第1章 三角形的初步知识（单元重点综合测试）解析版

第1章三角形的初步知识（单元重点综合测试）

（考试时间：120分钟;满分：120分）

姓名班级考号

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）（2024•湖南三模）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.1,2,3B.1,L2C.1,2,2D.1,5,7

【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否

满足即可.

【解答】解：41+2=3,不能构成三角形，不合题意；

5.14-1=2,不能构成三角形，不合题意；

C..l+2>2,能构成三角形，符合题意；

D1+5V7,不能构成三角形，不合题意.

故选：C.

2.（3分）（2024春•临海市校级期中）以下命题中，其中是假命题的是（）

A.同位角相等B.对顶角相等

C.0的平方根是0D.-1的立方根是-1

【分析】根据平行线性质，对顶角性质、平方根和立方根判断即可.

【解答】解：A.两直线平行，同位角相等，原命题是假命题：

B、对顶角相等，是真命题；

C、。的平方根是0,是真命题：

。、-1的立方根是-I,是真命题；

故选:A.

3.（3分）（2023秋•舟山期末）日常生活中三角形有着广泛的应用，例如右图的起重机的支奥采用了三角

形结构，在这个应用中蕴含的数学知识是（）

起重机

A.三角形三个内角的和等于180度

B.三角形任何两边的和大于第三边

C.三角形具有稳定性

D.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和

【分析】根据三角形具有稳定性求解即可.

【解答】解：起重机的支架采用三角形结构是利用了三角形具有稳定性坡一数学知识.

故选：C.

4.（3分）（2023秋•北流市期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点48的距离，小明在池塘外取48的

垂线8尸上的点C,D,使BC=CD,再画出8户的垂线OE,使E与儿。在一条直线上，这时测得QE

的长就是48的长，依据是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.HL

【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪时证明全等的要素，要杈据已知选择

判断方法.

【解答】解：因为证明在用到的条件是：CD—BC,/ABC—/EDC,/ACB-NECD,

所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法.

故选：C.

5.（3分）（2024•河口区校级模拟）如图，在△力8C中，ADLBC,CEL4B,垂足分别为。、E,AD.CE

交于点〃，已知EH=EB=3,AE=4,则C”的长是（)

【分析】由力。垂直于AC,CE垂直于利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等,

利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用彳AS得到三角形

AEH与三角形EBC全等,由全等三角形的对应边相等得到力E=EC,由EC-EH,即4E-E”即可求出

口。的长.

【解答】解：VAD1BC,CELAB.

:・N4DB=NAEH=NBEC=W,

NAHE=NCHD,

JNBAD=NBCE,

•:在AHEA和△BEC中，

rZBAD=ZBCE

«NAEH:NBEC，

EH=EB

:.△HEA/4BEC（AAS）,

：.AE=EC=A,

则CH=EC-EH=AE-EH=4-3=J.

故选：C.

6.（3分）（2023秋•新昌县期末）如图，在△/BC和/中，B,E,C,尸在同一条直线上.下面给出5

个论断：®AB=DE,@AC=DF,③BE=CF,@ZACB=ZDFE,®ZA=ZD.选其中3个作为条

件，不能判定g△。叮的是（）

A.①②③B.②③④C.③④⑤D.①②④

【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS.ASA.AAS.，乙依次对各选项分析即可判断.

【解答】解：③*：BE=CF,

:,BC=EF.

.4、①②③根据“SSS”可判断△48C0△物/：

B、②③④根据“s4r可判断△48C0△£）£/；

C、③④⑤根据“//S”可判断△/IBCgZXQE产；

D、①②④为两边与一边的对角对应相等，故不能判断

故选：。.

7.（3分）（2024•罗湖区校级模拟）己知下列尺规作图：①作一个角的角平分线：②作一个角等于已知角;

③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（）

①②③

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【分析】根据作一个角的平分线，作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线的方法一一判断即可.

【解答】解：由作图可知，作图正确的有①②，

故选：A.

8.（3分）（2023秋•台州期末）如图，边8c和Eb在同一条直线上.若BC=4CM,BF=

ocrn,则8E长为（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【分析】由全等三角形的性质可知E/=8C,然后问题可求解.

【解答】解：,；A4BC学4DEF,

•**EF=BC=4c，

:・BE=BF・EF=6-4=2（cm）,

故选：B.

