基本不等式-高考数学重难点题型讲义（新高考地区专用）解析版

专题1.7基本不等式.重难点题型精讲

衣

MM••M.a.w••.■■■■.a•.a..«MB.a.a^s••ana■•a•a.eaas••a.«■>•.■■*..••^BB.aMM..••MBa•.a■■■.••

1.基本不等式：

(1)基本不等式成立的条件：6>0,)>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当〃=〃时取等号.

2.几个重要的不等式

(\)a2-\~b2>2ab(a,b£R).

(2,+京2(”，b同号).

⑶〃品(等)3,h£R).

cr-Vb1fa+b\2

(4厂至一孑(等)(小〃£R).

以上不等式等号成立的条件均为“=〃.

3.算术平均数与几何平均数

设A0,历>0,则小〃的算术平均数为守，几何平均数为点，基本不等式可叙述为两个正数的算术

平均数不小于它们的儿何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题

已知心>0,)>0,则

(1)如果积盯是定值P，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值2W.(简记：积定和最小)

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时，盯有最大值£.(简记：和定积最大)

【题型1利用基本不等式判断不等关系】

【方法点拨】

将代数式灵活变形，利用基本不等式求解最值的方法，来求出所给代数式的最值或取值范围，以此来判断

不等关系是否成立，注意变形的等价性及基本不等式应用的前提条件.

【例I】（2022春•赤峰期末）若〃>0,方>0,日％+〃=4,则下列不等式中成立的是（）

h2

A.ab<2B.a2+^->4

C.10g2«+10g2/?<1D.9"+3、218

【解题思路】利用基本不等式可得必得范围，判断选项A：利用和与平方和的关系判断选项以利用对

数运算化简结合选项A判断出选项C：利用基本不等式可得选项。正确.

【解答过程】解：对于A,«>0,b>0,2a+b=422V^5,解得abW2,当且仅当a=l,8=2时取等号,

故选项A错误；

对于丛4a2+b2=（2a）2+b2>|（2n+/?）2=8,即必+当?2,当且仅当a=1,8=2时取等号，故选项

B错误;

对于C,由4可得log2a+log2〃=log2，Z?Wl,当且仅当。=1,。=2时取等号，故选项C错误;

对于。，9"+3〃=3%+362275丽=18,当且仅当a=l,h=2时取等号，故选项。正确；

故选:D.

【变式1-1］（2022•上海）若实数〃满足下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2>/abB.a+b<2\[abC4+2Q2疝D*+2y病

【解题思路】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解.

【解答过程】解：因为。>方>0,所以a+b22夜,当且仅当4=方时取等号,

乂a>b>0,所以故A正确，8错误，

+2b>2x2b=2y/ab,当且仅当］=2b,即〃=4力时取等号，故C。错误，

故选：A.

【变式1-2］（2021•安徽模拟）设。>0,b>0,c>0,下列不等关系不恒成立的是（）

A.（+^>2B.\a--c\+\b-c\

11

C.若〃+4/，=l,则一+->8D.ax2+bx-c^O（xER）

ab

【解题思路】首先对于此类选择题，考虑用排除法求解.对于选项A和选项C,都应用基本不等式a+b>

2而化简求解即可.对于选项8根据式子的几何意义直接判断.对于选项Q,选定特殊值，然后利用方

程的判别法计算即可得出错误.

【解答过程】解：对于选项A：。+1二2,可直接根据基本不等式Q+bZ2属求解.显然恒成立.

对于选项&|〃-"W|a-c|+族-c|,所表示的含义是在三角形内两边之和大于第3边，所以显然成立.

