北师大版七年级数学下册期末考前划重点练习版

新教材北师大版七下期末

考前划重点练习版

第一章整式的乘除

1.寨的乘除

法则法则的推广法则的逆用

同底数幕的乘法法则可推广到三

同底数幕相乘，底数—,指个或三个以上同底数塞相乘的情

同底数幕__________（加，〃都是正

数____,即_（〃?，"，都是正况，即________（加，〃，p都是

的乘法整数）

整数）正整数），_____________（m,

〃都是正整数）

呆的乘方，底数一，指数

_____________（in,n都是

幕的乘方______，即________n都__________（…,p都是正整数）

正整数）

是正整数）

积的乘方等于把积中的

三个或三个以上因式的积的乘方

_____________，再把所得的密

积的乘方也具有这一性质，即__________（〃_______（〃是正整数）

______，即__________（〃是正

是正整数）

整数）

当三个或三个以上同底数晶相除

同底数累相除，底数—，指

同底数寨时，也具有这一性质，即________m,o,〃，

数____,即________（_,〃?，

的除法___________/0,m,p都都是正整数，且，〃>〃）

力都是正整数，且一）

是正整数,且〃?>〃+〃）

2,零指数塞和负整数指数基

（1）零指数指:_（今0）；

（2）负整数指数森：p是正整数）.

3.用科学记数法表示绝对值小于1的数

意义：一个的—可以表示为一的形式，其中，〃是_______；的—也可以

用类似的方法表示，其中，〃是_______，如一0.00000256可以表示成一2.56X10-6

4.整式的乘法

（1）单项式与单项式相乘

单项式与单项式相乘，把它们的_________________,其余字母连同它的指数不变，作为积的因

法则

式

2a2,3ri6=(2x«)•b=6a'b

示例

系数相同字母

相乘的累相乘

(2)单项式与多项式相乘

法贝1]单项式与多项式相乘，就是根据分配律_________________,再把所得的积相加

字母表示________(p,a，b,c都是单项式)

(~2xy)•(3xy-3xy+1)=_2-)-3盯?+(_2%号)・(-3%))+(-2%7)-1=

L_____1_______，'

示例

单项式分别乘多项式的每一项

-6x4y，+6.r4y2-2x'y

法则中“每一项”的含义是不重不漏；在运算过程中，要注意各项的符号，多项式中的每一项都

注意事项包括它前面的符号；非零单项式与多项式相乘的结果仍是一个多项式；积的项数与

(3)多项式与多项式相乘

法贝U多项式与多项式相乘，先_____________________________,再把所得的积相加

字母表示_________________(a，b,p,q都是单项式)

(x-2y)*(5a-?>b)=x・5a+x・(・36)+(・2y)・5a+(・2y)・(-36)=

示例

用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项

5ax-3bx・10ay^6by

必须做到不重不漏，计算时按•定的顺序；不要漏乘不含字母的项；多项式与多项式相乘，积仍

注意事项是多项式，在没有合并同类项之前，所得积的项数应为_________________；相乘时应先确定积

中每一项的符号；多项式与多项式相乘时，结果中如有同类项要合并

5.乘法公式

(1)平方差公式:

字母表示

语言叙述_______与这_______的_____,等于它们的_______

（1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；（2）

特点

等号右边是相同项的平方减去相反项的平方

图①中阴影部分的面积Sr?-7,图②中

几何验证阴影部分的面积5=&+少4-“，故可得

（a+力）•（4-。）=42一户

bh

图①图②

平方差公式的常见变形:

①位置变化：3+〃）（一什〃）=〃2-扇;②符号变化：（一Q-6）（。一与=必一。2.

③系数变化：（2。+36）（2。-36）=4。2-982；④指数变化：（公十/乂^一户）=/_//♦；

⑤增项变化：（a+b+c）（a-b-c）=a2-（b+c『.

（2）完全平方公式：

字9

i以n.

