高考数学 集合与常用逻辑用语、不等式 全称量词和存在量词 （附解析）

全称量词和存在量词

激活思维

1.（教材经典题改编）若命题p：mx£R,x+120,则命题〃的否定是（A）

A.VxeR,x+l<0B.VxER,x+l2O

C.3%eR,x+l<0D.SxER,x+l2O

2.（教材经典题改编）（多选）下列命题是全称量词命题且为真命题的有

（AC）

A.每一个末位是0的整数都是5的倍数

B.有些菱形是正方形

C.对任意负数-x的平方是正数

D.梯形的对角线相等

3.已知命题p：3xe[0,+8）,。<做+],若〃为真命题，则实数。的

取值范围为（—8,2）.

【解析】设/=X£[O,+8）,若〃为真命题，则。〈於）max=/（O）

=2.

4.（教材经典题改编）已知“若则2x+l>2”是假命题，则4的取值

范围是（3,+8）.

【解析】因为“若Q1,则2r+l>X'是假命题，所以mi,2x+lWY'

是真命题.因为当时，2x+l>3,所以实数人的取值范围是（3,+8）,

5.设命题p：R»x2—2x+〃z-3=0,命题4：Vx£R,x2-2（/H—5）x

+〃尸+19=0.若〃，q都为真命题，则实数〃，的取值范围为

【解析】若命题p：x2—2_r+机-3=0为真命题，则4=4—4（〃?一

3）20,解得若命题q：VxWR,x2-2（加一5）犬+7层+19W0为真命题，则

/=4（团一5户―4加+19）<0,解得又p,都为真命题，所以实数，〃的

取值范围是仔4.

聚焦知识

1.全称量词命题与存在量词命题

全称量词命题存在量词命题

量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个

符号V

命题形式VxeM,p(x)p(x)

XxGM、~y7(x),

否定

是.存在量词命题是一全称一全词命题

2.常见词语的否定

词语是都是大于小于

词语的

.不是一不都是一小于或等于一一大于或等于.

否定

词语旦至少有〃个至多有一个所有X都成立

词语的至多有77—1存在一个X不

或_至少有两个一

否定成立.

注意：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能

一真一假.即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦

然.

题型突破思维拓展

▲

举题说法

目帧U含量词的命题的真假判断

例1(多选)下列命题中的真命题是(ACD)

A.VxeR,2c>0B.(x-l)2>0

C.3x^R,igx<1D.R,tanx=2

<总结提燎a

判定全称量词命题7xGM,pdf是真命题，需要对集合M中的每一个

元素x,证明p(x)成立；判定存在量词命题“三工£加，"(x)”是真命题，只要在

限定集合内找到一个即使p(x)成立即可.

变式1下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是(C)

A.所有正方形都是矩形

B.3xeR,f+2x+2=0

C.至少有一个实数x,炉+1=0

D.3%eR,使/一工+；<0

目帧包含量词的命题的否定

例2写出下列命题的否定，并判断其真假性.

(1)Vx£Z,|x|eN；

【解答】国qN；假命题.

(2)每一个平行四边形都是中心对称图形；

【解答】有些平行四边形不是中心对称图形；假命题.

(3)有些三角形是直角三角形；

【解答】所有三角形都不是直角三角形；假命题.

(4)3xeR,x+lWO；

【解答】R,x+1>0；假命题.

(5)3xeR,f+2x+3=0.

【解答】VAER,X2+2X+3^0；真命题.

<总结提燎A

对于存在量词命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判

断该命题成立；对于全称量词命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，

而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立.

X

变式2(2025•许昌二模)己知命题〃：DxER,ry—T<1；命题"Bx>

1川T1

0,2Vx2,则(A)

A.〃和夕都是真命题B.「〃和夕都是真命题

C.〃和F/都是真命题D.~»p和F都是真命题

【解析】对于命题p,当E0时，/7W0<1；当x>0时，△7=七

国+1|x|+lx+1

<1,所以命题〃是真命题.对于命题小当时，所以命题q

是真命题.

目帧闵结合命题真假确定参数

例3(1)已知命题P：VxER,x2-«^0；命题03xeR,f+2〃x+2—

a=0.若命题p,q都是真命题，则实数〃的取值范围为(一8,-2|.

【解析】当命题〃为真命题时，。<(『)1而=0.当命题夕为真命题时，方

程f+2ar+2—〃=0有解，所以4=4/—4(2—々)20,解得。《一2或若

忘0,

命题p,q都是真命题：则，=aW-2.

2或1

⑵已知命题p：加F一以一120为假命题，则实数，〃的取值范围

为(一40|.