111cib

对于选项C：若a+4b=1则根据基本不等式得：a+4b>2V4ab,即7G24,对于式一+-=——>

7ababab

~~~=~r=>8,所以得不等式恒成立.

ab7ab

对于选项。：/+法-c20（xER）.当。>0,A=/+4ac>0,显然a*+云-c20不恒成立.

故选：O.

【变式1-31（2022春•肥东县月考）对于不等式①V5+灰>2通,®x+\>2（x^0）,③7a?+炉>^（a+

人乙

b）（a、be/?）,下列说法正确的是（）

A.①③正确，②错误B.②③正确，①错误

C.@@错误，③正确D.①@错误，②正确

【解题思路】由已知结合基本不等式及相关结论分别判断各选项即可.

【解答过程】解：因为（〃+、石尸-（2通尸=104-V24-20=V24-10<r0,

所以〃+n<2后故①错误；

当取K=7时，显然％+[=-222不成立，故②错误；

因为於+匕222ab（a,/?GR）,所以2（a2+b2）>（a+b）2,

所以迎2+炉N、J（Q+〃）2=1佃+例n?（a+切,故③正确.

故选：C.

【题型2利用基本不等式求最值】

【方法点拨】

⑴若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，其解答

技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式.

⑵若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同.

14

【例2】（2022春•西宁期末）已知x,y都是正数，若x+y=2,则嚏+1的最小值为（）

【解题思路】直接利用关系式的恒等变换和基本不等式求出结果.

【解答过程】解：已知x,y都是正数，且x+），=2,

必+；[x+y），+；）=；（5+衿软+（5+2唇）咚当且仅当x="尸轴等号成

立，

149

所以一+一的最小值为：

xy2

故选:B.

【变式2-1]（2022春•信州区期末）己知正数〃?，〃满足加+〃=1,则码的最小值为（）

mn

A.3B.3+2、攵C.3&D.3+2/

【解题思路】化简空=网”=-+-，再结合基本不等式求最值.

mnmnnm

【解答过程】解：•，〃+〃=1,机>0,">0,

*m+1m+m+n

,mnmn

2m+n2,1

=^T=n+m

21

=（一十一）（m+n）

nm

2m,n

=--n----1--m----1-3

J粤哈+3=3+2位,

当且仅当=一,即"尸/-1,〃=2-/时，等号成立；

nm

故”二匚的最小值为3+20,

mn

故选：B.

【变式2・2】（2022春•三明期末）已知正实数小〃满足a+*2,则2M+1的最小值是（）

59二

A.-B.3C.-D.2V2+1

22

【解题思路】先变形得到2帅+：=4〃+：-2,再利用乘“I”法和基本不等式求最值即可.

【解答过程】解：:正实数。满足a+*2,・・・出?+1=2万，••・ab=2〃・l,

95

--

.・・2岫+»4计A2=(4"：)("芬乂>2=(4"+0+5)*12云(2〃+5)'»2=2-22一

当且仅当4"二/，即〃=至b=1,时取等号，

2ab+:的最小值是:

故选：A.

【变式2-3]（2022春•恩施州期末）若a>2,b>3,则二+三的最小值是（）

a-2b-3

A.16B.18C.20D.22

Q2MA.Q

【解题思路】根据题意，分析可得一；+==。・2+3+。・3+菖+10,结合基本不等式的性质分

a-2b-3Q-，b-3

析可得答案.

【解答过程】解；根据题意，若a>2,b>3,则a-2>0,b-3>0,

a2b2a2-4+4匕2-9+949/4

则有------4--------=+a-2+——+b—3+——+10>2/(a-2)•——+

a-2b-3-------a-2---------b-3a-2b-37a-2

2/（d-3）+-^-+10=20,

7b-3

（当且仅当”=4,〃=6时，等号成立），

a2b2

所以一；+二的最小值是20.

a-2b-3

故选：C.

【题型3利用基本不等式解决恒成立（或存在性）问题】

【方法点拨】

对于恒成立（或存在性）问题，求解时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化为最值问题，利用基本

不等式求出有关代数式的最值，进行转化求解即可.

23

【例3】（2021秋•武清区校级月考）设x>0,y>0,设[+1=1,若3%+2>>〃?2+2机恒成立，则实数机

的取值范围是（）

A.{.小W-6或工24}B.{小〈・4或326}

C.M-6<x<4)D.{A|-4<x<6}

2323

【解题思路】由x>0,y>(),-+-=1>得3x+2），=（-+-）（3x+2y）,以此变形可解决此题.

XyxV

(解答过程]解：由x>0,y>0,2+三=1,得3x+2y=(-+-)(3x+2y)=冬+学+1222佟•学+12

xyxyxyA]xy

=24,

4v9x23

