第2章 特殊三角形 单元测试卷（含答案）初中数学浙教版（新教材）八年级上册

八年级数学上册第2章特殊三角形单元测试卷浙教版（2024）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2022年北京冬奥会会徽“冬梦”以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．已知一个等腰三角形的两条边长分别是3和7，则它的周长是（）A．13 B．17 C．13或17 D．143．等腰三角形的一个外角是95°，则它底角的度数是（）度．A．85 B．47.5或95 C．85或47.5 D．无法确定4．下列命题为真命题的是（）A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的底角必为锐角 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．每个定理都有逆定理5．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（）A．100° B．105° C．110° D．115°6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交AB于点D，连接BE，则∠EBC的度数是（）A．26° B．54° C．36° D．72°7．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，作BD⊥OA，垂足为D，那么∠OBD的度数是（）A．90° B．60° C．45° D．30°8．如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（）A． B． C． D．9．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①10．如图，在△ABC中，BC＝15，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，DP∥AC交BC于点D，PH⊥AB于点H，若PH＝3，BH＝6，则DC的长是（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝38°，则∠2的度数是．12．已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足（a﹣5）2+|b﹣7|＝0，等腰三角形的周长为．13．等腰三角形两底角相等的逆命题是．14．如图，在等边△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AC于点E，若∠DAE＝45°，则∠ADC的度数为．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，F是AB的中点，AD＝14，DE＝16，若EF⊥DF，则BE的长度是．16．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2，这些结论中正确的是．三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；（2）在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；（3）求△ABC的面积．18．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米．（1）梯子AB的长是多少？（2）求小巷的宽．19．如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O．求∠BOQ的度数．20．已知：如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，CF＝DF．求证：BD＝CE．21．已知如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．求证：CG＝EG．22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF．（1）求证：EF＝CF；（2）若∠BAC＝45°，AD＝6，求C，E两点间的距离．23．（1）问题发现如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．（2）拓展探究如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE；求：①∠AEB的度数；②线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．24．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．2．解：已知一个等腰三角形的两条边长分别是3和7，则：当3为腰时，3+3＜7，不符合三角形三边关系，当7为腰时，等腰三角形的三边为：7、7、3，可以构成三角形，∴等腰三角形的周长为：7+7+3＝17，故选：B．3．解：如果等腰三角形底角的一个外角是95°，∴它底角的度数是180°﹣95°＝85°；如果等腰三角形顶角的外角是95°，∴它底角的度数是×95°＝47.5°，∴等腰三角形底角的度数是47.5°或85°．故选：C．4．解：A．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，是假命题；B．该说法正确，是真命题；C．等腰三角形的顶角不一定是锐角，也可以是直角或钝角，所以该命题是假命题；D．每个定理不一定有逆定理，是假命题；故选：B．5．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．6．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝36°，∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝36°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝36°．故选：C．7．解：如图，连接AB，由题意得：OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠OBA＝60°，∵BD⊥OA，∴∠OBD＝∠OBA＝×60°＝30°，故选：D．8．解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∴∠BFA＝∠ACB＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，∴∠ABC＝45°，AB＝2，∵∠CBD＝15°，∴∠ABF＝60°，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝，故选：B．