人教版高中数学必修2考点训练 专项强化11：统计与概率解答题（解析版）

专题强化11:统计与概率解答题

【题型过关】

题型01:用样本估计总体

1.（2425高一上•辽宁鞍山•期末）国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查

工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员，广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解

宣传进展情况，现从参与调有的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组［15,25）,

第2组［25,35）,第3组［35,45）,第4组［45,55）,第5组［55,65］,得到的频率分布直方图如图所示.

频率

（1）求。值，并求这组数据的40%分位数（精确到0.1）；

（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.抽取结果中来自第2组和第3组中的所有人的年龄的平均数和

方差分别为37和27.已知第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6,据此估计第3组所有人的年

龄的方差.

【答案】（1）。=0.010，39.3

（2）6

【分析】（1）根据频率之和为1列方程求得根据百分位数的求法求得这组数据的40%分位数.

（2）根据第2组和第3组的所有人的年龄的方差列方程，化简求得第3组所有人的年龄的方差.

【详解】（1）由表中数据可得10（a+0.015+0.035+0.030+a）=l,解得。=0.010,

设第40百分位数为加，

因为前2组频率0.01xl0+0.015xl0=0.25v0.40

前3组频率0.01xl0+0.015xl0+0.35xl0=0.6>0.40,所以〃［位于第三组：［35,45）内

即0.035x（加一35）+0.25=0.40,m«393.

（2）由题意得，第2组和第3组的频率分别为。15,0.35,

故第2组和第3组所抽取的人数分别为0.15x20=3,0.35x20=7,

设第2组的宣传使者的年龄平均数分为胃=30,方差为s；=6,第2组人数3人，

设第3组的宣传使者的年龄平均数为歹，方差为学,

第3组人数7人第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为彳，方差为一,

则亍=^+*=3x3£¥=37,求得少二40,

即第3组所有宣传使者的年龄平均数为40,

『='{3'+(胃-刃2]+7x卜；+(y-z)2]}

222

=-^{3X[6+(30-37)]+7X[^+(40-37)]}=27>^52=6,

即第3组所有宣传使者的年龄方差为6.

2.（2425高一上•辽宁•期末）某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了〃名高一学生进行体能

测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图.已知评分在［70,80）

中的学生有100人.体能测试评价标准如下表:

测试评[90,

[0,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

分100]

体能等

EDCBA

级

⑴求〃的值及频率分布直方图中f的值;

（2）在抽取的体能等级为。的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练.根

据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在［40,50）中的学生的体能等级转为8的概率为:，测试评分在［50,60）中

的学生的体能等级转为8的概率为:，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能

训练后至少有一人的体能等级转为B的概率.

【答案】⑴〃=500,/=0.002；

2

⑵3

【分析】（1）利用公式求〃的值，利用矩形的面积和为1求/的值;

（2）设事件”在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”，利用对立事件的概率公式求解;

【详解】（1）由已知条件可得〃=八）?0,八=500,乂因为每型的小矩形的面积之和为L

0.02x10

所以(0035+0.025+0.02+0.004+81)x10=1,解得/=0.002.

（2）由（1）可知：r=0.002,

所以调查评分在［40,50）中的人数是调查评分在［50,60）中人数的9

若按分层抽样抽取3人，则调查评分在［40,50）中有1人，在［50,60）中有2人，

设事件M=”在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”.

因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，

所以尸（后）=34吟=9

,4333

所以尸（.“）=1一/>（而）=14=：,

2

故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为§・

3.（23・24高一下•安徽阜阳•期末）阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛“，高一年级学生参加了这次竞赛，为了

了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（50〈x<60,

60<x<70,70<x<80,80<x<90,90<x<100）,其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下

面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决卜.列问题；

频率

而

0.040.......................

a----------

0.016-1—

0.008

b

05060708090100

成绩（分）

（1）若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？

（2）李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数:xpx2,x3,-,x10，己知这10个分数的平均数嚏=90，标准差s=6,

若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.

⑶从样本数据在504x<60,60"<70两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中

随机选出2人，求选出的两人恰好米自十同一小组的概率.

【答案】（1）78分

（2）平均数90,方差38.75

呜

【分析】（1）利用百分位数的定义求解：

（2）利用平均数和方差的定义求解;

（3）利用古典概型的概率公式求解.