当且仅当墨=—且一+—=1,即x=4且)，=6时等号成立.

xyxy

又因为3x+2)>〃？+2/〃恒成立，in2+2m<24,解得〃正(-6,4).

故选：C.

21

【变式3-1](2021秋•怀仁市校级期末)已知x>0、y>0,且+若2x+yV"】2-8〃?有解，则实数

加的取值范围为()

A.(-8,-1)U(9,+8)B.(-9,1)

C.[-9,1]D.(-1,9)

【解题思路】由已知先利用基本不等式求出2r+y的最小值，然后结合不等式的存在性问题与最值关系进

行转化，解二次不等式可求.

【解答过程】解：因为工>0、>>(),且2+2=1,

xy

〃+)，=⑵+y)(：+；)=5+?+畀5+2j^=9,

2x2v21

当且仅当一=一且一+-=1,即x=y=3时取等号，此时Iv+y取得最小值9,

yxxy

若2x+yV〃J・8〃？有解，贝ij9V机2-8/〃，解得〃?>9或m<-1,

即实数机的取值范围为(-8,-1)u(9,+8).

故选：A.

14

【变式3-2](2021秋•香坊区校级期中)若x>0,y>0,x+y=I,且一+-恒成立，则实数小的取值

xy

范围是()

A.{，川m<3}B.{〃力MV6}C.{〃巾〃V5}D.{w|w<9}

14

【解题思路】利用乘1法，然后结合基本不等式可求一+一的最小值，然后结合不等式恒成立与最值相互

xy

转化关系可求.

【解答过程】解：因为x>0,y>0,x+y=\,

所屋业+竺”=5+3华工5+2―=9,

xyxyxyy

当且仅当]=些且A+y=1,即k1尸细取等号，此时工+士取得最小值9,

XyXy

14

-+—>m恒成立，则实数"?V9.

Ky

故选：D.

【变式3-3]（2021秋•包河区校级期中）若正实数x,y满足2/+丁+8D=2,且存在实数x,y使不等式3,后

-2m^2x+y成立，则实数小的取值范围为（）

A.[-1,1JB.1-1,2]

C.（-8,一点U[l,+8）D.（-8,-1]U[2,+OO）

【解题思路】根据基本不等式的性质求得2x+y2l,进而求解结论.

【解答过程】解：•・•正实数工，），满足2A•+），+陶=2,

A8.9'=2-（2r+y）W4・2n（2x+y）2+（2x+y）-220=2r+y21,（2Y+.VW-2舍去）

2

,/存在实数x,y使不等式3m2-2w>2v+y成立，

/.3m2-2〃?21I或m<-

故选：C.

【题型4利用基本不等式证明不等式】

【方法点拨】

⑴对于与基本不等式有关的不等式证明问题，对所给条件进行合理转化，利用基本不等式进行证明，其解

答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式.

⑵证明过程中，若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同.

【例4】（2021秋•上饶期末）已知。>0,0>0,且。+〃=1,求证：（1+i）（1+1）>9.

【解题思路】本题的关键是把分子的“1”换成。+〃，由基本不等式即可证明.

【解答过程】解：・・・。>0,b>0,且a+b=l

・・・（1+》（1+》=（1+喑）（1+明

=（2+今（2+》=4+华+各经

=5+号+与N5+2j^=5+4=9

2b2ai

当且仅当£=了，即〃=反4时取“=”号.

故原题得证.

【变式4-1]（2021春•福田区校级期末）若aAO,〃>0,a\b=\.求证:

41

(1)-+->9；

ab

(2)V2a+1+72b+1W2夜.

【解题思路】(1)由已知利用乘1法，结合基本不等式即可证明；

(2)利用基本不等式的结论(嘤产工吗且即可证明.

【解答过程】证明：(1)因为加>0,b>0,a+b=l,

所以±+!=(-4-i)(a+b)=5+—+^>5+2隹4=9,

ababab7ab

当且仅当竺=£且a+b=1,即b=i,a=看时取等号，

ab3J

「1

故一+工N9；

ab

(2)因为("a+l；，2丝)2<2Q+1产+1=2,当且仅当V五彳彳=e5TT且a+b=I,即〃=匕=/时

取等号，

所以“2a+1+V2b+1<2&.

【变式4-2](2021秋•桂林月考)已知a>0,Q0.

19

(1)若一+1=1,求证：〃+b216；

ab

(2)求证：a+b+1>y/ab4-Va+\[b.

【解题思路】(1)由基本不等式及乘“1”法即可得证；

(2)由基本不等式可得a+1226，b+1,a+b^2yfab,而且仅当。=A=1时等号成立，三个式子

相加即可得证.

19

【解答过程】证明：(1)因为一+-=1，a>0,b>0,

ab

所以〃+〃=(a+b)(―+—)=10+半+2之10+2•2=16,当且仅当一=一,即。=4,力=12时等

abba7baba

号成立，

所以a+b216.

(2)因为。>0,b>0,

则。+122口，/?+122伤，a+h^2\[ab,当且仅当。=力=1时等号成立，

所以。+1+A+1+。+62+2V^+2,以,

所以ci+b+1>y/u+\[b+1.

【变式4-3](2020•黄州区校级模拟)设a,b,c>0,且曲+从+或=1,求证：

