人教版七年级上册数学 讲义 第15讲 角的概念及计算 讲义+练习（教师版）

角的概念及计算适用学科初中数学适用年级初一适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、角的计算2、余角、补角3、方位角教学目标1、掌握角的两种定义形式和表示方法．2、认识度、分、秒，会进行度、分、秒间单位互化及角的和、差、倍、分计算．3、在具体情境中了解余角与补角．懂得等角的余角相等，等角的补角相等．教学重点认识度、分、秒，会进行度、分、秒间单位互化及角的和、差、倍、分计算．教学难点角的计算综合题解答.【教学建议】角的比较、角的和与差，以及角的平分线的内容，与线段的的比较、线段的和与差、线段的中点的内容十分相似，教学中可采用类比的思想来进行教学，角的两种比较方法，度量法和叠合法，引导学生从“形”上理解角平分线的概念.最后通过例题介绍余角和补角的性质.【知识导图】角角钟面角钟面角1.观察思考问题：观察时钟的两个指针及其它图形涂红色的部分所形成的图形，思考有什么共同的特点.2.复习回顾：直线射线线段的表示直线、射线、线段的表示方法

①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB．

②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．

③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外.角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．

（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．

（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．

（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走112格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°．

（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．

（3）钟面上的路程问题分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6°

时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．

（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）

（3）画方位角：以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．（1）角的和差倍分

①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．

（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．

（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．

（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．

（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．

（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．类型一钟面角上午9时30分，时钟的时针和分针所成的角为()90°100°105°120°【答案】C．【解析】解：时针每分钟旋转°，分针每分钟旋转6°．

在9时，时针和分针相差270°，时针在分针前，从9时到9时30分，时针共旋转30×=15°，分针共旋转30×6°=180°，则在9时30分，时针在分针前270°+15°-180°=105°．

故选C．类型二角的识别下图中表示∠ABC的图是（）．【答案】C.【解析】用三个大写字母表示角，表示角顶点的字母在中间.类型三角的计算已知∠与∠互补，且∠=35º18′，则∠=_______.【答案】144°42′【解析】∠与∠互补，【例题4】（1）3.76°=______度_____分_______秒．（2）3.76°=______分=______秒．（3）钟表在8：30时，分针与时针的夹角为______度．【答案】（1）34536（2）225.613536（3）75.类型四角平分线如图所示，直线AB、CD相交于点O，且∠BOC＝80°，OE平分∠BOC．OF为OE的反向延长线．求∠2和∠3的度数，并说明OF是否为∠AOD的平分线．【答案】解：因为∠BOC＝80°，OE平分∠BOC所以∠1＝∠BOC＝×80°＝40°又因为CD是直线，所以∠2+∠BOC＝180°，所以∠2＝180°-80°＝100°同理∠2+∠AOD＝180°，∠1+∠2+∠3＝180°所以∠AOD＝80°，∠3＝40°所以∠3＝∠AOD，所以OF是∠AOD的平分线.下列各角中，是钝角的是（）．周角B．周角C．平角D．平角从一个钝角的顶点，在它的内部引5条互不相同的射线，则该图中共有角的个数是（）．A．28B．21C．15D．6如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）．答案与解析1.【答案】C.【解析】平角=180°，钝角大于90°而小于180°，平角=×180°=120°，故选C.2.【答案】B.【解析】有公共顶点的n条射线，所构成的角的个数，一共是n（n-1）个.3.【答案】D.【解析】∠O是一个单独的大写英文字母，它只能表示独立的一个角，而∠O还可用∠1或∠AOB表示.如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（）A.50°B.60°C.65°D.70°在图中一共有几个角？它们应如何表示？计算下列各题：（1）153°19′42″+26°40′28″（2）90°3″-57°21′44″（3）33°15′16″×5答案与解析1.【答案】D.【解析】∵BO是∠AOC的角平分线，∠AOB=40°∴∠BOC=∠AOB=40°∵OD平分∠COE，∠COE=60°∴∠COD=∠COE=30°∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+∠30°=70°故答案为D.2.【答案】3个角，∠ABC，∠1，∠2．3.【答案】（1）153°19′42″+26°40′28″=179°+59′+70″=179°+60′+10″=180°10″（2）90°3″-57°21′44″=89°59′63″-57°21′44″=32°38′19″（3）33°15′16″×5=165°+75′+80″=165°+76′+20″=166°16′20″∠AOB=45°，∠BOC=75°，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，则∠DOE=()60°75°60°或15°70°或15°2.如图，直线AB、CD、EF交于点O，∠DOB是它的余角的2倍，∠AOE=2∠DOF，且有OG⊥OA，求∠EOG的度数．

答案与解析1.【答案】C.【解析】此题要分两种情况①∠AOB在∠BOC内部，②∠AOB在∠BOC外部．

解：如图1，

∵∠AOB=45°，

∴∠BOD=22.5°，

∵∠BOC=75°，∴∠BOE=37.5°，

∴∠DOE=22.5°+37.5°=60°；

如图2，∵∠AOB=45°，∴∠BOD=22.5°，

∵∠BOC=75°，

∴∠BOE=37.5°，

∴∠DOE=37.5°-22.5°=15°．

故选：C2.【答案】解：设∠DOB=x，则其余角为：x，∴x+x=90°，解得：x=60°，

根据∠AOE=2∠DOF，∵∠AOE=∠BOF（对顶角相等），∴3∠DOF=∠DOB=60°，

故∠DOF=20°，∠BOF=40°，

∵有OG⊥OA，

∴∠EOG=90°-∠BOF=50°．

故∠EOG的度数是50°．

角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.

2.角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示.

3.平角、周角的定义：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角.

4.角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″.钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是(

)A.77.5°B.77°5′C.75°D.以上答案都不对2.如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（

）A.30°B.120°

C.90°D.60°答案与解析1.【答案】A【分析】如下图所示,钟表上2时25分,时针指向2,分针指向5,每相邻两个数字之间的夹角为30°,25分即5小时,则表的时针与分针在2时25分时夹角是:2×3030°=90°-12.5°-12.5°=77.5【答案】D【分析】这个角是:180°-150°=30这个角的余角的度数是:90°-30°=60°如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE=90°,且∠EOD=∠COE，∠BOD=________.如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOE，∠1=15°30’，则下列结论不正确的是(

)

A.∠2=45°B.∠1=∠3C.∠AOD+∠1=180°D.∠EOD=75°30＇答案与解析【答案】解:设∠EOD=X,则∠COE=4x,∴x+4x=180°,解得:X=36°.∵∠AOE=90°,∴∠EOB=90°,∴∠BOD=90-36°=54°.故答案为:54【答案】D【分析】(1)由题意可得∠2=∠AOE=1×90°=45°

(2)根据对顶角相等可得∠1=∠3

(3)由邻补角的定义可得∠AOD+∠1=180°

(4)由余角的定义可得∠1的余角=90°-∠1=900-15°30=74°30°如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）

A.35°B.45°

C.55°D.65°如图所示，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∠MON等于________度．

答案与解析【答案】C【分析】解:∵∠1=14∠2=1