【详解】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列，

所以0.016?=0.008”，

解得a=0.032,

X（0.008+0.016+0.032+0.04+Z））xlO=l,

解得6=0.004,

所以°=0.032,6=0.004,

成绩落在［50,70）内的频率为：0.16+0.32=0.48,

落在［50,80）内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88,

设第80百分位数为闭，

p1lj（w-70）0.04=0.8-0.48,

解得m=78,

所以晋级分数线划为78分合理；

（2）因为［=90，

所以芭+X?+•••+七0=1（）x90=900,

所以?='卜:+*+..•+4,）-9。=6,

所以++…+x；o=81360,

剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为x-，…，/，

平均数与标准差分别为xo，s°,

□tut八八A八①〜-X++XI+,••+900—95—85八八

则剩余8个分数的平均数：%二」一士一£-------=------------=90,

OO

方差：S1=-（x；+xl+-+x；）-9tf=-（81360-9^-8^卜9。=38.75:

88

（3）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取2人和4人.分别记为A,4和。，b,c,d,

则所有的抽样有：Q={AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd）,共15个样本点，

力='、抽到的两位同学来自于同一小组”，

则A={AB,abyac,ad,be,bd,cd},共7个样本点，

7

所以P（4）=话.

题型02：古典概型

4.(23-24高一下•福建泉州•期末)盒子中有4个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1,2,3,4,从盒子中

有放回地随机两次摸出小球，每次摸出一个小球.

(1)求两次摸到的小球数字之和为偶数的概率；

(2)设事件力=”两次摸到的小球数字之和是质数”，事件4="第1次摸到的小球数字为奇数”，事件当=”第2次摸到

的小球数字为奇数”，求LU瓦JU瓦).

【答案】⑴；

*

【分析】(1)解法一：利用列举法，列出从盒中有放回依次随机摸加两个小球，再找出两次摸到的小球数字之和为

偶数的情况，然后利用古典概型的概率公式求解，解法二：根据分步乘法原理和分类加法原理结合古典概型的概率

公式求解；

(2)解法一：列举出事件4%名的所有情况，再利用古典概型的概率公式求出P(4),P(g),P(&),然后根据互斥

事件和独立事件的概率公式求解；解法二：列举出力片和，4瓦约，.4万12,从而可列举出力4瓦LM瓦瓦反，

再利用古典概型的概率公式求解.

【详解】(1)解法一：从盒中有放回依次随机摸出两个小球的样本空间是

Q={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4>(2,1)(2,2)^,3)©4)鼠)&2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)),

所以〃(Q)=16,共有16个样本点.

记事件。="两次摸到的小球数字之和为偶数”，

则C={(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3』)(3,3)62)&4)},

所以〃(C)=8,共有8个样本点.

因为样本空间的每个样本点具有等可能性，

所以呼)=岛="/

即两次摸出的小球数字之和为偶数的概率为g.

解法二：记事件C="两次摸到的小球数字之和为偶数”.

每一次从盒中摸出小球，小球的数字都有概率相同的4种可能，

故有放回地摸两次，两次的小球数字相加情况共有4x4=16种可能，

1，2,3,4中共有2个偶数和2个奇数，

事件C发生有2x2+2x2=8种可能(2次都摸到偶数和2次都摸到奇数)，

/、"(c)81

因为上述各种情况发生的可能性都相同，所以尸(。)=一晨=71=；.

162

(2)解法一：因为“={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1)42,31(3,2)0,4)81)&,3)}，则P(4)二之，

16

B、={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(3,1"3,2)(3,$(3,种,

&={。,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1)63\《I)&3)},

所以48向={(1,1)},则尸(4用区)=，，

因为事件力与瓦、A石电、力瓦瓦不会同时发生，所以两两互斥，

所以尸(力与瓦114瓦层U/瓦万2)二尸04瓦)+尸卜瓦当卜尸(加瓦)，

又因为〃力坊瓦)+「(力加斗)+尸(4瓦瓦)+P0/力)=P(4),

所以尸(明瓦)+网益闯+用而网=RA-R9&系磊T

即可得尸(AB^BiUAB\B2U而碎=-.

解法二：因为力={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1)(2,3)(3,2)(3,q(4,)(4J},

^,={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)43,1"3,2)(3,$(3,叫,

Bi={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(4,1)(4,2(4,?(4,邓，

82={(1,1),(1,3),(2』),(2,3),(3,1)631州)63)},

瓦={(1,2),(1,4),(2,2),(2,4I(3,2)(3,4)加2)&4)},

可以得到力耳瓦={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)},

4瓦与={(2,1),(2,3),(4,1),(4,3)},

4瓦瓦=0，

所以,伍瓦U4后区U/瓦瓦={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)(2,1)(2,3)也1)&3)),

共有8个样本点，

即尸(力为瓦UAB\B2U彘冈=2=:.