【解析】因为命题p：3K£R,mX2—〃优一120为假命题，所以命题Vx£

R,mr2-〃比一1<()为真命题.当加=()时，-1V0恒成立，符合题意；当〃zWO

|/n<0,

时,则J解得一4o〃yo.综上，可得〃z的取值范

1/=(一⑼2-4XmX(-l)V(),

围是(-4,0].

・总结提炼》

根据命题的真假求参数取值范围的策略

(1)已知每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围；

(2)对于含有量词的命题求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利

用函数的值域(或最值)解决.

变式3(2()25•徐州2月调研)已知命题〃：X/x£R,以2+左+3>()为真命

题，则实数。的取值范围是(D)

A.(0,1B.(0,

C.K+HD.生+8)

【解析】因为命题p：Vx£R,af+Zx+BX)为真命题，所以不等式ox2

+2x+3>()的解集为R.若〃=0,则2x+3>(),解得工>一2，不合题意.若

aWO,贝g解得综上，

IJ=22-12^<(),33

目帧已双量词成立问题

例4(1)已知函数於),当工不(一8,2)时，/(x)W[0,2e2),g(x)=ox+l,a

£R.若对任意的》8一2,2],总存在唯一的X2E(—8,2),使得於2)=g(xi),

1-

21

则实数。的取值范围为一_

-2一1

【解析】①当〃<0时，由xi£[—2,2],得g(xi)£[2a+1,—2^+1],由

题意有[2a+l,—2a+l]G[0,2e2),解得一/()1・②当。=0时，由幻E[一

2,2],得g(x】)=l,满足题意.③当。>0时，由小£[—2,2],得g(X])£L2a+

1,267+1],由题意有[一2。+1,2〃+1]口0,2。2),解得。£(0,1,综上，可得〃£

11

212

41

(2)已知函数负x)=x+「g(x)=2x+a,若VX1W5，1，m12£[2,3],使

/Ul)Wg(X2),则实数。的取值范围是

【解析1由题可知«X)maxWg(-E)max,由于/(X)max=，g(戈)max=8+。，所以

171

方W8+。，解得

・总结提燎A

(1)相等关系：

记y=«r),x^[at6的值域为A,y=g(x),x^[cf/的值域为B.

①若b],Bx2^[cf有yUi)=g(X2),则AMB.

②若三文1£[〃，/?],[c,川，有«xi)=g(x2),则ABB.

③若£[a,b],3x2^[c,d],有兀n)=g(x2),则AGBW。.

(2)不等关系：

①X/xiGA,弋X£B,凡。)Wg(X2)钝")maxWg(x)min.

②三XI£A,三X2£8,火Xl)<g(X2)^:>f(X)min^^(X)max.

③VxiWA,3x2eB,yUl)〈g(X2)^/U)maxWgQ)max.

变式4(1)已知/w在[-2,2]上的值域为[—3,3],函数g(x)=f一2x+m.若

对于任意的XIW[—2,2],都存在X2W[—2,2],使得以及)=兀灯)，则实数团的取值

范围是――一5,-21.

【解析】由题知函数g(x)=f—Zr+m在［-2,2］上的值域为［/〃-1,m+

8］.因为对任意的刘£［-2,2］,都存在及£［-2,2］,使得8(尤2)=加0),所以［一

〃z+823,

3,3］G|yw—1,加+8］,所以，解得一2.

、〃z-lW-3,

(2)已知函数./0)=:匕，g(x)=x—1.若存在xi,xi^［af。+1］,使得/Ui)

＜g(X2)成立，则实数4的取值范围是(一1一,历，一2)5立一1,+8)_.

【解析】由题知/(X)minVg(X)max.由g(X)=X—1在［。，。+1］上单调递增，

可得g(x)n】ax=g(a+l)=a.显然，々V—2或。＞—1,当。＞—1时，人。在［凡a

+1］上单调递减，可得/U)min=4〃+1)=出.由。＞六，解得也一1.当

々+1V—1,即。＜一2时，儿丫)在［4,。+1］上单调递减，可得yU)min=A〃+l)=

由解'导—1一退〈0V—2.综上，。的取值范围是(一I一陋，—

2)U(V2-1,4-oo).

烧探究逻辑推理问题

例5(2026•南昌期初)已知甲、乙、丙、丁四位老师参加青年教师教学大

赛，问其比赛结果，他们回答如下：甲：丙第一，乙第二；乙：丙第二，丁第三；

丙：丁最后，甲第二.如果每个人的两个回答中，都恰有一个是正确的，且没有

并列名次，那么这次比赛获得第一、二、三、四名的依次是(A)

A.丙、甲、丁、乙B.丙、甲、乙、丁

C.甲、乙、丙、丁D.甲、乙、丁、丙

【解析】若甲说的“丙第一”正确，则乙的回答中只能“丁第三”正确，

丙的回答中“甲第二”正确，此时获得第一、二、三、四名的依次是丙、甲、丁、

乙.若甲说的“乙第二”正确，又没有并列名次，则乙的回答中只能“丁第三”

正确，丙的回答中“甲第二”正确，此时第二名出现甲、乙并列，与题设矛盾，

因此第一、二、三、四名依次是丙、甲、丁、乙.

