导数的运算【七大题型】-人教A版高中数学选择性必修第二册（原卷版）

专题5.2导数的运算【七大题型】

【人教A版（2019）]

＞题型梳理

【题型1基本初等函数的导数】.................................................................2

【题型2导数的四则运算法则】.................................................................2

【题型3复合函数的求导方法】..................................................................3

【题型4求曲线的切线方程（斜率）】............................................................3

【题型5已知切线（斜率）求参数】.............................................................4

【题型6函数图象的判断及应用】...............................................................4

【题型7导数运算的新定义问题】...............................................................6

A举一反三

【知识点1导数的运算】

i.基本初等函数的导数公式

函数导数

=c（c为常数）r«=o

r(x)=«x“T

/i»=sinxf(x)=cosx

f(x)=cosx7(x)=-sinx

f(x)=aK(a>0,且。#=1)ff(x)=ax\na

jM=exf'M=ex

fM=log(/x(a>0,且4H1)

fM=\nx/'&）=《

2.导数的运算法则

符号表达文字叙述

两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导

[/a）±g（x）r=/«）±e（x）

数的和（或差）

两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第

[/(X)•g(X)]'=f(x)•gG)+/(x)•g'(x)

二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数

r/wi，—rG)g(x)-/(x)g'(x)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减

[sMi-k(x)]2去分子乘分母的导数，再除以分母的平方

3.复合函数的导数

(1)爱合函数的定义

一般地，对于两个函数广/⑷和〃:虱T),如果通过变量〃J可以表示成X的函数，那么称这个函数为函

数产油)和〃=g(X)的复合函数,记作产几g(x)).

(2)复合函数的求导法则

复合函数广式g(x))的导数和函数产4〃),〃=g(x)的导数间的关系为y.J=»“',〃」，即y对x的导数等于y

对”的导数与〃对x的导数的乘积.

4.导数的运算的方法技巧

(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

【题型1基本初等函数的导数】

【例1】(2024•湖北•一模)已知函数/(%)=铲-尸⑴》,则()

A.=B.尸(1)=一；

C.f⑵=e2-eD./⑵=e2—e

【变式1-1](23-24高二下•北京通州•期中)下列求导运算结果错误的是()

A.(9=妥B.(Inx)-=i

C.(ex)z=exD.(sin%)'=cosx

【变式1-2](23-24高二下.江苏淮安・期末)下列求导运算正确的是()

A.(In2)'=：B.(e3)f=3e

C.(a')'=x•Q“TD.(COS%)'=—sinx

【变式1-3](24-25高三上•江苏•准安•阶段练习)下列导数运算正确的是()

A.(cos3)'=—sin3B.(e^)7=e3x

C.G)'=-或D.(log2xy=i

【题型2导数的四则运算法则】

【例2】(23-24高二下.江苏扬州•期中)下列导数运算正确的是()

A.(sinx)x=-cosxB.j—

C(29=*D.层)丁一夫

【变式2-1](23-24高三上•湖北孝感•阶段练习)已知函数/(%)=e'T+/(1)/+/(1)无+，贝,Q)=()

A.e+2B.e—3C.e—5D.e—7

【变式2-2](23-24高二卜..内蒙占赤峰.期中)卜列求导运算正确的是()

A.(cosx)z=sinxB.(x2+ln3)z=2x4-1

C.(x3ex)z=sinxD.(五)'=金

【变式2-3](23-24高二下.广东肇庆.阶段练习)已知函数/(x)=x(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)(%一5),

求((2)=()

A.0B.-12C.-120D.120

【题型3复合函数的求导方法】

【例3】(23-24高二下.四川遂宁.阶段练习)下列求导运算不正确的是()

A.(x2sinx+1)，=2xcosxB.(疹=1)，=品

2

fD.(劫'=IT

c.fln(l-2x)]=2x-l词

【变式3-1](24-25高二上•全国,课后作业)设定义在R上的函数/'(%)的导函数为/(%),且fG+l)=

>0,则舄=()

A.4B.8C.16D.32

【变式3-2](23-24高二下•湖北,期中)下列求导不正确的是()

A.[(3%+5)3了=9(3x+5产B.(e2y=0

/2sinx\'2xcosx+4sinx

C-I—J=~—D.(2X+cosx)/=2xln2—sinx

【变式3-3](23-24高二下•四川自贡•期中)设/o(x)=Sin2x+cos2x,/i(x)=/0*W*/式工)=…

fn+lM=fnW，nEN，则4020(幻=()