5.(23-24高一下・甘肃武威・期末)龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出

1()和K共8张牌(每个数字四个花色：红桃(红色)、方块(红色)、黑桃(黑色)、梅花(黑色)).现从8张牌中

依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功.现有三种抽取方式，如下表：

方式①方式②方式③

按数字等比例分层

抽取规则有放回依次抽取不放回依次抽取

抽取

成功概率PlP1P3

(1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率：

(2)若三种抽取方式小明各进行一次，

(i)求这三次抽取中至少有一次成功的概率；

(ii)设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p,那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样

的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明.

【答案】⑴"，；，；・

O/

(2)(i)匚；(ii)此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大

16

【分析】(1)运用列举法，结合古典概型求解概率即可；

(2)(1)运用对立事件概率性质求解即可：(ii)求出各自的概率再比较即可.

【详解】(1)设方式①的样本空间为方式②的样本空间为鼻，方式③的样本空间为。3,

则〃(Cj=8x8=64,)=8x7=56,??(Q3)=4x4+4x4=32,

设事件力="抽到一张红10和一张红K,4=(红桃10,红桃K),(红桃10,方块K),(方块10,红桃K),(方块10,方块K),

(红桃K,红桃10),(方块K,红桃10),(红桃K,方块10),(方块K,方块10),

〃n(A)81n(A)81n(A)81

故Pi=-7^=77=G，P2=/八\=77=「，P\=小\=A

648”(Q?)567”(Qj)324

(2)(0记三次抽取至少有一次成功为事件8,

则。(8)=1-(13)(1-22)(1-23)=1-33(=看.

(ii)有关,按方式②®①或①③②抽取概率最大.

若按©§>@的顺序，P=99,十9底J=,

874874112

1391395

同理，求出①③②、②①③、②③①、③①②、③©①顺序下的概率分别为一，—.―，—»

224224224224112

故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②®①或①③②抽取概率最大

6.(23-24高一下•福建原门・期末)甲每次投篮投进的概率是0.7.连续投篮三次，每次投篮结果互不影响.记事件A

为“甲至少投进两球”

(1)用％(i=123)表示甲第i次的投薛结果,则(再小小)表示试特的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写

出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由;

（2）用计算机产生0~9之间的整数随机数，当出现随机数0~6时，表示“投进”，出现7,8,9时表示“未投进”.以

每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数：06204922893311774732783078276

91349114494995396x211016365140,利用该模拟试验，估计事件A的概率,并判断事件A的概率的精确值与估计

值是否存在差异，并说明理由.

【答案】（1）答案见解析

（2）0.784,有差异；理由见解析

【分析】（1）列举出样本空间，则由题意求出样本点（覃,1）的概率和样本点（0,0,0）的概率，再根据古典概型的定义

分析判断即可；

（2）根据随机数表可求得事件A的概率的估计值为0.9,设事件用=”甲第i次投进“，/=1,2,3,则

4=8应瓦+4瓦员+瓦区员+8乃遇，然后根据独立事件和互斥事小的概率公式结合题意求出尸（⑷，与0.9比较即

可.

【详解】（1）该试验的样本空间为

Q=｛（1.1,1）,（1,1,0）,（1,0,1）,（1,0,0）,（0,1J）,（0,1,0）,（0,0,1）,（0,0,0））,

共有8个样本点.

因为甲每次投篮投进的概率是0.7,

所以样本点（1』』）的概率为07\样本点（0。0）的概率为O.T，

所以这两个样本点的概率不相等，

所以这个试验不是古典概型.

（2）产生20组随机数相当于做了2（）次重复试验，其中事件A发生了18次，

则事件A的频率为£=0.9,所以事件A的概率的估计值为09

20

设事件夕=”甲第i次投进“，）=1,2,3,则」=4与瓦+々瓦层+以纥鸟+鸟与鸟

因为尸（4）=尸（鸟）=尸（员）=0.7,尸|：瓦卜P（瓦）=P（瓦）=0.3.