9.（3分）（2024春•罗湖区期中J如图，在△48C中，44=8,AC=6,4c边的垂直平分线交44于心

交8c于点。，若CD=5,则△4EC的周长为（)

A.14B.12C.11D.19

【分析】利用线段垂直平分线的性质可得8E=CE,再利用三角形的周长公式计算可求解.

【解答】解：・..QE垂直平分线段8C,

:・BE=EC,

•・Z8=8,AC=6,

r.AJEC的周长为：AE+CE+AC=AB+AC=S+6=14,

故选：A.

10.（3分）（2023秋•临潼区期末）如图，在△力8c中，N比1C和N49C的平分线4E,4”相交十点O,

AE交BC于E,BF交AC于F,过点。作OO_L8C于。，下列四个结论：®ZAOB=90°+AzC；②

2

当NC=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S△月席=时.其中正确的是（

C.①②③D.①③

【分析】由角平分线的定义、三角形的内角和定理得N/1OA与NC的关系，判定①正确；在48上取一

点〃，使BH=BE,证AHBO@AEBO,得/BOH=NBOE=60°，再证得力/=力从

判定②正确；过。作OV_L4C于点N,于点"，由三角形的面积证得③正确；即可得出结论.

【解答】解：①TN41C和/48c的平分线相交于点。，

・・・NOBA=LNCB4,NOAB=LNC4B,

22

，N/OA=180°-ZOBA-ZOJ5=180°--1/08=180°--1（180°-ZC）=90°+A

2222

NC,故①正确；

②•・・/C=60°,

.\ZBAC+ZABC=\20°,

'：AE,8尸分别是NA4c与N/8C的平分线,

：・NOAR+NOB4=L(NBAC+N4BC)=60°，

2

/.ZAOB=\20°,

AZ/K9F=60°,

・・・N4OE=60°，

如图，在月8上取一点“，使BH=BE,连接

A

•・・8F是248C的角平分线，

:./HBO=/EBO,

在△〃4O和△E8O中，

BH=BE

«NHB0=/EB0，

B0=B0

:.△HBOeAEBO(SAS),

；・/BOH=/BOE=60°,

・・・//。〃=180°-60°-60°=60°,

：.AAOH=ZAOF,

在和中，

，ZHA0=ZFA0

'AO=AO，

ZAOH=ZAOF

:•△HAO乌MFAO(ASA),

：.AF=AH,

：,AB=BH+AH=BE+AF,故②正确；

③过。作ON_L4C于点N,OM_L/出于点M,

A

*.*Z3/JC和的平分线相交于点O,

・••点。在NC的平分线上，

：,ON=OM=OD=a,

-：AB+AC+BC=2b

S^ABC=­X^^XaW+AxACXO.v+AxBCXOD=1-（jB+AC+BC）・a=ab,故③止确・

2222

故选:c.

二.填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）将命题“同角的余角用等”，改写成“如果…，那么…”的形式如果两个角是同一个角的余

角，那么这两个角相等..

【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，即可解决问题.

【解答】解：命题“同角的余角相等“，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.

故答案为如果两个角是同一个用的余角，那么这两个角相等.

12.（3分）（2024春•郸州区校级期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角

形我们称之为“三倍角三角形”.例如，三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“三倍角三角

形”.若AABC是“三倍角三角形”,且N4=60°,则中最小内角的度数为20°或3（）。.

【分析】理解“三倍角三角形”的意义，分类讨论得结论.

【解答】解：当NB=60°是最小角的三倍时，此时三角形的三角分别为：100°、60°、20°,故最小

角为20°；

当N8=60°,另外两个角的关系满足3倍关系，

设最小角为,则x+3x+60=180,.3=30.

此时最小角为30°.

故答案为：20。或30°.

13.（3分）（2024•仓山区校级模拟）如图，已知力。为△/4C的中线，AB=l（）cm,AC=7cm,△力CO的周

长为20c1/〃，则△力“。的周长为23cm.

A

【分析】根据三角形中线的定义可得8。=。。，再表示出△4SO和△"/)的周长的差就是四、4c的差,

然后计算即可.

【解答】解：是3c边上的中线，

:・BD=CD,

•••△力8。和△力CO周长的差=(.AB+BEH-AD)-(AC+AD+CD)=48-4C=10-7=3(cw),

•••△/CO的周长为20。〃，力8比4C长3c/〃，

周长为：20+3=23(cm).