随堂内化

1.(2025•漳州二模)命题“Vx＞0,x+lWe"”的否定是(D)

A.3x^0,x+lWe，B.3x^0,x+1＞ev

C.3x>0,x+l^evD.3x>0,x+1>ev

2.(2024•新高考II卷)已知命题〃：|x+l|>l；命题SBx>(),

V=x,贝ij(B)

A.〃和q都是真命题B.「〃知夕都是真命题

C.p和都是真命题D.rp和F都是真命题

【解析】对于〃，取x=-1,则有|,E+I|=0V1,故〃是假命题，「〃是真

命题.对于q,取x=l,则有/=13=1=占故4是真命题，是假命题.综

上，和q都是真命题.

3.若“三工£[0,3],『一2A-aVO”为真命题，则实数。可取的最小整数值

是(B)

A.-1B.0

C.1D.3

【解析】由题意得心『一2x在]£。3]上有解，当尸1时，/一2x取最

小值-1,则。=故。可取的最小整数值为0.

4.已知函数/(.E)=++X,g(x)=ln(x+l)一若存在xi,12W[(),2],使得/3)

=g(R2),则实数a的取值范围是L4,11131

【解析】火箝的值域A=[0,4],g(x)的值域In3-a].由存在可，

x2e(0,21，使得./Ui)=g(X2),知由A58=。得4<一〃或In3一〃V0,

解得〃<一4或〃>ln3.故当AD8W。时，-4W〃Wln3,所以〃的取值范围是

4,In3].

配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.(2025•青岛二测)命题74>小的否定为(D)

A.Vx>y,1守B.Vx<y,fWy2

C.3x<y,fWVD.3x>y,x2^y2

2.(2025•唐山一模)已知命题〃：VxER,?>0；命题/3x>0,Inx<

0,则(B)

A.〃和q都是真命题

B.p是假命题，q是真命题

C.〃是真命题，q是假命题

D.〃和都是假命题

3.已知p：\/x&R,f+2r+oX)；q：\/x£R,*+2〃氏+2—QW(),若p,

g一真一假，则实数〃的取值范围为(A)

A.(-2,4-oo)B.fl,4-oo)

C.(-8,-2]U[1,4-00)D.(-2,1)

【解析】若〃为真，则小=4-4aW0,解得若夕为真，则42=4/

—4(2—a)V0,解得一2VaVl.若〃真q假，则。21；若p假q真，则一2Va

<1.综上所述，若p,q一真一假，则实数。的取值范围为(一2,+8).

4.(2025•德州模拟)某次考试后，甲、乙、丙、丁四名同学讨论其中一道考

题，甲说：我做错了；乙说：甲做对了；丙说：我做错了；丁说：我和乙中有人

做对.已知四人中只有一名同学的解答是正确的，且只有一名同学说的是正确的，

则解答正确的同学是(C)

A.甲B.乙

C.丙D.T

【解析】若甲做对了，则甲说错了，乙说对了，丙也说对了，此时有2人

说对了，不满足条件.若乙做对了，则甲说对了，乙说错了，丙也说对了，此时

有2人说对了，不满足条件,若丙做对了，则甲说对了，乙说错了，丙、丁也说

错了，其中只有甲1人说对了，满足条件.若丁做对了，则丁、甲、丙都说对了，

不满足条件.故做对的是丙，说对的是甲.

5.己知函数/(x)=f+3,g(x)=mx+5—m(m>0),若对任意的xi仁[1,2],总

存在加引一1,2],使得必)=g3)成立，则实数〃?的取值范围是(C)

A.[12,4-oo)B.[10,+8)

C.[14,+8)D.[8,+8)

[解析]因为xy[1,2],所以2w£[2,4]，所以火21」)=(2灯)2+3£[7,19].因

为对任意的加£口,2],总存在足£[-1,2],使得A2xD=g(X2)成立，所以gCn)的

值域包含区间[7,19].又〃2>0,所以g(x)=〃ir+5一m在[-1,2]上是增函数，所

5—2mW7,

以g3)W[5—2"?,5+〃z],所以]।解得m214.

5十机319,

二、多项选择题

6.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ABD）

A.矩形的对角线互相平分且相等

B.对任意非正数c,若。W/?+c,则aW/?

C.有些菱形不是平行四边形

D.对任意实数1，不等式f—3x+720恒成立

7.下列说法中正确的是（BD）

A.若Vx£（ADB）,则或

B.3x^R,

C.a>b的一个必要不充分条件是孔0<0,a+xoeZ?