又因为每次投篮结果互不影响，所以4，生与瓦相互独立，片，区与层相互独立，

不，层与名相互独立，九星与与相互独立且8色瓦，瓦瓦灰，瓦8遇，片区员两两互斥，

所以P（⑷=P（片4区+片区与+反约A+空中）

=P（B&2瓦）+P,瓦B）+P（EB/）+P（B俱B）

=P（BJP（BJP巴卜P（B乃瓦p（B）P瓦丫&p区”6P区，电）

=0.7x0.7x0.3+0.7x0.3x0.7+0.3x0.7x0.7+0.7x0.7x0.7=0.784

所以事件A的概率的估计值和尸(⑷有差异.原因如下：

①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异：

②重复试验次数为20,样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大.

题型03：互斥、对立、独立事件的概率问题

7.(23-24高一下•广东广州•期末)某企业进入中学参与学校举办的模拟招聘会，设置了笔试、面试两个环节，先笔

试后面试，笔试通过了才可以进入面试，面试通过后即可录用，李明参加该企业的模拟招聘.

笔试关：有4道题，应聘者随机从中选择2道，两道题均答对即可通过笔试，否则淘汰不予录用.匕知李明能答对其

中的3道题；

面试关：有2道题，面试者答对第一道题，则面试通过被企业录用，否则就继续答第二道题，答双第二道题则面试

通过被企业录用，否则淘汰不予录用.已知李明答对每道面试题的概率都是:，两道题能否答对相互独立.

(1)李明笔试关中能答对的3道题记为%，％，的，不能答对的题记为b,请写出李明参加笔试关所有可能结果构成

的样本空间，并求出李明通过笔试关的概率；

(2)求李明被录用的概率.

【答案】(1)。=｛。1%,。|。3，生6，。也，。在内〃｝，7：

呜

【分析】(1)写出样本空间，利用古典概率求出概率.

(2)利用相互独立事件的概率公式求解即得.

【详解】(1)样本空间。2a3，。/，出仇。3力，有6个样本点，

李明通过笔试关的事件/=｛。陷2吗6，町%｝，共3个样本点,

31

所以李明通过笔试关的概率P(4)=；=7.

62

(2)依题意，李明通过面试关的事件为8,则P(8)=!+(1-！)X!=J,

44416

李明被录用的事件为AB,P(AB)=P(A)P⑻=4，

所以李明被录用的概率为2.

8.(23-24高一下•吉林延边•期末)举办网络安全宣传周、提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重

要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回

答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲、乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设中队每人回答问题正确

的概率均为;，乙队两人回答问题正确的概率分别为且两队每个人回答问题正确的概率相互独立.

⑴求甲队总得分为1分的概率；

(2)求两队积分相同的概率.

【答案】（1片

⑵工

18

【分析】（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解;

（2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式

运算求解.

【详解】（1）记“甲队总得分为1分”为事件九甲队得1分,则一人回答正确，另一人回答错误，

所以小）=3（1——扑齐,

（2）由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为:，：，!，

424

252

乙队积（）分，I分，2分的概率分别为

记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件8,C,O,

因为两队得分相互独立，互不影响，

则=-x—=—P（C）=-x-=—,Pfo）=^-<="-,

4918V72918,厂4918

7

所以两队积分相同的概率为P（8uCuO）=P（8）+P（C）+P（O）=忑.

10

9.（2324高一下•福建福州,期末）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租

车点的收费标准是每车每次租车时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按•

小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为

g；I小时以上且不超过2小时还车的概率分别为羡，两人租车时间互不影响且都不会超过3小时.

（1）求甲、乙两人租车时间超过2小时，旦不超过3小时的概率；

（2）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

（3）求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率

【答案】⑴:

（吗

*

【分析】（1）根据互斥事件的概率公式和对立事件概率公式计算可得；

（2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；

（3）甲、乙两人所付的租车费用之和为4元可能的情况是甲、乙的租车费用分别为：

①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.

【详解】（1）甲租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率为：1-二!，

424

乙租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率为：1-

（2）甲、乙两人所付的租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况，

甲、乙两人租车费用都为0元的概率为

甲、乙两人租车费用都为2元的概率为A=!x：=，，

236

甲、乙两人租车费用都为4元的概率为H=，X：=L，

4312

所以甲、乙两人所付的租车费用相同R勺概率为尸=5+3+5=2=；；

（3）甲、乙两人所付的租车费用之和为4元可能的情况是甲、乙的租车费用分别为：

①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元，

所以甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为：

c11111111141

P,=-X-+—X-+-X—=—+-+—=—=-.