表

示

语___________________,等于这两个数的__________________________

言

叙

述

⑴两个公式的等号左边都是一个二项式的平方；

特

⑵等号右边都是二次三项式，其中有两项是公式等号左边二项式中每一项的平方，中间•项是等号左边二

点

项式中两项乘积的2倍

几图中大正方形的面积的两种表示方法为SM4+“2,S=a2+2ab+b1,故（a+/））2=a2+2M+力？

何

验

证«/）

完全平方公式的常见变形：

①6r2+b2=（Q+b）2-2ab=（a-b）2+2，b；②(Q+6)2=(Q-6)2+4Q6；

(3)(t7-/))2=(a+d)2-4«d；④(a+b尸十(。一»2=2.2+/)；

⑤(〃+b)2-(4-6)2=4〃6.

6,整式的除法

(1)单项式除以单项式

单项式相除，________________________________________:对于只在被除式里含有的字母，则

法则

连同它的指数一起作为商的一个因式

(4fl26)-r(2a)

=(4：2)面”.h

示例

系数同底数

相除案相除

=2ah

(2)多项式除以单项式

法则多项式除以单项式，先把这个__________________________，再把所得的商_______

符号表示___________________________(阳XO,a,b,〃，都是单项式)

(15«:-3a)-r(3a)

=(15«)•?(3a)~(3fl)-r(3o)

示例i

两项分别除以3a

=5a-1

第二章相交线与平行线

1.相交线和平行线

(1)同一平面内两直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有和—两种；

(2)相交线：若两条直线，我们称这两条直线为相交线；

(3)平行线：在同一平面内，的两条直线叫作平行线.

2.对顶角

(1)概念：如图，直线4B与。。相交于点。，口1和口3有公共顶点。，它们的

一，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角，口2和口4也是对顶角；

(2)性质：,如图，有口1=口3,口2=口4.

A

D

3

4

B

3.补角和余角

(1)互为补角：如果两个角的和是,那么称这两个角互为补角；

(2)互为余角：如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角；

(3)补角的性质：(或)的补角；

(4)余角的性质：(或)的余角.

4.垂线

(1)概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相,其

中的一条直线叫作另一条直线的,它们的交点叫作—；

(2)表示方法：垂直通常用符号“_L”表示，如图①，直线A3与直线CO垂直，记作A6_LC

。，如图②，如果用/,机表示两条直线，那么直线/与直线，〃垂直，记作/_L〃z,点。是垂足.

(3)垂直的判定：如图，0为直线A8上的一点，如果乙4。。=/8。。=，那么OC_LA8.

AOB

(4)垂线的性质

①同一平面内，有且只有___直线与已知直线垂直；

②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，.

(5)点到直线的距离

如图，过点A作直线/的垂线，垂足为'叫作点A到直线/的距离.

A

li

(6)垂线的画法

5•平行线的判定和性质

(1)平行线的判定

①利用“同位角”判定两直线平行：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两

条直线平行，简述为：；如图①，因为N1=N2,所以

②利用“内错角”判定两直线平行：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两

条直线平行；简述为：；如图②，因为N1=N2,所以

③利用“同旁内角”判定两直线平行：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么

这两条直线平行；简述为：：如图③，因为Nl+N2=180。，所以八

B//CD.

图①图②图③

(2)平行线的性质

性质1性质2性质3

两条平行直线被第三条直线两条平行直线被第三条直线两条平行直线被第三条直线所

文字语言所截，__________:简述为：所截，__________：简述为：截，__________:简述为：两

两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等直线平行，同旁内角互补

图示“卜B

c卜---------Dc-+----------DC『D

因为/4//CQ,因为44//CO,因为4B"CD,

符号语言

所以匚1=口2所以小=n2所以口1+口2=180°

6.平行线的公理及其推论

(1)公理：过直线外一点有且只有二条直线与这条直线平行；

(2)推论：平行于的两条直线平行；也就是说：如图，如果c//a,那么,

b

7.作平行线

(1)借助三角尺作平行线：已知直线48和外一点P,过点P作直线A8的平行线8；

①将三角尺的一边放在直线AB上；

②将另一个三角尺的一边紧贴在已放好的三角尺的另一边上；

③将第一个三角尺沿第二个三角尺的边推到使刚才落在AB上的边恰好经过已知点P的位置;

④沿三角尺画经过点P的直线CD,则直线CO即所求；

①②③④

(2)借助方格纸作平行线：方格纸上的所有横线互相平行，所有竖线也互相平行，可用“描线

法”来画；斜画是过任意相邻方格组成的长方形的对角顶点画一条直线，再按相同方式画出另

一条直线，就可以得到一组平行线.如图，AB//CD,EF//MN.