D.3xoeR,看+2>3xo的否定是WrWR,『+2W3x

【解析】若xe（AGB）,则x£A且x£从故A错误；当x=-1时，

x3,故B正确；。>方能推出mxoVO,a+xo》b,但反过来也成立，故C错误；3xo

£R,看+2>3刈的否定为Vx£R,1+2W3x,故D正确.

8.若“三工£色，2],使得2f—入+lVO成立”是假命题，则实数A的可

能取值是（AB）

3

A-B

•2•

9

C3D-

••2

rii2A2+I

【解析】由题意可知5,2，2/一入+1河是真命题，则收]—

=2x+《，即242x+%n,I，2.因为於）=2x+92y2r^=24L

区21当且仅当2x=^即尸乎心21时等号成立，所以於）的最小值是

2吸，即2W2戏.

三、填空题

9.若“三工£[1,4]，使得您+。+1。0”是假命题，则实数。的取值范围是

（—8,—9）.

2

10.已知函数於）=僦+2（。>0）,g（x）==.若三加可一1,2],W&£[2,3],

.V1

使/Ui)=g(x2)成立，则实数。的取值范围为ri,+8).

【解析】由函数段)=狈+2(〃>())在区间[-1,2]上单调递增，可得一。十

2W/U)W2a+2,即函数J(x)的值域构成集合4=[一。+2,2〃+2].由函数仪幻=

2

W在[2,3]上单调递减，可得1^且。)或2,即函数8(尤)的值域构成集合8=[1,2].又

X1

—a+2Wl,

3X1e[-1,2],VX2e[2,3],使兀⑴=g3)成立，则BQAf则＜

即实数。的取值范围是[1,4-°°).

Y1

11.已知函数段)=南，若▼。口一2,2],七｛用2],使不等式心)

一2G〃十学成立，则实数m的取值范围为(一8,—3]U[—1/]U[3,+8).

【解析】由题意得7U)=4T=1—士，所以凡。在21上单调递增，

JiI1-A.i1L4一

V〃£[—2,2],2,使不等式凡¥)W〃「一2〃m+宇成

立，转化为[―2,2],J(.0minW〃?2—2卬九+彳■恒成立，即VQ£[—2,2],—2ma

+in2+320恒成立.令g(o)=—Ima+nr+3,所以,

lg(2)20,

4〃Z+，〃2+3是O,

解得mW—3或一或m23,故实数m的取值范围

为(-8,-3]U[-1,1]U[3,4-00).

四、解答题

12.已知命题p：Vx£R,f+2"?—3>0,命题q：Bxo£R,x。一2wtro+m

+2V0.

(1)若命题〃为真命题，求实数〃2的取值范围；

【解答】若命题〃为真命题，则f>3—2m对x@R恒成立，即3—2〃2V

(ATjmin,因此3-2"?<0,解得"Z〉/即实数〃7的取值范围是"7依》于.

(2)若命题^为真命题，求实数，〃的取值范围；

【解答】若命题g为真命题，则方程『一2〃洸+m+2=0有两不等实根，所

以/=(一2"尸一4(m+2)>0,则加2—皿-2>0,解得加V—1或m>2,故实数〃？

的取值范围是{附加V—1或加＞2}.

(3)若命题p,q中至少有一个为真命题，求实数机的取值范围.

【解答】若命题外q中至少有一个为真命题，即〃或夕为真命题，则结合

33

>--因此

〃

⑴⑵得用《〃2U{m\m<_1或/〃>2}=〃2£2

实数机的取值范围是“2机＜—1或加＞,1.

13.已知函数＜x)=x—三，^(x)=x2+/?x+[(a,/?£R,。#0).

人

(1)若集合x«r)=%-l为单元素集，求实数。的值;

5

-

【解答】由题意可知，集合X4，为单元素集，且々W0,由x一

jx-1,其中xWO,整理可得f—4x+4a=0,所以关于％的方程x2—以+4〃

=0有两个相等的实根，所以4=16—16a=0,解得。=1,符合题意，故。=1.

(2)在(1)的条件下，对任意的》£[2,5],总存在照£[2,5],使於i)2g3)成

立，求实数〃的取值范围.

【解答】当。=1时，_/U)=R—因为函教)，=x,在[2,5]上均为增

3

函数，所以函数ZU)在25]上为增函数，且./U)min=/(2)=5.由题意知，存在工£

[2,5],使得g(犬)W/*)m:n=5,则f+法+1W,,可得反^一―所以反仕—'J

max.令"(X)=豕——其中A[2,5],因为函数)=狒，),=-X在[2,5]上均为减函

7

故

数，故函数/?(工)=五一X在[2,5]上为减函数，所以〃(X)max=/?(2)=W—2—不

/后一京因此实数