43233412612123

题型04：统计与概率综合应用

10.（24-25高一上•江西抚州•期末）临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学

面试，入学面试时共有3道题目，答刈"2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已

知小明答对每道题目的概率均为|，小华答对每道题目的概率依次为：、pg,且小明、小华两人对每道题能否

答对相互独立.记“小明只回答2道题就结束面试”为事件A,记“小隼3道题都回答且通过面试”为事件4.

⑴求事件A发生的概率人力）；

⑵求事件A和事件8同时发生的概率

（3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率.

13

【答案】（1）77

【分析1（1）若事件A发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可■求得P（力的

值：

（2）若事件8发生，则小华前两题一题，答错一题，第三题答对，求出P（8）的值，分析可知，事件A、8相互独

立，由独立事件的概率公式可求得尸（川?）的值；

（3）记小明没有通过面试为事件C,小华通过面试的事件记为。，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰

有一人通过面试的事件记为E,则£=。｝+反，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得尸⑷的值.

【详解】（I）若事件A发生，则小明前两题都答对或都答错,

所以,★）=©+©■

（2）若事件8发生，则小华前两题一题，答错一题，第三题答对，

根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为P（8）=：7xg1x1]+1gx2：x；142,

由题意可知，事件A、"相互独立，则P（48）=尸（力）-P（8）=葛x£=^.

（3）记小明没有通过面试为事件C,

即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况，

则小明没有通过面试的概率为P（C）g|x|+浜x>'xg=法

/一\4481

可得小明通过面试的概率为P（C）=1-坛=而，

而由（1）可得小华通过面试的事件记为Q,则概率为P（力）=12+：2x：2=t2，

由题意可知，事件C、。相互独立，

则小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为£，

贝IJ概率为P（E）=P（OC+）C）=尸（。。）+。（万C）=^x；+总、|=詈.

11.（24-25高一下•江西景德镇•期中）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理,

某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求。的值.若根据这次成绩，学校建议成绩排名前70%的学生选报物理，成绩排名后30%的学生选报历史，某同

学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位）

（2）现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试.考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高

到低依次有力+，力，4三个等级，若两个模块成绩均为力+,则直接参加：若一个模块成绩为4+,另一个模块成

绩为4则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互

不影响，甲在每个模块考试中取得力+,A,8的概率分别为:，«；乙在每个模块考试中取得彳+,力，8的

JJ1J

概率分别为:，9，盘；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为'.求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛

/5105In

的概率.

【答案】（1）。=0.005,不低于71.4分

【分析】（1）粮据频率分布直方图的性质求解即可；

（2）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件乘法概

率公式求解即可.

【详解】（1）依题意得，20a+30a+60a+70a+20a=lna=0.005,

又（2a+3a）xlO=5x0.005xl0=0.25<0.3,

5。x10+7ax10=0.25+7x0.005x10=0.6>0.3,

所以第30%分位数位于[70,80）,且。3:：25+70=0黑2+70-71.4,

他的物理成绩应不低广71.4分较为合适.

（2）依题意甲能参加物理竞赛的概率/=]x]+2x]x；x（=\,

乙能参加物理竞赛的概率2=4X：+2X：X1XJ=3

22231616

二人互不影响，所以甲、乙至少有一人能参加物理竞赛的概率为：

12.（24-25高一上•江西赣州•期末）赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原

南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色

故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌.2024年国庆假期，赣州旅游再次火爆

“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客1050.07万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小

组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

、频率

iwn

0.025

0.020

0.010

0.005

°405060708090100分数

（1）求频率分布直方图中。的值，并估计100名游客满意度分值的中位数（结果保留整数）；

（2）用分层随机抽样的方法从「0,90）中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值

在同一区间的概率；

⑶已知满意度分值在[70,80）的平均数1=78,方差s：=9,在[80,9。）的平均数为88,方差$=4,试求满意度

分值在［70,90）的平均数z和方差

【答案】⑴。=0.030,82;

2

Q）M；

（3）84,30

【分析1（1）频率分布直方图，所有组距对应的频率之和为1,利用这个性质可求出。的值.中位数是将数据从小到

大排序后，位于中间位置的数（如果数据个数为奇数）或中间两个数的平均值（如果数据个数为偶数），根据频率

分布直方图求中位数需要通过计算累计频率来确定.