故答案为23.

14.(3分)(2023秋•轲桥区期末)如图，在RtZ\4?C中，ZC=90u,以力为圆心，任意长为半径圆弧,

分别交力8,/C于点M、N,再分别以M、N为圆心，大于2MN为半径画弧，两弧交于点G,作射线4G

2

交4C于点。.已知8。=5,CD=3,P为4B上一动点、,则P。的最小值为二

【分析】由题意得当。/<L/18时，P。有最小值，据此即可求解.

【解答】解：为/也上一动点，

・••当时,P0有最小值,如图所示：

由题意得：4。是NC48的角平分线,

VZC=ZDPJ=90°,

:.DP=CD=3,

故答案为：3.

15.（3分）（2023秋•淮北期末）如图，8〃是△力8C中乙48c的平分线，C尸是N4CB的外角的平分线,

如果//18。=20°,ZACP=50°,则NP=30°.

【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出/尸的度数.

【解答】解：・・・8P是。中。的平分线，CP是N4C〃的外角的平分线，

:・/ABP=/CBP=20°,N4CP=NMCP=50°,

•・・NPCM是△8CP的外角，

:,/P=/PCM-/CBP=50°-20°=30°,

故答案为：30°.

16.（3分）（2023秋•衢江区期末）如图，在△4%＞中，AC=BC,点D在边AB上,E,厂分别是射线C。

上的两点，旦//C=NBEC,N4C4+N彳回C=180°,AF=5,BE=2.则上/的值是3；若DF=

2CF,△小。的面枳为4,则△。£8的面积是__1_.

【分析】依题意，Z/fFC=180°-NAFD,进而得到N/C8=NN产力.再证明NC4产=N5CE,再由三

角形内角和定理可得NE8C=//C4,最后利用4s*4证明△尸C4得出。尸=8E,AF=CE,即可

求得EF=3,进而根据QF=2CF=4得出DE」CE，根据全等三角形的性质得出SAERC=S/,CA，即可求

5

解.

【解答】解：VZ5EC=ZJFC=180°・N4C8且N/IR7=1800-ZAFD

/.NACB=NAFD

由外角定理可得//9二/力分/口厂，

又•・•ZACB=ZACD+ZBCE,

：・/CAF=NBCE,

ZBEC=ZAFC

・•・ZEBC=ZFCA

在△£9C和△产C4中，

，ZEBC=ZFCA

■BC=CA

ZBCE=ZCAF

:.△EBCmAFCACASA）.

:,CF=BE,AF=CE

a：AF=5,BE=2

：.EF=CE-CF=AF-EB=5-2=3

'：AEBgAFCA

*,•%EBC=S&FCA，

「△/IF。的面积为4,DF=2CF=4

:,S&EBC=SdFCA=2，DE=DF-EF=4-3=1

■:CE=5,

,DE=TCE

D

,△g的面积是85.谭

故答案为：3,2.

5

三.解答题（共9小题，共72分）

17.（6分）（2024•番禺区二模）已知：如图，点E,尸在8c上，BE=CF,AB=DC,N8=NC.求证:

ZA=ZD.

【分析】根据S4S证明△力4b丝△QCE,由全等三角形的性质即可解决问题.

【解答】证明：

:,BE+EF=CF+EF,

:・BF=CE,

在歹和△QCE中，

[AB=CD

NB=/C，

IBF=CE

:•△ABFgXDCE（SAS）,

，ZJ=ZD.

18.（6分）（2023秋•婺城区期末）如图，在△/8C中，ZABC=45°,产是高4。和高8E的交点.

（1）求证：Z1=Z2.

（2）写出图中的一对全等三角形，并给出证明.

【分析】（1）根据同角的余角用等解答即可；

（2）根据4S力证明三角形全等即可.

【解答】（1）证明：：厂是高,4。和高的交点，

.\Z1+ZC=Z2+ZC=9O°,

，N1=N2；

（2）解：•：NADB=9G°,NABC=45°，

:,BD=AD,

在△8FO与△C4。中，

[Z1=Z2

BD=AD，

|ZBDA=ZCDA=9O°

工ABFD旦ACAD（ASA）.

