

【分析】利用面积的和差分别表示出Si和Sz，然后利用整式的混合运算计算它们的差.

［详解］解：S1=(48-a)•Q+(CD-b)(AD-Q)=Q48-a)•a+(AB-b)(AD-a),

S2=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a),

S?_S\=AB(AD-a)+(a-b')(AB-a)-(zlfi-a)•a-(AB-6)(40-a)=b(AD-a)-b(AB-a)

=b-AD-ab-b-AB+ab

=b(AD-AB)

=4b.

故选：B.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟悉相关运算法则是解题的关键.

二.填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)

11.(3分)(23-24七年级.四川成都.期末)已知3乂3爪+9n=3&,则代数式m-2几+1=.

【答案】8

【分析】本题考查了同底数基的乘除法，幕的乘方，先把已知等式的左边写成底数是3的累，然后根据同底

数导的乘除法则进行计算，从而求出血-2几+1的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【详解】解：•・・3x3rn+9n=38,

3x3m4-32n=38,

31+7n-2n_38,

tn—2n—1=8,

故答案为：8.

12.(3分)(23-24七年级•全国•课后作业)若a—3=3,3a+2b=5,则3a(Q-b)+2b(a-b)=.

【答案】15

【分析】本题主要考杳了分解因式和代数式求值综合.解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，整

体代入法求代数式的值.

先提取公因式(a—b),然后把a-b=3,3Q+2b=5代入整式即可得出答案.

【详解】Va-b=3,3a+2b=5,

.*.3a(a—b)+2b(a—b)

=(a—b)(3a+Zb)

=3x5

=15.

故答案为：15.

13.(3分)(23-24七年级•全国期末)若(2024)(x-2021)+10=0,则4045-2%的值为.

【答案】±7

【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，换元思想；设2024—X=Q,x-2021=b,则a+b=3,

ab=-10,由完全平方公式变形应用可求得a-b的值，从而求得结果.

【详解】解：设2024-X=Q,x-2021=b,

则a+b=2024-x+x-2021=3,ad+10=0

ab=-10；

Va-b=4045-2x,

(a-b)2=(a+b)2-4ab

=32-4X(-10)

=49,

•*.a-b=±7,

・・・4045-2%的值为±7.

故答案为：土7.

14.(3分)(23-24七年级•四川眉山•期末)阅读材料，回答下列问题：

材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的某相乘.

即：(abr=anbn.

材料二：等式M+22+32+…+*=仙+1要+1),〃(九+i)=/+九成立

6

试求：(1)22+42+62+…+102=.

(2)1x2+2x3+3x4+…+99x100=.

【答案】220333300

【分析】(1)根据(ab)〃=anbn将2?+42+62+-+10?变形为22x(I24-22+32+-+52),再利用产+

22+32+…+/=的吟如里2进行计算即可得到答案；

6

(2)先利用以"+1)=n2+n将1X2+2X3+3X4+…+99x100变形为M+224-32+-+992+1+

22

2+3+-+99,再利用了+2+3+/=迎华上?进行计算即可得到答案.

6

【详解】解：(1)V(abr=anbn,

22+42+62+-+102

=(2xI)2+(2x2)2+(2X3)2+…+(2X5)2

=22xI2+22x22+22X32+•••+22x52

=22X(12+22+32+-+52),

...产+22+32+...+九2=n(n+l*n+l)

€

，原式二4X5X(5+D(2X5+1)

6

=220,

故答案为:220；

(2)•••n(n+1)=n2+n,

:.Ix2+2x3+3x4+…+99x100

=lx(l+l)+2(2+1)+3(3+1)+…+99x(99+1)

=l24-1+22+2+32+3+­­•+992+99

=仔+22+32+...+992+i+2+3+...+99

...仔+22+32+...+n2=的+i；Qn+i),

6

.j泉式_99x(99+1)(2x99+1)99x(99+1)

+2

=32850+4950

=333300,

故答案为:333300.

【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的

关键.

15.(3分)(23-24七年级.江苏镇江.阶段练习)现有若干张卡片，分别写有1,-2,4,-8,16,一32,……，

小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片.上的数字乘积为2］。。，其中三数之和的最大值记为A,最小值记为

B,则4+B-4的值等于.

【答案】-298

【分析】由题意知,卡片数字为(-2)。,(-2)1,(—2)2,(-2)3,(一2)3(—2)5......则使三数之和最大

的三个数为(一2)°,(-2)2,(-2)98,即力=(_2)°+(-2)2+(-2产,使三数之和最小的三个数为(一2)°,

(一2尸，(一2严，即3=(-2)°+(-2)1+(-2)99,然后代入计算求解即可.

【详解】解：由题意知，卡片数字为(-2)。,(一2)L(-2>,(-2>,(-2)3(-2)5,……

•・•三张卡片上的数字乘积为210°,

・・・使三数之和最大的三个数为(-2)。,(-2)2,(-2)98,

：.A=(-2)°+(-2)2+(-2)98,

・•・使三数之和最小的三个数为(-2)。,(-2>，(—2)9%

：.B=(-2)°+(-2)1+(-2)",

：.A+8—4=(-2)°+(—2尸+(-2)98+(-2)°+(-2)1+(-2)"-4

=1+4+2984-1-2-2"-4

=298_299

=298(1-2)

=-298,

故答案为：一298.