（2）先根据分层随机抽样的原理确定从［70,80）和［80,90）中抽取的人数，然后利用组合数计算从5个人中随机抽两

人且在同一区间的概率.

（3）求［70,90）的平均数和方差，可根据平均数和方差的计算公式，结合已知区间的平均数和方差进行计算.

【详解】（1）由（0.005+0.010x2+0.020+4+0.025）x10=1,解得。=0.030;

满意度分值在［40,80）的频率为（0.005+0.010乂2+0.020卜10=0.45<0.5,

在［40,90）的频率为（0.005+0.010x2+0.020+0.030）x10=0.75>0.5,

所以中位数落在区间［80,90）内，

所以中位数为80+10x05-045二2等45会82;

U・JJ

（2）从［70,80）中抽取2人，记为4,B,

从［80,90）中抽取3人，记为小b,c

所以5个人中随机抽取两人，所以抽取的结果有：｛（帅）,（"），5力）,（，同,低）,伍力）,（防）,（"）,卜,初（48）｝,共有1（）

种情况，

取到2人满意度分值在同一区间有｛（M）,（w）,（权UB）｝有4种情况，所以概率为证=不，

2

二.2人满意度分值在同一区间的概率为《；

（3）满意度分值在［70,80）的频率为0.02x10=0.2,人数为20;

在［80,90）的频率为0.03x10=0.3,人数为30,

满意度分值在［70,80）的平均数［=78,方差s；=9,

在［80,90）的平均数用=88,方差$=4,

所以满意度分值在［70,90）的平均数Z=2°Z+30Z2=84,

满意度分值在［70,90）的方差为52=点5；+仔-可2+|2$；+⑵㈤2］=30.

JUJU

【专题强化】

1（24-25高一上•江西九江・期末）4月23日是世界读书日，首届全民阅读大会在北京开幕.习近平总书记希望孩子们

养成阅读习惯，快速阅读，健康成长；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围.

某研究机构为了解当地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了200位中学生，对这些中学生每天的阅读时间（单

位：分钟）进行统计，将这些学生每天阅读的时间分成五段：［0,20）,［20,40）,［40,60）,［60,80）,［80,100］（单位：分钟）,

得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中。的值，并估计这200位学生每天阅读的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）;

⑵现在从［20,40）和［40,60）两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求这2人每

天阅读的时间所在区间不同的概率.

【答案】（1）。=0.01，54（分钟）；

（2）A.

15

【分析】（1）根据频率和为1求参数，再结合频率直方图求平均数即可；

（2）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，再应用列举法求古典概型的概率.

【详解】（1）由频率分布直方图，20（0.0025+a+0.02+«+0.0075）=1,即。=0.01,

・•・这200位学生每天阅读的平均时间为T=10x0.05+30x0.2+50x0.4+70x0.2+90x0.15=54（分钟）.

（2）每天阅读的时间在［20,40）和［40,60）内的人数比为，则分层抽样抽取的6人中，

在［20,40）内的有2人，记为45,在［40,60）内的有4人，记为

这6人中随机抽取2人的试验的样本空间共15个样本

点，

阅读的时间所在区间不同的事件M={4。,4/,决,力/.加,氏/,加,k,},共8个样本点.

这2人每天阅读的时间所在区间不同的概率为2（历）=百.

2.（2324高一下•甘肃临夏・期末）某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6

环或7环、其他情况，分别评定为儿B,C,D四个等级，各等级依次奖励2分、奖励0分、罚2分、罚4分.假

设评定为等级为4B，C的概率分别是:，

（1）若某射击选手射击一次，求其被罚分的概率；

（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为0分的概率.

【答案】⑴：

⑵3

16

【分析】（1）设事件4优。,。分别表示“被评为等级力，B,C,ZT.由题意，事件48,C,。两两互斥，然后利用互

斥事件的概率加法公求解即可；

（2）设事件（耳星）U（4G）Q（4G），且事件互斥，然后分别求出对应的概率，再利用互斥事件的概率加法公求解

即可.

【详解】（1）设事件力，B,C,。分别表示“被评定为等级力，B,C,。”.

由题意得，事件4B,C,。两两互斥，所以尸（0）=1-：-。-：=：.

24X8

又因为。1]。=被罚分，所以尸（CD〃）=/（C）+尸（O）=J+J=J.

884

因此其被罚分的概率为:；

（2）设事件4，4,G，"表示"第/•次被评定为等级4B,C,D'\/=1,2.