19.（8分）（2023秋•松阳县期末）如图，在四边形力8C。中，48=CQ,AD=CB,求证：N4=NC.

【分析】连接8Q，利用SSS证得得出答案即可.

【解答】证明：如图,

在△力4。和△C4。中，

'AB=CD

•AD=CB，

DB=BD

:.△ABDeACBD(SSS),

，ZJ=ZC.

20.（8分）（2023秋•凤阳县期末）如图，在△48C中，AB>AC.

（1）用直尺和圆规作8c的中垂线，交48于点。（要求保留作图痕迹）;

（2）连接CQ,若力B=8,AC=4,求△力。。的周长.

【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出直线MN；

（2）利用线段垂直平分线的性质得出△4OC的周长为=4C+CZ>MO=/GMO+/）=4C+/1B,进而得出

答案.

【解答】解：（1）如图所示：

直线MN即为所求：

（2）由（1）可知，直线是线段8c的垂宜平分线，

:・DC=DB,

/.△/COm^=AC+CEh-AD=AC+AD+BD=AC+AB,

•・・/18=8,AC=4,

:.AJCZ)的周长为8+4=12.

N

21.（10分）如图，在△48C中，是8c边上的高线，8E是一条角平分线，它们相交于点E已知

=70°,ZAFE=50°,求NC和NABC的度数.

【分析】先根据三角形内角和为180度求出ND4c=60°,结合N4OC=90°,可求出NC,再根据N

AEF=NC+NE8C求出/E8C最后根据角平分线的定义可求N48C的度数.

【解答】解：•：/AEF=70°,ZAFE=50°,

/.AFAE=\^°-ZAFE-Z.4fF=60o,即NO4C=60°,

是4C边上的高线，

I.N,4OC=90°,

/.ZC=900-ZDJC=30°,

•・•N4EF=/C+NEBC,

：・/EBC=NAEF-NC=70°-30°=40°,

〈BE是平分N4BC,

・・・N48C=2N£8C=80°.

22.（1（）分）（2023秋♦舟山期木）如何仅用刻度尺平分一个角？

【提出问题】仅用一把刻度尺，平分N/O反

【设计方案】如图，已知408,用刻度尺分别在04,OB上取OC=OD,OE=OF,连结DE,b相

交于点G,过点O,G作射线。〃，则射线O"平分乙408.

【解决问题】在△OQE和△OCE中，

OC=OD

I()=()①，

OF=OE

:.AODE安△OCF(SAS)②,

:・/DFG=/CEG,

•：OC=OD,OE=OF,

:,DF=CE,

VZDFG=ZCEG,ZDGF=ZCGE,DF=CE,

:.4DFG@ACEG(AAS),

:,FG=EG,

，：OF=OE,4GFO=/GEO,FG=EG,

:.XOFG/IXOEG(SAS),

・•・/FOG=/EOG③,

即射线OH平分/AOB.

★请同学们在①、②、③处补全缺失的证明过程.

【分析】首先利用S4S证得△。。^^△。。尸，保护层出NOEG=NCEG,进而利用44s推导出△。打7安

△CEG,得至lJ/G=EG,最后推导出△O/7GgZ\OEG(SAS),进而得证.

【解答】证明：在△OQE和△OC/中，

[00=00

ZDOE=ZCOF>

l0E=0F

AODE^AOCF(SAS),

JZDFG=/CEG,

,：OC=OD,OE=OF,

:・DF=CE,

/DFG=/CEG,/DGF=/CGE,DF=CE,

:.MDFG迫/\CEG(AAS),

:.FG=EG,

，：OF=OE,/GFO=NGEO,FG=EG,

:.MOFGq/\OEG(SAS),

：.ZFOG=ZEOG,

即射线OH平分/AOB,

故答案为：/DOE；/COF；(SAS)；/FOG；ZEOG.

23.(12分)(2024•雨花区校级二模)如图，ZA=ZB,AE=BE,N1=N2,点。在力C边上.

(1)求证：△AEC@4BED.

(2)若Nl=40°.求NBDE的度数.

【分析】（1）要证明△/ECg/XBEQ,根据题目中的条件，先证明N/EC=N8E。即可，白N1=N2,

即可得到NXEC=N8EZ）,然后写出全等的条件，即可证明结论成立；

（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质，可以求得NBOE的度数.

【解答】（1）证明：・・・/