（3）用尺规过直线外一点作已知直线的平行线

己知点P在直线A3外，用尺规作直线MN,使MN过点P,且MN〃AB

P.

A---------------B

作法:

作法图示

//。

在直线A8上任取一点0,过点。，。作直线CQA-y/-----------B

C

以点P为顶点，以PD为一边，在直线CD的右侧

M-----------------N

作_______________，PN边所在的直线MN就是要力彭---------B

作的直线

C

第三章概率初步

1.事件的分类

（1）必然事件：在一定条件下进行可重复试验时，有些事件,这样的事件称为必然

事件：

（2）不可能事件：在一定条件下进行可重复试验时，有些事件，这样的事件称为不

可能事件；

（3）随机事件：在一定条件下进行可重复试验时，有些事件，这样的事件

称为随机事件.

2.频率的稳定性

（1）定义：在〃次重复试验口，事件A发生了，〃次，则比值—称为事件4发生的频率；

注意：频率是一个比值，;

(2)稳定性：在一次试验中，一个随机事件是否发生是无法预测的，是随机的，但在大量重复

的试验中，一个随机事件发生的频率又呈现出：一般地，在中，一个

随机事件发生的频率会在某一个—附近摆动，这个性质称为频率的稳定性.频率反映了该事件

发生的频繁程度，,该事件发生________,这就意味着该事件发生的,

因而，我们就用这个常数来表示该事件发生的可能性的大小；

注意：频率的稳定性的是.

3.用频率估计概率

(1)概率：我们把________________________________,称为这个事件发生的.我们常

用大写字母4,B,C等表示事件，用表示事件A发生的概率；

(2)用频率估计概率：一般地，在大量重复的试验中，我们可以用事件A来估计事

件人发生的概率；

(3)概率的取值范围：必然事件发生的概率为,不可能事件发生的概率为,随机事

件A发生的概率P(A)是__________________.

(4)频率与概率的联系和区别:

关系频率概率

试验值或使用时的统计值理论值

区别与试验次数的变化有关与试验次数的变化无关

与试验人、试验时间、试验地点有关与试验人、试验时间、试验地点无关

频率与概率是研究随机事件发生的可能性大小的特征量，试验次数越多，频率会在某个常数附近

联系

趋于稳定，频率接近概率

4.等可能事件的概率

(1)等可能事件：设一个试验的所有可能的结果有〃种，.如

果,那么我们就称这个试验的结果是等可能的；

(2)概率计算公式：一般地，如果一个试验有〃种等可能的结果，事件A包含其中的〃2种结

果，那么事件A发生的概率为尸(A)=-.

n

5.游戏的公平性

游戏对双方公平是指双方；如果甲、乙参加某游戏，根据规则求得甲获胜的概率

大二乙获胜的概率.或者乙获胜的概率大于甲获胜的概率,那么这个游戏对甲、乙双方是不公

平的，因此，我们在设计一个游戏时，必须保证游戏中双方获胜的概率相等，这个游戏对双方

才具有公平性；

注意：游戏对双方公平，，而是双方.

6,转盘问题中的概率

（1）转盘问题中的概率计算：指针停留在某扇形内的概率等于,即

_该扇形的面积—该扇形所对圆心角的度数

P（指针停留在某扇形内）

一圆的面积—360。

（2）利用扇形设计概率模型：利用扇形设计一个概率标d,n,攵是正整数）的概率模型

时，需要将圆为〃个扇形，其中符合事件A1勺占Z个即可.

第四章三角形

1.三角形的基本要素及基本性质

（1）三角形的概念及其表示方式

概念由____________上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形

边：组成三角形的线角：相邻两边所组成的角叫作三

段叫作三角形的边角形的内角，简称三角形的角

基本元素及其表示cX\a顶点：相邻两边的公共

/\/端点叫作三角形的顶点

方式/b.