9．解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．故选：A．10．解：∵DP∥AC，∴∠CPD＝∠ACP，∵CP平分∠ACB，∴∠PCD＝∠ACP，∴∠PCD＝∠CPD，∴CD＝PD，过P作PM⊥BC于M，设DC＝x，∴BP平分∠ABC，PH⊥AB于点H，∴PM＝PH＝3，∵PB＝PB，∴Rt△PBM≌Rt△PBH（HL），∴BM＝BH＝6，∴MD＝BC﹣MB﹣CD＝15﹣6﹣x＝9﹣x，由勾股定理得到：PD2＝PM2+MD2，∴x2＝32+（9﹣x）2，∴x＝5，∴DC＝5．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．解：如图所示，∵DB⊥BC，∴∠1+∠3＝90°．∵∠1＝38°，∴∠3＝90°﹣38°＝52°．∵AB∥CD，∴∠2＝∠1＝52°．故答案为：52°．12．解：∵（a﹣5）2+|b﹣7|＝0，∴a﹣5＝0，b﹣7＝0，∴a＝5，b＝7，当等腰三角形的腰长是5时，∵5+5＞7，满足三角形三边关系定理，∴此时等腰三角形的周长＝5+5+7＝17；当等腰三角形的腰长是7时，∵5+7＞7，满足三角形三边关系定理，∴此时等腰三角形的周长＝5+7+7＝19，∴等腰三角形的周长是17或19．故答案为：17或19．13．解：命题等腰三角形两底角相等的条件是如果一个三角形是等腰三角形，结论是这个三角形的两底角相等，故等腰三角形两底角相等的逆命题为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．14．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，∵∠DAE＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．故答案为：75°．15．解：延长DF交CB的延长线于点H，如图所示：∵AD∥BC，EF⊥DF，∴AD∥BH，EF⊥DH，∴∠H＝∠FDA，∠FBH＝∠A，∵F是AB的中点，∴BF＝AF，在△BFH和△AFD中，，∴△BFH≌△AFD（AAS），∴BH＝AD＝14，FH＝FD，∵EF⊥DH，FH＝FD，∴EF是HD的垂直平分线，∴HE＝DE＝16，∴BE＝HE﹣BH＝16﹣14＝2．故答案为：2．16．解：①依题意得：AC＝BC，EC＝DC，∠ECD＝∠ACB＝90°，∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），故结论①正确；②设∠ACE＝∠BCD＝α，由等腰直角三角形性质得：∠E＝∠CDE＝∠CAB＝45°，在△ACE中，∠CAE＝180°﹣（∠E+∠ECA）＝180°﹣（45°+α）＝135°﹣α，∵△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，∴∠DAB+∠CAB+∠CAE＝180°，∴∠DAB＝180°﹣（∠CAB+∠CAE）＝180°﹣（45°+135°﹣α）＝α，∴∠DAB＝∠ACE＝α，故结论②正确；③不妨假设AE+AC＝AD，在DA上截取FD＝AE，连接CF，如图所示：由等腰直角三角形性质得：∠CDF＝∠E＝45°，在△CDF和△CEA中，，∴△CDF≌△CEA（SAS），∴FC＝AC，∵AD＝AF+DF＝AF+AE，AE+AC＝AD，∴AE+AC＝AF+AE，∴AC＝AF，∴FC＝AC＝AF，∴△ACF是等边三角形，∴∠CAF＝60°，∴∠DAB＝∠CAF﹣∠CAB＝15°，由结论②正确得：∠ACE＝∠DAB＝15°，根据已知条件得：∠ACE不一定等于15°，故结论③不一定正确；④在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝2AC2，由结论①正确得：△ACE≌△BCD，∴∠E＝∠BDC＝45°，AE＝BD，∴∠ADB＝∠CDE+∠BDC＝90°，∴△ABD是直角三角形，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2＝BD2+AD2，∴BD2+AD2＝2AC2，∵AE＝BD，∴AE2+AD2＝2AC2，故结论④正确；综上所述：结论正确的是①②④．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；（2）如图，点P即为所求；（3）△ABC的面积＝2×4﹣2×1﹣1×4﹣1×3＝．18．解：（1）在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米）．∴AB＝2.5（米）．答：梯子AB的长是2.5米（2）在Rt△A'BD中，∵∠A'DB＝90°，AD＝2米，BD2+A'D2＝A'B2，∴BD2+1.52＝6.25，∴BD2＝4．∵BD＞0，∴BD＝2米．∴CD＝BC+BD＝0.7+2＝2.7（米）．答：小巷的宽度CD为2.7米．19．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAP＝∠ACQ＝∠ABQ，AB＝AC＝BC，∵在△ABP和△ACQ中，，∴△ABP≌△CAQ（SAS），∴∠ABP＝∠CAQ，∠BAQ+∠CAQ＝60°，∴∠BAQ+∠ABP＝60°，∵∠BOQ＝∠BAQ+∠ABP，∴∠BOQ＝60°．20．证明：连接AC，AD，如图所示：在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∠ACB＝∠ADE，在△ACD中，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ACB+∠ACD＝∠ADE+∠ADC，即∠BCD＝∠CDE，在△BCD和△EDC中，，∴△BCD≌△EDC（SAS），∴BD＝CE．21．证明：如图，连接DE，∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，∴DE＝AB＝AE＝CD，∵DG⊥CE于G，由“等腰三角形三线合一”知，CG＝EG．22．（1）证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵点F是斜边AD的中点，∴EF＝AD，CF＝AD，∴EF＝CF；（2）解：连接CE，由（1）得EF＝AF＝CF＝AD＝3，∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，∴CE＝＝＝3．即C，E两点间的距离是3．23．解：（1）∵△ACB和△DCE是等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△CD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC，∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣6