重庆市渝中区2026届高三数学下学期4月适应性月考卷八二模（含答案）

重庆市2026届高三数学下学期二模试题一、单选题1．已知集合是自然数集，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（

）A．2 B． C． D．13．已知不等式的解集为或，则实数的值为（

）A． B．0 C．1 D．24．已知，，则（

）A． B． C． D．25．已知正项等比数列单调递增，是其前项和，，，则（

）A． B． C． D．6．若，将的图象纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，则在区间的最大值是（

）A． B．1 C． D．7．小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（

）A．4天 B．8天 C．10天 D．16天8．如图所示，二面角为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（

）A． B．当时，取最小值C． D．10．已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（

）A．是奇函数 B．，C． D．在区间上，有2027个零点11．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，，两点均在轴上方，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则双曲线的渐近线方程为C．若是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是D．若是钝角三角形，直线，的斜率分别是，，则的最小值是三、填空题12．已知是函数（）的极值点，则______．13．已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______．14．已知直线与抛物线（）交于，两点，，两点均在轴上方，为抛物线的焦点，若，且是锐角，则直线的斜率的取值范围是______．四、解答题15．在中，内角，，满足．(1)求；(2)若为边上一点，，，，求的面积．16．年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准）．日期初一初二初三初四初五初六上映第天票房（单位：亿元）(1)根据数据建立单日票房关于上映天数的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留一位小数）；(2)在某天放映结束后，随机抽取名观众，发现其中有人看过《镖人》，人看过《飞驰人生3》，只有人两部电影均没看过．现从这人中随机抽取人，记为抽取的人中两部电影都看过的人数，求的分布列及数学期望．参考数据：，，．参考公式：，．17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线过点，且与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时的方程．18．如图，已知立方体的棱长为，点是棱上一动点．(1)当为中点时，为线段上一点，，求证：面；(2)当在上运动（不包括端点）时，线段上是否存在点，使得面，若存在，请问点在平面内的轨迹是什么曲线？若不存在，请说明理由；(3)当在上运动（包括端点）时形成一系列点列，其中与重合，是线段的中点，是四棱锥的内切球半径，求证：．19．已知函数，．(1)求曲线在处的切线方程；(2)求在上的单调区间；(3)若，，且，满足，求证：．（参考数据：）参考答案1．B【详解】依题意，，所以．2．C【详解】由，所以．3．C【详解】易知是方程的根，即，所以,当时，不等式为，即,其解集为或.故实数的值为1.4．A【详解】因为，所以，，，整理得，解得，又，所以．5．D【详解】设数列的公比为，则，即，即，解得或，由数列单调递增且，故，所以，.6．B【详解】，故，当，，根据三角函数图象可知，的最大值为1.7．A【详解】记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”，，，，所以，，（天）.8．D【详解】如图，设的中点为，连接，，则，，因为是三棱锥外接球的直径，则，且，，则，可得，则，可知二面角的平面角为，设，则，，在中，由余弦定理得，即，解得，所以.9．AD【详解】因为数列为等差数列，则，即，且，即，可得，所以公差，故A正确；可知等差数列为递增数列，当时，；当时，；所以当时，取最小值，故B错误；所以，，故C错误，D正确．10．ABD【详解】对于A，由，得，即，又，所以，即是以周期为的周期函数，由，得，所以，即，所以是奇函数，A正确；对于B，由，得，所以，B正确；对于C，，，，，一个周期内的和：，所以，C错误；对于D，是以周期为的周期函数，，，时，，，所以，时，，，所以，所以在内的零点有，而包含个完整周期，所以是的零点，共个，D正确．11．BCD【详解】对于A：由双曲线的定义可知，，.令，则，又，所以是等腰直角三角形，又，所以，则，，故A错误；对于B：在中，，由余弦定理得，，整理得，所以，则，故渐近线方程为，故B正确；对于C：若是钝角三角形，必有，则在中，，又，所以，即，解得，又，所以，所以，所以双曲线离心率的取值范围是，故C正确；对于D：令直线，的倾斜角分别是，，，，，，则，即，，所以，又，当且仅当时等号成立，所以，所以，当，时取等号，故D正确．12．2【详解】由题设，且，即，此时且，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以是的极小值点，满足题设，故.13．【详解】，，因为，所以，解得．所以，，所以在方向上的投影向量的坐标为．14．【详解】过作垂直准线于，过作垂直准线于，过作于点，由抛物线定义可得，，令，则，故，则，由是锐角，则，所以，则直线的斜率，所以直线的斜率的取值范围为．15．(1)(2)【详解】（1）由，所以,所以，又为三角形内角，所以，所以．（2）因为，所以，所以，又，所以，，所以面积．16．(1)，1.6亿元．(2)的分布列：数学期望．【详解】（1）因为，，所以，，所以回归方程为：，当时，亿元，正月初七，预计《镖人》的票房为亿元．（2）由题意可知，人中同时看过两部电影的只有人，所以的可能取值为，则，，，所以的分布列为：数学期望为．17．(1)(2)最大值，的方程为（1）解：（1）由两点间距离公式可得，，根据椭圆的定义可得，所以，又点在椭圆上，代入得，解得，因此椭圆的方程为．（2）（2）设直线为，，，联立，化简得，则，，，，由基本不等式得，当且仅当，即，亦即时等号成立,此时取最大值为，所以的方程为.18．(1)证明见解析(2)存在，点在平面内的轨迹是抛物线的一部分．(3)证明见解析【详解】（1）证明：以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的坐标系，，，，，，，，，所以，即，，即，因为，平面，所以面．（2）存在点使得面，且点在平面内的轨迹是抛物线的一部分．理由如下：令，，，令面的法向量为，，令，得，令，，，，在平面建立如图所示的坐标系，令，，所以，整理得，点的轨迹方程为，所以点在平面内的轨迹是抛物线的一部分．（3）记为四棱锥的表面积，，所以，，所以．19．(1)(2)的增区间为，无减区间(3)证明见解析【详解】（1）