记作：ZUBC

（2）三角形的性质

①内角和：三角形的内角和等于

②三角形的三边关系

图示文字语言符号语言

B三角形的任意______________a+b>c,b+c>a,a+c>b

4/b%三角形的任意______________a-b<c,b-c<a,a-c<b

（3）三角形的分类

①三角形按角分类

A

锐角三角形直角三角形钝角三角形

②三角形按边分类

经过两点有且只有一条直线.（简称：）

（4）三角形的高线、中线、角平分线

①三角形的高线：

从三角形的一个顶点向它的对边所在宜线作____,顶点和垂足之间的线段叫作三角形的—

概念

_，简称三角形的高；三角形的_____________________

A

如图，在口48。中，ADBC于点D,则线段A。是口力8c的边8c

符号语言

上的高

“Dc

②三角形的中线及重心

三角形的中线在三角形中，___________________________，叫作三角形的_____

A

如图，在3c中，BD=CD,则线段4。是△A8C的边4C

符号语言

上的中线

D（_

三角形的重心三角形的______________，这个点称为三角形的_____

A

如图，AD,BF,CE是口48c的中线,它们交于点G,则点G

符号语言工

是「力5c的重心

D

③三角形的角平分线

在三角形中，一个内角的角平分线与它的对功相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作

概念

三角形的__________;三角形的_____________________

A

如图，在△ABC中，Z1=Z2,则线段A。是△ABC的一条角

符号语言

平分线

BDC

2.全等三角形

（1）全等三角形的概念及表示

全等三角形能够__________的两个__________叫作全等三角形

全等三角形的对把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作__________,重合的边叫作___________,

应元素重合的角叫作__________

全等三角形的表全等用符号“经”表示，读作“全等于”，在记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的

示方法字母写在对应的位置上

如图，△ABCW4DEF,则点A和点。，点台和点

.4D

E,点。和点F是对应顶点；AB和DE,I3C和EF,

图示

AC和。尸是对应边；匚人和"。，口8和匚石，匚。和

口产是对应角

（2）全等三角形的性质

性质全等三角形的_______________________

Ai)

AA

\\F

图示

AB=DE,BC=EF,CA=FD,Z4=ZD,NB=/E,ZC=ZF

拓展：

①全等三角形的______________________

②会等三角形______________________

全等三角形具有.例如：如果口力部门产，CDEFqCMNP,那么「MBCgnA/N尸.

（3）全等三角形的判定

①利用边边边（SSS）判定三角形全等

文字语言__________的两个三角形全等，简写为“边边边”或“—1，

AB=DEAD

如图，在△ABC和△。底产中，AC=DF,

符号语言BC=EF八

(SSS)B/%——VpN

②利用角边角（ASA）判定三角形全等

文字语言______________________的两个三角形全等，简写为“角边角”或“—”

'口3=DE

如图，在AABC和尸中,BC=EF,则A1)

符号语言,□C=DFz\

/-公

(ASA)CE4—y_AF

③利用角角边(AAS)判定三角形全等

文字语言_____的两个三角形全等，简写为“角角边”或“—”

如图，在△ABC和△£>£：尸中，।AD

U8=I_E,则

符号语言<BC=EF

△ABgADEF(AAS)o(：F.F

④利用边角边(SAS)判定三角形全等

文字语言__________________________的两个三角形全等，简写为“边角边”或“—”

AB=DE,4D

如图，在△ABC和△0EF中一口8=Z1E,则4—

符号语言BC=EF

ABC9ADEF(SAS)

3.利用三角形全等测距离

(1)原理：由于两个全等三角形的对应边相等，因此利用全等三隹形可以解

决,解题关键是构造两个全等三角形，根据

_________________得到两点间的距离；

(2)方法：

①构造两边及其夹角分别相等的两个全等三角形；

②构造两角及其夹边分别相等的两个全等三角形；

(3)构造三边分别相等的两人全等三角形.

第五章图形的轴对称

1.轴对称及其性质

(1)轴对称图形及两个图形成轴对称

概念图示

如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

轴对称P［对称轴)

4

够__________,那么这个图形就叫作轴对称图形，这条［两部分互相重合)

图形

AH

______叫作______

对称轴

1

两人图如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够_________,

一个图形（另一个图形

形成轴那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形

1

对称的_______1

两个图形成轴对称

（2）轴对称和轴对称图形的性质

在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴

2.简单的轴对称图形

（1）等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形是：（等边三角形是特殊的等腰三角形，具有其所有性质）

性质2：等腰三角形、、（也称“”），它们所在

的直线是等腰三角形的对称轴；

性质3：等腰三角形的.

