2022年全国高中数学联赛一试A卷参考答案

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2022年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷9小题410、小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.集合An|n32022n,n}的所有元素之和为．答案：57．解：当n为整数时，n32022n12，n2022n7．因此A．所求的和为781257．x2x162.设函数f(x)(2xa)，其中实数a2．若f(x)的值域为x，则a的取值范围是．答案：a[4,．16解：考虑函数f0(x)x1(x2)（当2xa时，f(x)f0(x)．x由于f(x)在[2,4][4,)f(2)11，00f(4)9，f11，故所求a的取值范围是a[4,．003.一枚不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的9．3答案：．8解：设随机抛掷该硬币一次，得到正面的概率为p(0p，得到反面的3概率为1p．根据题意得p2p)2，故p．43从而随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为2pp)．8z3iiz3z的4.若复数z满足：ziz1值为．答案：3i．解：设zabi(a,bR)．z3iab3)i由于为负实数，这等价于(ab3)i)(abi)0，ziab1)i所以a2bb0且4a0，即a0且bb1异号．1z33bi又此时Re3bbi))b230z11bibb1异号，可知b3．所以z3i．5.若四棱锥PABCD的棱AB,BC的长均为2，其他各条棱长均为1，则该四棱锥的体积为．2答案：．6解：设O为P在底面ABCD上的射影，POh．由于PAPBPCPD1OA1h2ABCD为圆内接四边形．又ABBC2,ADCD1ABCD是以BDBD231BADBCD90，O为BD中点，从而1h2，解得h．22112所以该四棱锥的体积为ShABADh．3366.已知函数yf(x)的图像既关于点中心对称，又关于直线xy0轴对称．若x(0,时，f(x)(x，则f10)的值为．22答案：17．5解：用表示函数yf(x)的图像．对任意的x，令yx)，则(x,y)，且y．0020000利用的中心对称性与轴对称性，可依次推得(2x,2y)，(yx2)，(4y,4x)．0000003取x，此时4y4x)10．0020253175因此f10)f(4y)4x4．2005x27.在平面直角坐标系中，椭圆:y21，P为上的动点，,B为两4个定点，其中B的坐标为PAB的面积的最小值为1、最大值为5线段AB的长为．答案：7．解：显然直线AB与椭圆不能相交，设AB的方程为y3．2kcossin3设动点P(2cos,sin)，则P到直线AB的距离d)．k212S注意到线段AB的长度固定，根据题意，当变化时，d)的最大AB值与最小值之比为52kcossin3不能为0由于2kcossin3的最大值34k21为正，所以最小值34k122334k2213也为正，故5，得k2．44k134k212从而d)的最小值为d0．k217122由于S的最小值为1，故ABd01，得AB7．d08.一个单位方格的四条边中，若有两条边染了颜色i于ii3方格表的表格线共含1010样的染色方式数为答案：1026．(1)当一个方格已有一边被染为某种颜色i，若该方格为i色主导，则另三边恰有6种染法；若该方格为ji)色主导，则另三边恰有3种染法．(2)当一个方格已有两边被染为某种颜色i，该方格只可能为i色主导，另两边恰有2种染法．当一个方格已有两边被染为某两种颜色i,j，若该方格为i色或j色主ki,j)式数N6Nij方格的公共边染为颜色i，中间、右边方格的公共边染为颜色j．利用上述结论(1)、(2)、，可知各类染色方式数如下表所示：红红：0黄2318黄2318黄蓝：2636蓝红：39蓝2318蓝蓝：0红黄：62336红蓝：6636因此有N36189171．进而本题所求结果为6N1026．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）若ABC的内角,B,C满足sinABtanC，求cos3Acos2AA的值．解：由sinAB知AB，但tanC有意义，故C不为直角，从而只2能是AB，进而有CAB2A．……………4分222所以sinAtanCtan2A，从而23sin2A2sinAA1sinAtan2AsinAsinAcos2A2cos2A12cos2)A．……………12分2cos2A1上式等价于2cos2A1cos2)A，于是1cos3Acos2AA．……………16分21（本题满分20m(m．设正项等差数列an}与正项等比数列b}满足：a}的首项等于b}的公比，b}的首项等于a}的公差，且nnnnnab．求a的最小值，并确定当a取到最小值时a与b的比值．mmmm11a}的首项为abb}的首项为ba，nn其中a,b0，则aa(mb,bba1．mm记ab，则由上式知mmba1b(mb)1．利用m元平均值不等式，得(m2(m2b(mb)1……………5分mm(m2b(m(mb)(m，mm1mm1即有．……………15分当(m2b(mb，即b时，等号成立，此时（即m）m(m1mm1取到最小值，相应有a(mb(m2b，故1a(m2．……………20分bb1x2（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线:y213内不在上的任意一点P，记P为过点P且与有两个交点的直线的全体．对任意直线l，记M,N为l与的两个交点，定义fl)PMPN．若存在PP一条直线l满足：l与的两个交点位于y轴异侧，且对任意直线l，0P0Pll均有fl)fl)P0PP0解：设P(a,b)为好点，考虑a,b需满足的充要条件．对任意直线lP，设l的倾斜角为(0)，则l的参数方程可写为xat,l:（t①②ybtsin将①代入的方程，整理得关于t的方程(3sin2cos2)t2bsinacos)tb23a20．4根据条件，②有两个不同的实数解t,t3sin2cos2012别式bsinacos)24(3sin2cos2b23a2)0．化简得,,66③3sin2cos2.……………5分当l的倾斜角满足③时，由①中参数t的几何意义及fPl)的定义，可知b23a2fl)tt，P123sin2cos2其中b23a20（因P不在当l与交于y轴异侧两点时，由双曲线的性质知．此,66b23a2时3sin2cos20，fPl)0cos23sin2时，fl)取到最小值fl)b23a2，这里直线0:yb．PP0……………10分．根据题意，对当l与交于y轴同侧两点时，要求满足③且,66任意这样的l（如果这样的lb23a2fPl)fl)，3sin2cos2P0．换言之，a,b需满即03sin2cos21，而这等价于,,6446足：对任意,，③都不成立，即对任意,，均有44asinb3sin2cos2．④b1……………15分2222在④中令,ab1，a442222ab2．反之，当ab