2026重庆中考数学第25题专题训练四

2026重庆中考数学第25题专题训练四引言：聚焦动态几何与最值探究重庆中考数学第25题，向来是对学生综合运用知识能力的集中考查，其难度与区分度不言而喻。在近年的命题趋势中，动态几何背景下的最值问题频繁出现，这类题目不仅要求学生对几何图形的性质有深刻理解，更需要具备将动态过程静态化、复杂问题简单化的思维能力。本专题训练将围绕这一核心，通过典型例题的剖析与方法提炼，帮助同学们掌握解决此类问题的关键思路与技巧。一、例题精析：从图形变换看最值本质例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。点P是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点P分别作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E。连接DE。（1）求证：四边形PDCE是矩形；（2）在点P的运动过程中，线段DE的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；（3）在点P的运动过程中，△PDE的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由。分析与解答：（1）证明四边形PDCE是矩形：要证明一个四边形是矩形，常见思路是先证明它是平行四边形，再证明有一个角是直角（或对角线相等）。由题意知，PD⊥AC，PE⊥BC，∠C=90°，所以∠PDC=∠PEC=∠C=90°。因此，四边形PDCE有三个角是直角，根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形。故四边形PDCE是矩形。（2）探究DE长度的最小值：由（1）知四边形PDCE是矩形，根据矩形的性质，矩形的对角线相等，所以DE=PC。因此，求DE的最小值，实际上就是求线段PC的最小值。点P在AB上运动，点C是定点。根据“垂线段最短”的基本事实，当PC⊥AB时，PC的长度最小。在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，根据勾股定理可得AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10。利用等面积法求AB边上的高h：S△ABC=(1/2)AC·BC=(1/2)AB·h，即(1/2)×6×8=(1/2)×10×h，解得h=4.8。所以，PC的最小值为4.8，即DE的最小值为4.8。（3）探究△PDE面积的最大值：首先，△PDE是矩形PDCE的一部分。我们可以用含变量的代数式表示出△PDE的面积，再求其最大值。设AD=x，因为PD⊥AC，∠C=90°，所以PD∥BC。根据相似三角形的判定，△ADP∽△ACB。所以，AD/AC=PD/BC，即x/6=PD/8，解得PD=(4/3)x。则DC=AC-AD=6-x。因为四边形PDCE是矩形，所以PE=DC=6-x。△PDE的面积S=(1/2)·PD·PE=(1/2)·(4/3)x·(6-x)=(2/3)x(6-x)=(2/3)(-x²+6x)。这是一个关于x的二次函数，二次项系数为负，图象开口向下，有最大值。对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，其顶点坐标为(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))。这里a=-1，b=6，所以当x=-b/(2a)=-6/(2×(-1))=3时，S取得最大值。将x=3代入，S最大值=(2/3)(-(3)²+6×3)=(2/3)(-9+18)=(2/3)×9=6。所以，△PDE的面积存在最大值，最大值为6。解题反思：本题第（2）问的关键在于通过矩形的性质将DE的长度转化为PC的长度，从而将动态问题转化为定点到定直线的最短距离问题，化未知为已知。第（3）问则是通过相似三角形建立起变量间的关系，将面积表示为二次函数，利用二次函数的性质求最值。这两种转化思想——几何性质转化和函数建模转化，是解决动态几何最值问题的常用利器。二、方法提炼：动态几何最值问题的常用策略通过对上述例题的分析，我们可以总结出解决动态几何背景下最值问题的一些通用策略：1.动静转化，以静制动：动态问题的核心往往是某些不变的量或关系。要善于在运动变化中寻找不变的几何性质（如本例中DE=PC）、不变的数量关系或特殊位置。将动态问题在某一特定时刻“定格”，转化为静态问题进行分析。2.几何性质，助力转化：熟练掌握基本图形（如三角形、四边形、圆）的性质是解决问题的基础。例如，矩形的对角线相等、垂线段最短、两点之间线段最短、三角形三边关系、圆的半径相等、切线长定理等，常常是实现问题转化的桥梁。3.函数建模，代数求解：当几何量之间的关系可以用代数式表示时，建立函数模型（通常是一次函数或二次函数）是一种非常有效的方法。通过求出函数的解析式，利用函数的增减性、最值等性质来解决问题。这种方法需要注意自变量的取值范围，它通常由几何图形的限制条件决定。4.极端位置，特殊探路：对于一些复杂的动态问题，可以先考虑点或图形运动到某些特殊位置（如端点、中点、垂直位置、对称位置等）时的情况，往往能找到解题的突破口或得到一些启示。5.分类讨论，避免遗漏：当点或图形的运动过程中，其位置关系或数量关系可能发生变化时，需要进行分类讨论，确保不重复、不遗漏各种可能的情况。三、针对性练习练习1：在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F。设BE=x，CF=y。（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）在点E的运动过程中，△AEF的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由。练习2：如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4，点C是OA上的一个动点（不与O、A重合），过点C作CD⊥OA交AB于点D，以CD为边在CD右侧作正方形CDEF。连接OF。设OC=t。（1）用含t的代数式表示线段CD的长；（2）在点C的运动过程中，线段OF的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由。（提示：练习1可考虑相似三角形，练习2可考虑建立平面直角坐标系用代数法求解）四、总结与展望动态几何最值问题的求解，考验的是同学们的空间想象能力、逻辑推理能力和综合运用知识的能力。解决这类问题，首先要沉着冷静，仔细分析图形的运动过程，抓住不变量和关键性质；其次要善于运用转化的思想，将复杂问题分解或转化为我们熟悉的问题；最后，扎实的基础和适量的练习是提升解题能力的不二法门。在后续的复习中，希望同学们能将本专题