（2）线段的轴对称性

①线段的轴对称性：线段是轴对称图形，的直线是它的一条对称轴.

②线段的垂直平分线：

概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）;

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

③月尺规作线段的垂直平分线的步骤：

步骤1分别以点4和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和。；9

-1

41____________IR

步骤2作直线CD直线CD就是线段AB的垂直平分线.

（3）角的轴对称性

①角的轴对称性：角是轴对称图形，是它的对称轴.

②角平分线的性质：到这个角的两边的.如图①，0C平分NA08,

P是0C上任意一点，PDLOA,PE_LOB,垂足分别为点D,E,则尸

I),c

③月尺规作角平分线的步骤：

I.如图②，在OA和上分别截取OD,OE,使OD=OE；

II.分别以点。和点E为圆心，以为半径作弧，两弧在NAOB内交于点C；

IH.作射线0C射线0C就是NAOB的平分线.

（4）等边三角形的性质

①对称性:等边三角形是：

②边角关系:等边三角形的三个,等边三角形的三边相等.

第六章变量之间的关系

L变量与常量

概念：在变化过程中，的量称为变量；的量称为常量.

判断一个量是常量还是变量的思路：

费（变量〕

星J看这个量的值在这一

看它是否在某过程中是查发生改变

一变化过程中会既不是港量

也不是变量:

2.自变量与因变量

概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x和卜其中），随x的变化而变化，则—称为自变

量，称为因变量.

识别自变量因变量的方法：

①看变化的先后顺序：自变量是先发生变化的量，因变量是后发生变化的量；

②看变化的方式：自变量是一个的量，因变量是一个的量；

③看因果关系：自变量是—，因变量是—.

3.用表格表示变量之间的关系

（1）用表格表示两个变量之间关系的步骤：

①确定各行、各列的栏目（一•般有两行，第一行表示，第二行表示）；

②写出栏目名称，并根据问题内容写上单位：

③在第一行列出,在第二行对应列出.一•般情况下，自变量的取值从

左到右应按的顺序排列，这样便于反映因变量随自变量的变化而变化的趋势.

(2)用表格表示两个变量之间关系的优缺点

优点：直接，可以直接从表格中找出自变量和因变量的;

缺点：具有局限性，不能全面准确地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，因此

从这部分数据中观察因变量随自变量的变化而变化的趋势时•，需要对表格中的数据进行分析.

4.用关系式表示变量之间的关系

(1)关系式法：用关系式表示两个变量之间关系的方法.

(2)关系式的写法：等号的左边是,右边是.

(3)求两个变量之间关系式的常见类型

①利用公式写出变量之间的关系式，如三角形的面积公式；

②根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；

③根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式.

5.用图象表示变量之间的关系

(1)图象法：用图象表示两个变量之间关系的方法叫作图象法.在用图象表示变量之间的关系

时，通常用水平方向的数轴(称为)上的点表示,用竖直方向的数轴(称为)

Jr的点表示.

(2)用图象法表示两个变量间关系的优缺点

优点：能直观、形象地反映变量间的变化情况并预测变化趋势；

缺点：只能反映变量间的部分关系，且难以得到准确的对应值.

参考答案

第一章整式的乘除

1.孱的乘除

同底数鬲的乘法：不变相加a,n&〃=心+"amd…/=心+〃+…+Pa^n=a,nd

幕的乘方：不变相乘(am')n=amn[Q〃7)〃F=Q〃"W

积的乘方：每一个因式分别乘方相乘(砧)〃=//

（abc）n=dEd

同底数帚的除法：不变相减am^ar,=am',,存0m>n

am^an^ap=an,'n'pam'n=am^ai

2.零指数幕和负整数指数幕

（I）。0=1

(2)a”.存0

3.用科学记数法表示绝对值小于1的数

小于1正数610〃负整数大于一1负数

l<|a|<10负整数

4.整式的乘法

（1）系数、相同字母的暴分别相乘

（2）用单项式乘多项式的每一项