A.22020(COS2X-sin2x)B.22021(-sin2x-cos2x)

C.22020(sin2x+cos2x)D.22021(-cos2x+sin2x)

【题型4求曲线的切线方程(斜率)】

【例4】(24-25高三上•北京房山•阶段练习)曲线y=占在点(1,1)处的切线方程为()

A.x—y—2=0B.x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x—y—5=0

【变式4-1](24-25高三上•河北衡水・开学考试)己知/(%)=ln(-2x),则/'⑶在点(勺,/(勺))处切线的斜

率为()

A.—B.—C.=D.-

2xoXQX$X0

【变式4-2](24-25高三上•山西运城・开学考试)曲线/(%)=(x-2)ex-x2+2》在工=2处的切线方程是

()

A.y=(e2—2)(x—2)B.y=(e2-2)x-2

C.y-e2x—4D.y=e2x4-4

【变式4-3](24-25高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)若函数/(%)=Inx-ax+1的图象在欠=2处的切线与

y轴垂直，则函数/'(%)的图象在x=1处的切线方程为()

A.x+y=0B.x-2y=0

C.2x-y+1=0D.x-2y-2=0

【题型5已知切线(斜率)求参数】

【例5】(24-25高三上•北京•阶段练习)若直线y=2x是曲线/(%)=%(e2x-a)的切线，则a=()

A.-eB.-1C.1D・e

【变式5-1](24-25高三上•湖南永州•阶段练习)已知函数/(%)=1+Qlnx,在点(1,/(1))处的切线方程为

x-y=0,则a=()

A.-B.eC.VeD.2

e

【变式5-2](24-25高二上•全国•课后作业)若曲线y=4在点(4,2)处的切线也是曲线y=。铲的切线，贝g=

()

1e21

A.二B.-C.二D.-

2e224e34

【变式5-3](2024高三・全国•专题练习)已知/'(%)=x3+nx-52,g(x)=x2-3lnx,若直线％+y+m=0

是曲线y=/(x)与曲线y=g(x)的公切线，则m-九=()

A.-30B.-25C.26D.28

【题型6函数图象的判断及应用】

【例6】(23-24高二下•辽宁鞍山,阶段练习)函数/(幻=心也》+8$》的导数/'(幻的部分图象大致为()

-X.J

【变式6”】（23・24高二上.安徽芜湖.期末）若函数f（%）=ax2+bx+c（a>0）的图象的顶点在第三象限，

则函数/'（x）的图象大致是（）

X斗

A./IB.K

*A—.

【变式6-2］（23-24高三下.福建.阶段练习）设函数/（x）=-cosx-%4的导函数为gQ）,则|g：x）|图象大致

是（）

3a/

$二L

【变式6-3］（23-24高二下.天津河北.期中）下列四个图象中,有一个图象是函数/■（%）=-2+

•5ax

(a2-4)x+8(a*0)的导数的图象,则，(一2)的值为()

【题型7导数运算的新定义问题】

【例7】(2024•安徽・模拟预测)给出定义：若函数/(%)在。上可导，即/(%)存在，且导函数/'(%)在。上

也可导，则称/(%)在。上存在二阶导数，记广(%)=(r(%))'.若广(幻V0在。上恒成立，则称/(%)在。上

为凸函数.以下四个函数在(04)上不是是凸函数的是()

A./(x)=sinx+cosxB./(x)=Inx-2x

C./(x)=-x3+2x-1D./(x)=-xe~x

【变式7-1](23-24高二上•河北,阶段练习)曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：

记:(工)是/'(幻的导函数，广(幻是广(幻的导函数，那么曲线y=/(均在点(々，/(q))处的曲率K=

―[打则曲线/(%)=sin%+cos%在点([,&)处的曲率为()

(i+l/z(xo)]2P'4J

A.0B.—C.—D.yfz

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【变式7-2](2024.河南南阳.模拟预测)对于三次函数/'(%)=a%3+bx2+cx+d(a=0),定义：设/'(%)是

函数y=f(x)的导函数y=f'a)的导数，若/〃(%)=0有实数解与，则称点(%,/■(%))为函数y=八%)的“拐

3

点”.现已知/(%)=x-3/+2x-2.请解答下列问题：

(1)求函数八幻的“拐点的坐标；

(2)求证:/(幻的