【RJ版春季课程初二数学】第02讲 二次根式的乘除 教案（教师版）

第第2讲讲二次根式的乘除概述概述适用学科初中数学适用年级初二适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、二次根式的乘法法则2、积的算术平方根的性质3、二次根式的除法法则4、商的算术平方根的性质5、最简二次根式教学目标熟练掌握二次根式的乘除运算法则教学重点二次根式的乘除运算教学难点二次根式的乘除运算的灵活运用【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法：情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。提供一个教学设计供讲师参考：课堂导入本节课主要针对二次根式的乘除运算进行讲解，在本节课的学习中，将会解决上面这个题目的解决方法和技巧。复习预习二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数a的算术平方根，其中“”叫做二次根号。正确理解二次根式的概念，要把握以下几点：1、二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“”.如是二次根式，虽然=2，但2不是二次根式。2、被开方数a必须是非负数，即a≥0，如就不是二次根式，但式子是二次根式。3、“”的根指数为2，这一点要切实注意，不可误认为根指数是“1”或“0”。二次根式的性质：1、（a≥0）既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数。即≥0（a≥0），我们把这个性质叫做二次根式的非负性。2、（）2=a（a≥0），这个性质可以正用，也可以逆用，正常时常用于二次根式的化简和计算，可以去掉根号；逆用时可以把一个非负数写成完全平方数的形式，常用于多项式的因式分解。3、（a≥0），这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即当被开方数能化为完全平方数（式）时，就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。代数式是“和“式，带有单位时，代数式应加上括号。二、知识讲解二、知识讲解考点1考点1二次根式的乘法法则一般地，对二次根式的乘法规定：eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)．即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。注意：1、在进行二次根式的乘法运算中，一定不要忽略被开方数a、b均为非负数。2、此法则可以推广到多个二次根式相乘的运算。3、若含有系数的二次根式相乘，可类比单项式的乘法法则，将它分为系数和根式两部分分别运算，然后相乘。4、二次根式相乘，先把被开方数相乘，根指数不变。如果积中有能开得尽的因数或因式，一定要开尽方。在计算多个二次根式相乘时对被开方数要进行分解因数，以便能将开得尽方的因数移到根号外，从而可以使运算简便。考点考点2积的算术平方根的性质eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)．积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积。要注意式子成立的的条件限制，另外要特别注意下面例子的计算：式子本身有意义，但不能写成考点考点3二次根式的除法法则一般地，对二次根式的除法规定：eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)．即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。注意：1、二次根式除法运算的结果也要进行化简2、在运用公式时要注意条件a≥0，b＞0.3、若含有系数的二次根式相除，可类比单项式的除法法则，将它分为系数和根式两部分分别运算，然后相乘。考点考点4商的算术平方根的性质eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)．即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。利用它可以进行二次根式的化简，也可将分母中的根式化去。考点5考点5最简二次根式最简二次根式必须满足以下两个条件：1、被开方数不含分母2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。理解：1、被开方数不含分母，其实质就是说被开方数的因数是整数，因式是整式2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，是指被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2，因此每一个因式的指数都是1。一个二次根式是最简二次根式，必须同时具备以上两点。考一元二次方程的定义三、例题三、例题精析类型一二次根式的乘法例题1例题1下列变形中，正确的是（）A、(2)2＝2×3＝6B、C、D、【答案】D.【解析】A、(2)2＝4×3＝12，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、，故本选项错误；D、，正确.故选D.例题2例题2将化简，正确的结果是（）【答案】A．【解析】.故选A．类型二二次根式的除法例题1例题1如果，那么下面各式：①，②，③，其中正确的是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③【答案】B例题2【解析】由ab＞0可知a，b同号，又因为a+b＜0，所以可知a，b两个数都是负数．所以①中和无意义，故不正确；②，正确；③，正确.所以②③正确，故选B．例题2计算：【答案】略类型三积和商的算术平方根例题1例题1若的值用可以表示为（）A．B．C．D．【答案】C例题例题2若，则的取值范围为.【答案】例题例题3成立的条件是（）A．B．C．D．类型四最简二次根式例题1例题1与﹣2的乘积是有理数的是（）A．﹣2B．C．2﹣D．+2【答案】D．【解析】∵-2的有理化因式为+2，∴与-2的乘积是有理数的是+2，故选D．例题例题2观察下列等式：回答下列问题：（1）仿照上列等式，写出第n个等式：;（2）利用你观察到的规律，化简：；（3）计算：【答案】【解析】四、课堂运用四、课堂运用基础基础下列计算正确的是（）（2014•陕西师大附中期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简a+|a+b|﹣的值是（）A．﹣b﹣c B．c﹣b C．2（a﹣b+c） D．2a+b+c已知：1＜x≤4，则下列式子中有意义的是（）A． B． C． D．化简二次根式的结果是（）A． B． C． D．答案与解析1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】B巩固巩固按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（）A．14B．16C．8+5D．14+计算：；（2）：；在实数范围内分解因式（1）（2）答案与解析1.【答案】C【解析】当n=时，n（n+1）=（+1）=2+＜15；当n=2+时，n（n+1）=（2+）（3+）=6+5+2=8+5＞15，则输出结果为8+5．故选C．2.【答案】（1）：；（2）：.3.【答案】略4.【答案】略拔高拔高观察下列各式：，，…请利用你发现的规律计算：=．若答案与解析1.【答案】2007．【解析】==2.【答案】13.【答案】略五、课堂小结五、课堂小结1、二次根式的乘法法则2、积的算术平方根的性质3、二次根式的除法法则4、商的算术平方根的性质5、最简二次根式六、拓展延伸六、拓展延伸基础基础计算的值为（）A．B．C．D．计算：不求值，比较大小：，答案与解析1.【答案】B2.【答案】，10【解析】3.【答案】＜，＜巩固巩固下列命题：①当x＜0时，在实数范围内有意义．②当x＜2时，=1﹣x．③﹣1的倒数是+1．④若=x，则x一定是非负数．其中正确的有多少个（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个计算：已知x、y为实数，，试求3x+4y的值在实数范围内分解因式（1）（2）答案与解析1.【答