【点睛】本题考查了同底数累的乘法，有理数的加减运算.解题的关键在于确定使三数之和最大的三个数于

使三数之和最小的三个数.

16.(3分)(23-24七年级♦山东荷泽•阶段练习)现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图

1,已知点”为AE的中点，连结FH.将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之

和为8,图2的阴影部分面积为6,则图I的阴影部分面积为.

图1图2

【答案】19

【分析】设甲正方形的边长为小乙正方形的边长为从根据题意可得：，根据完全平方和公

式得到小+力2,即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去△ADH和AHEF的面积，即可求

出阴影部分的面积.

【详解】解：设甲正方形的边长为〃，乙正方形的边长为4

根据题意可得：］(二品上，

二(Q+b)2=64,

2222

二2(a+b)=(Q+b)+(a—b')=70,

:.a2+b2=35,

•••H是4E得中点，

•••AH=EH=^(AB+BE)=^(a+b)=4,

:.SQAHD=14。-AH=^a-4=2a,S"FH=-HE=^b-4=2b,

:.S用=a2+b2—2a—2b=a2+b2—2(a+b)=19.

故答案为：19.

【点睛】本题考查完全平方和公式的运用，正确对完全平方和公式进行变形时解题的关键.

三.解答题(共7小题，满分52分)

17.(6分)(23-24七年级•江西宜春•阶段练习)(1)已知2m=3,2川=5.求23m+2n的值；

(2)已知2x8、X16=223,求力的值.

【答案】⑴675；(2)6

【分析】(1)把23m+2n化为(2叱3.(2呼2,再整体代入即可；

(2)把2X8XX16=223化为23H5=223,再建立方程求解即可.

【详解】解•：(1)V2m=3,2n=5,

m3nz32

A23m+2n=23m.22n-(2).(2)=3X5=675；

(2)V2xx16=22兀

A2x23Xx24=223,

...23x+5=223,

/.3x+5=23,

解得：x=6.

【点睛】本题考查的是同底数幕的乘法及其逆用，累的乘方的逆用，熟记基的运算法则及其逆用公式是解本

题的关键.

18.(6分)(23-24七年级•重庆沙坪坝•期末)计算：

⑴(2/)3_6X3(X3+2x2+x)；

(2)(2%-l)(x+4)4-(2x+3)(x-5).

【答案】⑴2/一12好一6x4

(2)4x2-19

【分析】(1)根据事的运算性质和单项式乘以多项式展开化简即可；

(2)根据多项式乘以多项式化简艮］可；

(详解】(1)解：原式=8x6一(6x6+12x5+6x4)

=8x6-6x6-12x5-6x4

=2X6-12X5-6X4

(2)原式=2x2—x+8x—4+2A2+3x—lOx-15

=(2x2+2x2)+(3%+8x-10%-x)+(-15-4)

=4x2-19

【点睛】本题主要考查了整式的乘法运算，掌握相关法则和公式是解题的关键.

19.(8分)(23-24七年级.河南商丘.期末)如图1,边长为。的大正方形中有一个边长为〃的小正方形,

把图I中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)

(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式；(用含a,8的等式

表示)

(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：

①已知4m2=12+n?,2m+n=4,则2m—n值为；

②计算：(2x+y-3)(2x-y+3)；

【答案］⑴(a+b)(a-b)=a2-b2

(2)®3：®4x2-y2+6y-9

【分析】(1)将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可：

(2)①利用平方差公式得出(26+兀)•(2血一九)=4^2—砂，代入求值即可；

②利用平方差公式计算即可；

【详解】(1)图1中阴影部分面积t?一匕2,图2中阴影部分面积(a+8)(a-b),

所以,得到乘法公式(a+b)(a-b)=M-炉

故答案为(a+b)(a-b)=a2-b2.

(2)①由4m2=12+/2得47九2—九2二12,

*.*(2m+n)•(2m—n)=4m2—n2,

/.2TH—n=3.

故答案为3.

②(2%+y-3)(2%-y+3)

=[2x+(y-3)][2x-(y-3)]

=(2x)2-(y-3)2

=4%2—(y2—6y+9)

=4x2-y2+6y-9；

【点睛】本题考查平方差公式的应用.熟练掌握平方差公式是解题的关键.

20.(8分)(23-24七年级.河南信阳・期末)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是

其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,

它给出了(a+b)”(九为正整数)的展开式(按Q的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，在“三角

形”中，第三行的三个数1,2,1,恰好对应(a+b)2=。2+2。6+62展开式中的系数：第四行的四个数1,

3,3,1,恰好对应(a+匕>=M+3。2b+3附2+力3展开式中的系数

1

11(。+灯

V,、

121(。+妙

VV

1331...............................(。+号

(I)根据上面的规律，写出(a+b)4的展开式；

(2)利用上面的规律计算：25-5x24+10x23-10x224-5x2-1；

(3)(。+b)”的展开式的系数和为」

(4)运用：若今天是星期三，经过20242。24天后是星期

【答案】(1)(。+b>=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4：

(2)1；

(3)2n；

(4)四.