(1)a+b+c>V3；

⑵J反+区+J布之百距+后）•

【解题思路】⑴运用分析法证明.要证什沐二旧，结合条件，两边平方,可得/+四,221,运用

重要不等式，累加即可得证.

（2）问题转化为证明〃痴+分题+（<适根据基本不等式的性质证明即可.

【解答过程】证明：（1）运用分析法证明.

要证a+h+c>V3,

即证（o+Hc）223,

由a,b,c均为正实数，且aM）c^ca=1,

即有cr+b2+（^+2（ab+bc+ca）23,

却为①

由J+〃222”〃，k+a22bc,c¥+?22ac,

相加可得a1+b2+c1^zb+hc+ca=1,

则①成立.

综上可得，原不等式成立.

a-b+c

>Jabc

而由(1)a+b+c>V3,

a+b+c

>y/3(Va+VF+VE),

y/abc

故只需短

>y/a++4,

A|Jayfbc+b4ac+cVab<1,

即：a\[bc+b\[ac+(Vab<ab+bc+ac^

而a岳•而三时产，〃延]”叱〈至三儿产，

乙乙乙

a\[bc+b\[ac+c\[ab<ab+bc+ac=1成立，（当且仅当a=b=c=当时）.

【题型5利用基本不等式解决实际问题】

【方法点拨】

解决实际问题时，先弄清题意（审题），建立数学模型（列式），再结合基本不等式解决问题（求解），最后

要回应题意下结论（作答）.

【例5】（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设

菜园的长为x,宽为尸

（1）若菜园面积为72,则x,y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

（2）若使用的篱笆总长度为30,求工+2的最小值.

xy

y

【解题思路】（i）根据积定，应用基本不等式求和的最小值，注意等号成立条件；（2）应用基本不等

式“I”的代换求三+三的最小值，注意等号成立条件.

xy

【解答过程】解.：（1）由题意知：孙=72,篱笆总长为x+2），.

又X十2y之2=24,当且仅当人=2,，即人=12,,=6时等号成立.

・•・当x=12,），=6时，可使所用篱笆总长最小；

（2）由题意得：x+2），=30,

又C+加+2/=5+?+兴5+2^^=9，

123

4--＞一,当且仅当x=y,即x=10,y=10时等号成立.

xy10

123

・・・一十一的最小值是

xy10

【变式5・1】（2021秋•黄浦区校级期中）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、

右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000C〃?2,四周空白的宽度为10cm,栏与栏之间的中缝空白的

宽度为5cm.

（1）试用栏目高aan与宽bcm（〃＞（）,b＞0）表示整个矩形广告面积Sen，；

（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.

【解题思路】（1）根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，从而可得整个矩形广告面积;

(2)利用基本不等式，即可求得最值.

【解答过程】解：(1)设矩形栏目的高为acm,宽为bcm,则^=20000,：,b=怨”

广告的高为(。+20)cm,宽为(3b+3O)cm(其中。>0,b>0),

广告的面积S=(«+20)(36+30)=30(a+2b)+60600：

(2)S=30(。+2〃)+6。6。。=3。(〃+曙)+6。6。。23。'2后察=1200。+6。600=72600.

当且仅当。=竺产，即。=20。时，取等号，此时〃=100.

故当广告矩形栏目的高为200cm宽为100cm时，可使广告的面积最小.

【变式5-2](2022•上海)为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线

入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块A8CD,AB=30m,AD=\5m.为保护。处的一

棵古树，有关部门划定了以。为圆心、DA为半径的四分之•圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线

口为AS边上的点&出线口为CO边上的点八施工要求与封闭区边界相切，£/右侧的四边形地块

BCFE将作为绿地保护生态区.(计算长度精确到().1加，计算面积精确到().01〃?2)

(1)若/AOE=20°,求所的长；

(2)当入线口e在上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

【解题思路】(1)作。〃_L£F,然后结合锐角三角函数定义表示出EF，

(2)设NAOE=8,结合锐角三角函数定义可表示AE,FH,然后表示出面积，结合同角基本关系进行

化简，再由基本不等式可求.