则”两次射击得分之和为o分”为事件（44）=（4G）D（4CJ,且事件4与，4G，4G互斥,

P（B,^）=-xl=—,

V14416

P（J1C2）=P（J2C1）=|xl=1,

所以两次射击得分之和为0分的概率

p=p[g）54C2）34G）]=P（4&）+P（4C2）+P（4G）=q*x2=K.

3.（23-24高一下•贵州黔西•期末）2023年8月5日-9日，首届贵州科技节在贵阳召开，为了了解活动成效，从参

会人员中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分（分数均在[60,100]内），将所得分数分成5组：[60,68）,

[68,76）,[76,84）,[84,92）,[92,100],制成频率分布直方图如图所示,其中满意度评分在[76,84）的参会人数为18.

（1）求频率分布直方图中。的值;

（2）从抽取的50名参会人员中满意度评分在［60,68）及［92,100］的人员中用分层抽样的方法抽取5人,再从抽取的5

人中随机抽取2人，求这2人中恰有1人的满意度评分在［60,68）的概率.

【答案】⑴。=0.010,/>=0.045

（2）|

【分析】（1）根据评分在［76,84）的游客人数为18和总人数为50得到。=0.045,利用频率之和为1得到方程，求

出a=0.01；

（2）根据分层抽样的方法得到评分在［60,68）的人数为2,设为外,天，满意度评分在［92,100］的人数为3,设为必,力/3，

列举出所有情况和2人中恰有1人的满意度评分在［60,68）的情况，求出概率.

1Q

【详解】（1）由题知，^=--=0.045,

50x8

因为8x（a+0.015+0.025+0.030+0.045）=l,所以q=0.010.

（2）由题知，抽取的5。名参会人员中满意度评分在［60,68）的人数为0.01x8x50=4,

满意度评分在［92,100］的人数为0.015x8x50=6,

抽取的5人中，满意度评分在［60,68）的人数为2,设为王应，

满意度评分在［92,100］的人数为3,设为加已办，

.•.从5人中随机抽取2人的不同取法为

｛知■，｛不必｝｛占，8｝，｛芭，M｝，｛%2，乂｝，卜2，%｝，｛々，4｝，｛必，y2｝，｛乂，必｝，仇，必｝，共有1。种不同取法,

设”2人中恰有1人的满意度评分在［60,68尸为事件”,

则事件M包含的取法为｛不凹｝,｛8/2｝，｛菁，为｝，｛毛，凹｝，卜2，必｝，｛工2，必｝洪有6种不同取法，

V7105

4.（23-24高一下•江苏常州•期末）甲和乙进行多轮答题比赛，每轮FI甲和乙各回答一个问撅，己知甲每轮答对的概

32

率为了，乙每轮答对的概率为彳.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.

（1）求两人在两轮比赛中都答对的概率；

（2）求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率；

（3）求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率.

【答案】⑴；

【分析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算即可；

(2)两人分别答两次，总共四次中至少答对3道题，分五种情况计算可得答案；

(3)分甲和乙均答对两个题目、均答对三个题目两种情况计算即可.

【详解】(I)依题意，设事件"中两轮都答对问题“，N="乙两轮都答对问题”,

339,、224

所以尸(M=X=/(%)=X=

44lo33V

因为事件相互独步，

g41

所以两人在两轮比赛中都答对的概率为尸(MN)=A(A/)P(N)=7Tx『二.

1694

(2)设事N="甲第一轮答对"，8="乙第一轮答对”，

C="甲第二轮答对”，。二“乙第二轮答对”，

£=”两人在两轮比赛中至少答对3道题”，

则E=ABCDuABCDuABCDuABCDvABCD，

由事件的独立性与互斥性，

可得P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)

=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(1)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P

(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D).

323212323132321232312

=—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—=—

434343434343434343433

2

故两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为

(3)设事件4,4分别表示甲三轮答对2个，3个题目，

层，员分别表示乙三轮答对2个，3个题目，

则P(4)=3x?x3xL=殳/区)=,

'〃44464v37(4J64

I2,一333一9,I3广(3厂27，

设事件。="两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2”,

则Q=A2B2U,且4,4,%，员分别相互独立，

77427X

所以P(0)=P(44)+P(4&)=P(4)P(%)+P(4)P(8J=瑞、+x指

649764T27

5

"16,

所以两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为盘.

5.(24-25高一下•北京•期中)2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共

91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知

识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年