2007年全国高中数学联赛试题及答案详解

2007年全国高中数学联赛考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.PABCDA−PBC）1B.11D.1A.C.77225.设圆O和圆O是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是12（）6.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（A.62B.66C.68D.74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）.在平面直角坐标系内，有四个定点A(3，0)，B(1，1)，C(0，3)，D(−1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________。.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，CA33，若ABAEACAF2，则EF与BC的夹角的余弦值等于________。）78239.已知正方体ABCD−ABCD的棱长为A为球心，11113与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。10.已知等差数列{a}的公差d不为}的公比q是小于1a=d，nn1a21a2232b1=d2，且是正整数，则q等于________。b123sin(πx)cos(πx)215111.已知函数f(x)(x)，则f(x)的最小值为________。x442.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）n1a13.设，求证：当正整数n≥2时，a<a。n+1nk(n1k)nk1114.已知过点(0，1)的直线l与曲线C：yx(x0)交于两个不同点M和N。求曲线xC在点M、N处切线的交点轨迹。15.设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2f(x+π)=f(x)；iii（2）对任意的实数x，有f(x)=f(x)+f(x)cosx+f(x)sinx+f(x)sin2x。12342007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）.如图，在正四棱锥PABCD中，∠APC=60°，则二面角APBC的平面角的余弦值为1（）11712D.1A.B.C.72【【答案】BP解析】如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。连结CM、AC，则∠AMC为二面角APBC的平面角。不妨设AB=2，则22，斜高为7，故M7D27AM22，由此得CMAM。在△AMC中，由余弦定理得C2AM2CM2AC21ABcosAMC。2AMCM73.将号码分别为的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全b。则使不等式a2b+10>0成立的事件发生的概率等于（）5259606181A.B.C.D.818181【【答案】D解析】甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。由不等式a2b+10>0得a可取中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45b=6可取中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5b=8可取、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种。于是，所求事件的概率为974575316181。814.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(xc)=1对任意实数x恒bcosc成立，则的值等于（）aA.1B.1C.1D.122【答案】D5.设圆O和圆O是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是12（）【【答案】A解析】设圆O和圆O的半径分别是r、r，|OO|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦1212122c2c点为O和r=rO的中垂线是轨121212r12|r1r|2迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。当r=r且r+r<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当0<2c<|rr|时，圆P的圆心轨迹如121212选项r≠r且r+r<2c时，圆P的圆心轨迹如选项A中的椭圆和双曲线1212的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。6.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（）A.62B.66C.68D.74【【答案】B先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈B。证明如下：3312个；{{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；26}，{34}，{42}，{46}共4个。由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈B。如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}，B={2n+2|n∈A}，则A、B满足题设且|A∪B|≤66。239.已知正方体ABCDABCD的棱长为1，以顶点A为球心，11为半径作一个球，则球113面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于。【【答案】5π6解析】如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AABB、面ABCD和面AADD上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面1111BBCC、面CCDD和面ABCDAABBEF且在过球心A111111111123πππ为AEAAEBAFEAF113666弧EF的长为23π3π，而这样的弧共有三条。在面BBCC上，交线为弧11369FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半3π3π3径为，FBG，所以弧FG的长为π。这样的弧也有三条。32326335π于是，所得的曲线长为3π3π。96610.已知等差数列{a}的公差d不为}的公比q是小于1a=d，nn1a21a2232b1=d2，且是正整数，则q等于。b123【答案】12sin(πx)cos(πx)21511.已知函数f(x)(x)，则f(x)的最小值x44为【。答案】45512.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有【【答案】3960解析】使2个a既不同行也不同列的填法有C42A42=72种，同样，使2个b既不同行也不同列的填法也有C42A42=7222个a所在的方格内都填有b的情况7有72个a所在的方格内仅有1个方格内填有b的情况有C161A92=16×72种。所以，符合题设条件的填法共有7227216×72=3960种。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）n1a13.设，求证：当正整数n≥2时，a<a。n+1nk(n1k)nk11k(n1k)11112n1【解析】证明：由于()，因此an，于是，对n1kn1kn1kk11n11n11任意的正整数n≥2，有(aa)nn1n1n22kkk1k111n111n1()(0，即a<a。n+1nn1n2k(nn2)(nn2)kk1k115.设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，f(x+π)=f(x)；2iii（2）对任意的实数x，有f(x)=f(x)+f(x)cosx+f(x)sinx+f(x)sin2x。1234f(x)f(x)f(x)f(x)【g(x)，h(x)f(x)=g(x)+h(x)，且22g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x)。令g(x)g(xπ)πxπg(x)g(xπ)2cosx21(x)，f2(x)，π2xπ02h(x)h(xπ)πh(x)h(xπ)xxπ2sin2x2f(x)，f(x)k为任意整32sinx4πxπ00x2数。容易验证f是偶函数，且对任意的x∈R，f(x+π)=f(x)，i=1，2，3，iii2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案50分）如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为F。O、O分别是△BDF、△CDE的外12心。求证：O、O、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。12【解析】证明：连结BP、CP、OO、EO、EF、FO。因为PD⊥BC，PF⊥AB，故B、D、P、F1221四点共圆，且BP为该圆的直径。又因为O是△BDF的外心，故O在BP上且是BP的中点。11同理可证C、D、P、E四点共圆，且O2是的CP中点。综合以上知OO12∥BC，所以∠POO=∠PCB。因为AF·AB=AP·AD=AE·AC，所以B、C、A21E、F四点共圆。E充分性：设P是△ABC的垂心，由于PE⊥AC，PF⊥AB，所以B、O1、P、E四点共线，C、O四点共线，∠FOO=∠FCB=∠FEB=∠FEOFP2211O、O、E、F四点共圆。122必要性：设O、O、E、F四点共圆，故∠OOE+∠EFO=180°。121211由于∠POO=∠PCB=∠ACBO是直角△CEP的斜边中点，212也就是△CEP的外心，所以∠POE=2∠ACP。因为O是直角△BFP的斜BDC21=90°∠BFO=90°∠ABP。11因为B、C、E、F四点共圆，所以∠AFE=∠ACB，∠PFE=90°∠ACB。于是，由∠OOE+∠12EFO1=180°得(∠ACB−∠ACP)+2∠ACP+(90°−∠ABP)+(90°−∠ACB)=180°，即∠ABP=∠ACP。又因为B'是点B关于直线ADB'在线段DC上且B'D=BD。连结AB'、PB'。由对称性，有∠AB'P=∠ABP，从而∠AB'P=∠ACP，所以A、P、B'、C四点共圆。由此可知∠PB'B=∠CAP=90°∠ACB。因为∠PBC=∠PB'B，故∠PBC+∠ACB=(90°∠ACB)+∠ACB=90°，故直线BP和ACP在边BC的高上，所以P是△ABC的垂心。50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现