【分析】(1)根据规律即可求解；

(2；根据规律即可求解；

(3：由展开式找到系数和的规律，即可求解；

(4;根据规律展开后看20242。24最后一项即可求解；

本题考查了数字类变化规律，读情题意并根据所给的式子找到规律是解题的关键.

【详解】(1)解：由规律可得，(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

（2）解：由规律可得，

25-5x24+10x23-10x22+5x2-1=（2-I）5=1：

（3）解：由展开式可得，

当"=1时，系数和为1+1=2=2］，

当九=2时，系数和为1+2+1=4=22,

当h=2时，系数和为1+3+3+1=8=23,

当九=4时、系数和为1+4+6+4+1=16=24,

…，

・・・（a+b）n的展开式的系数和为23

故答案为：2n；

（4）解：20242。24=（2023+1）2。24,

•••2023+7=289,

・・.20242024+7的余数为1,

••・若今天是星期三，经过20242024天后是星期四，

故答案为：四.

21.（8分）（23-24七年级•河北石家庄•期中）你能化简（。一1）（。99+。98+。97+...+。2+。+1）吗？我

们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论.入手，发现规律，归纳结论.

入手，发现规律，归纳结论.

（I）先填空：

（Q-1）（Q+1）=；

（a-l）（a2+a+1）=；

（a-1）（/+a2+Q+i）=；…

98

由此猜想：（Q—l）（a"+a+a"+…+。2+。+1）

（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？

①求2199+2198+2197+...+22+2+1的值;

②若QS+Q4+Q3+Q2+a+1=0,则Q6等于多少？

【答案】⑴a?一1；a3_1;1；a100_1;（2）①220。一1；②1

【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，即可确定出结果；

（2）利用得出的结果将原式变形，计算即可得到结果.

【详解】解：(1)a2—1；a3—1；a4—1；a100—1；

(2)①2199+2198+2]97+…+2?+2+1=2200-1,由于2-1=1,则2199+2198+2197+-...+22+2+

1=2200-1

②•；Q6-1=(«—l)(a5+a，+Q3+a?+°+i)=o

Aa6=1,

/.a=±1,

但当Q=1时，Q，+a4+/++。+i=0不成立，

则a=-1,故a，=1

【点睛】此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键.

22.(8分)(23-24七年级•广东广州•期末)阅读理解：

条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；

条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得4等于常数M；

我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界.

例如：

x2-I-2x+5=%2+2•x•1+I2-I2+5=(x+I)2+4,

V(X+1)2>0,

Ax2+2x+5>4(满足条件①)

当欠=-1时，/+2%+5=4(满足条件②)

4是％2+2%+5的下确界.

又例如：

x2+2|x|+5=\x\2+2-|x|-l+l2-l2+5=(|x|+l)2+4,

由于田工一1,所以/+2田+5=4,(不满足条件②)

故4不是/+2\x\+5的下确界.

请根据上述材料，解答下列问题：

(1)求/-4x+1的下确界.

(2)若代数式2%2+mx+3的下确界是1,求m的值.

(3)求代数式/+2y2+2xy-2x-4y+10的卜确界.

【答案]⑴-3

(2)TH=±4

(3)8

【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型、运算，

(1)根据题干示例的方法计算即可作答；

(2)根据题意设2/+mx+3=2(%+亡产+121,根据2(x+t)2+1=2x2+4tx+2t2+1可得

[2^+"=3,解方程即可求解；

(3)将x看作常数进行配方，可将/+2丫2+2；^-2%-4'+10变型为2(丫+言)2+：/+8,问题随之

得解.

【详解】(1)x2-4x+1=%2-2-x-2+22-224-1=(x-2)2-3,

V(r-2)2>0,

x2-4x+1=(x-2)2-3>-3(满足条件①)

当%=2时，x2-4%4-1=-3(满足条件②)

••・一3是/一4%+1.的下确界.

(2)..,代数式2/+mx+3的下确界是1,

:,设2/+rnx+3=2(x+t)2+1>1,

V2(x+t)2+1=2x2+4tx+2t2+l,

:.2/+mx+3=2x2+4tx+2t2+1,

.(4t=m

,,l2t2+l=3,

解得：｛:君

即：机=±4；

(3)x2+2y24-2xy-2x-4y+10

=2y2+(2x-4)y4-x2-2x4-10

=2[y2+(x-2)yl+x2-2x+10

=2y2+(x-2)y+j+x2-2x+10-2x

=2(y+沿'+#+8,

•••2(y+詈)00,1x2>0,

2

:.x2+2y2+2xy-2%-4y+10=2(y+4-1x2+8>8(满足条件①)

当x=0,y4--=0,即％=0,y=l时，x2+2y2+2xy—2x-4y+10=8（满足条件②）

8是％2+2y2+2xy-2%-4y+10的下确界.

23.（8分）（23-24七年级.上海虹口•期中）如图3,现有三种类型的卡片：

1号卡片：边长为a的正方形卡片；

2号