【解答过程】解：(I)作。"_1_石尸，垂足为，，

则=15tan2()°+15tan500223.3相：

(2)设NAQE=。，贝i]A£=15tan。，FH=15tan(900-20),

S四边形ADEF=2S△ADE+S^DF“=2义ix15X15tan0+ix15x15tan(90°—28)，

15mor—1+tQ储e、_225/”,1、、225点

-30tan8+15col20)-(30tan0+15x—工后历~(3tcm0n+m八。)———，

当且仅当3tan0=焉，即tan6=字时取等号，此时AE=15tanO=5V3,最大面积为

【变式5-3]（2021秋•常州月考）如图，长方形A8CO表示一张6X12（单位：分米）的工艺木板，其四

周有边框（图中阴影部分），中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点P）到外边框A8,A。的距离分别为

1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN,其中M,N分别在A8,AD1.,设AM,AN

的长分别为加分米，〃分米.

（1）为使锯掉一块三角形废料MAN的面积最小，试确定m,a的值；

（2）求剩下木板MBCDN的外边框长度（MB,BC,CD,ON的长度之和）的最大值.

r

21

【解题思路】（1）过点P分别作AB,AD的垂线,垂足分别为E,F,可得APNFSAMPE,可得一+-=1.欲

mn

使锯掉的三角形废料MAN的面积S=最小.利用基本不等式的性质即可得出.

（2）欲使剩下木板的外边框长度最大,即/"+〃最小.由（1）知，〃?+〃=（，〃+"）（京+：）=3+•+

利用基本不等式的性质即可得出.

【解答过程】解：（1）过点尸分别作AB,AO的垂线，垂足分别为£F,

则△PN"SZ\MPE,

PFNF2n-1

从而---=—»----=----»

EMPEm-21

21

即一+-=1.

mn

软使锯掉的三角形废料MAN的面积S=\mn最小.

由1=2+4n2区:得,"?〃28（当且仅当马二!’即，〃=4,〃=2时，

“=”成立），此时S*=4（平方分米）.

（2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即〃7+〃最小.

由（1）知，〃?+〃=（/〃+〃）（[+~）=34~~~+~>3+2~=3+2^2>

（当且仅当生="即〃?=2+短=42n时，“=”成立），

mn

答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为33-2企分米.

【题型6基本不等式与其他知识综合】

[ft6]（2022春•重庆校级期中）直角三角形A8C中角A,B,C对边长分别为a,b,c,ZC=90°.

（1）若三角形面积为2,求斜边长c最小值；

（2）试比较小W与他（怔N’）的大小，并说明理由.

【解题思路】（1）由5=%人=2,可得：ab=4.由NC=90°,可得J+/?2=c2,利用基本不等式的性

质即可得出.

（2）①当〃=1时，利用三角形三边大小关系可得a+Qc；

②当〃=2时，由NC=90°,利用勾股定理可得。2+庐=。2；

③当心3时，设cosg与sin0=p0fc（0,分由（凯十毋二cos"8+sin〃。，再利用三角函数的单调

性即可得出.

【解答过程】解：（1）•:S=』ab=2,：.ab=4.

VZC=90°,

a2+/?2=c2>2ab=8,解得c22e.当且仅当。=8=2时取等号.

，斜边长c最小值为2a.

（2）①当〃=1时，a+b>c；

②当〃=2时，VZC=90°,・•・/+庐=。2；

③当〃23时，设cos8=sin9=6W（0,j）.

则9n+（3”=coswe+sinw0<cos20+sin2e=1,

"+W.

【变式6-1](2021秋•赫山区校级月考)已知向量；=(1,2),匕=(-2,w),x=a+(r+l)b,y=-ka+

mER,鼠，为正实数.

(1)若a〃b,求〃?的值；

(2)当〃?=1时，若呈J_亍，求％的最小值.

【解题思路】(1)根据题意，结合Z1的坐标，由向量平行的坐标判断方法，可得1X〃?=2X(-2),

解可得答案；

(2)根据题意，可得Z、b的坐标，分析可得之♦/?=0,由向量垂直与数量积的关系，可得白？=区+(尸+1)

TT1T1

b]・(-kQ+)b=0,对其变形整理可得&=/+j由基本不等式的关系，计算可得答案.

VV

【解答过程】解:(1)根据题意，a=(1,2),b=(-2,〃?)，

若£〃人则有1XW=2X(-2),

解可得，机=-4；

(2)若〃?=1,有Q=(1,2),b=(-2,1),易得Z・b=0,

则x=a+(r+1)b=(-1-2»,3+r),y=-ka+^b=(.-k-^,-2女+"),

^x1y,贝唳=[a+(r+1)b]*(-ka+^b)--ka2+(r+1)b2=5[(r+1)-k]=0,

即—

又由f>0,则右2ml=2,(当且仅当f=l时等号成立)；

故女的最小值为2.

【变式6-2](2021秋•东海县校级