倾斜角与斜率（同步练习）-2026-2027学年高二数学上册人教A版选择性必修第一册

2.1.1倾斜角与斜率

A级

I.给出下列命题，其中为真命题的是（）

A.任意一条直线都有唯一的倾斜角

B.一条直线的倾斜角可以为一30。

C.倾斜角为0。的直线只有一条，即x轴

D.若a是直线/的倾斜角，且sina=£则a=45。

At

2.若直线过坐标平面内两点（4,2）,（1,2+V3）,则此直线的倾斜角是（）

A.30°B.150°C.60°D.120°

3.若经过A（小，3）,B（1,2）两点的直线的倾斜角为45。，则m=（）

A.2B.lC.-lD.-2

4.（2026春•龙华区校级期中）若直线经过两点4（1,1+g），8（2,2+75）,则此直线的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.90°D.135°

5.“直线/的斜率不小于0”是“直线/的倾斜角为锐角”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.（多选）已知点4的坐标为（3,4）,在坐标轴上有一点从若k&B=4,则点B的坐标可能为（）

A.（0,-4）B.（4,0）

C.（2,0）D.（0,-8）

7.（2026春•青浦区校级期末）若直线i的斜率k的变化范围是则传勺倾斜角的范围为.

8.一束光线射到x轴上并经x轴反射，已知入射光线的倾斜角四二30。，则反射光线的倾斜角a2=.

9.（2024•福州质检）如图，已知直线八的倾斜角是150。，/2±/r垂足为8/,&与人•轴分别相交于点。，A,A平

分N8AC,则人的倾斜角为.

10.已知直线/经过两点A（-1,,〃），B（〃?，1）,问：当〃?取何值时:

（1）直线/与工轴平行？

（2）直线/的方向向量的坐标为（3,1）.

（3）直线的倾斜角为45。？

B级综合运用

11.（2024•兔床质检）斜拉桥是桥梁建筑的•种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔

一致.重庆千厮门嘉陵江大桥如图①所示，桥上共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列，示意图如图②所示.已

知拉索上端相邻两个锚的间距IP,P汁］（/=1,2,3,…，9）均为3.4m,拉索下端相邻两个锚的间距14AI

（i=l,2,3,…，9）均为16m.最短拉索的锚Pi，4满足IOPiI=66m,I04I=86m,则最长拉索所在直

线的斜率为（）

A.±0.47B.±0.45

C.±0.42D.±0.40

12.(多选)如图，直线h，，3的斜率分别为舟，代，k3,倾斜角分别为叫，(X2,。3,则下列选项正确的是

()

AAV43V依B/3〈k2Vh

C.ai<C3<a2D.a?<a2<ai

13.过点M(0,1)和N(l,〃P+1)(/〃£R)的直线的倾斜角的范围是.

14.(2025秋•河南期末)已知平面内三点4(2,3),5(4,-1),C(7,2).

(I)若直线。经过点力且与线段8C有交点，求直线匕的斜率的取值范围；

(2)若直线G经过点4且与刈y轴的正半釉分别交于P，Q两点，求MPHAQI的最小值及此时。的方程-

C级拓展探究

15.(2024•泉州月名)函数y=/(x)的图象如图所示，在区间［a,8］上可找到〃(〃22)个不同的数xi，必,

占，使得幺上=八"=・・=八2,则〃的取值范围是()

Xix2xn

oI)x

A.{3,4}B.{2,3,4}

C.{3,4,5)D.{2,3}

16.已知坐标平面内三点A(-1,1),Z?(1,1),C(2,V3+1).

(1)求直线AB,BC,4c的斜率和倾斜角；

(2)若。为△ABC的边A8上一动点，求直线CQ的斜率火的取值范围.

2.1.1倾斜角与斜率

1.A任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为。。的直线有无数条，它们都垂直于），轴，因

此A正确，B、C错误.D中a有可能为135。，故D错误.

2.B由题意知k=%色二=一”，.•.直线的倾斜角为150。.

3.A由题意知，tan45°=^—^-,得〃?=2.

1-m

4.B由题意直线经过两点力（1,1+仃），5（2,2+73）,可得直线斛率k=2+空:、③=;=],设直线的倾斜角

为a,即tana=1,因为0°WaV180°,所以a=45°.

5.B若直线/的斜率不小于0,则该直线的倾斜角为锐角或0。，若直线/的倾斜角为锐角，则该直线/的斜率为正

数，即大于0,所以“直线/的斜率不小于0"是''直线/的倾斜角为锐角”的必要不充分条件.故选B.

6.CD设B（X,0）或（0,y）,因为公8=「一或公8=三二，所以二-=4或三？=4,所以x=2或y=-8,所以

,3-X33—X3,

点B的坐标为（2,0）或（0,-8）.

7.[0,3”亭,71）解析：设直线的倾斜角为a,则aw[。㈤,由一1WkW百，即一IWtanaW遮，当0<

tanaW遍时，aW[0翼；当一lVtanaVO时,aE，二aW[0翼U

8.1500解析：作出入射光线和反射光线，如图.因为入射光线的倾斜角8=30。，所以入射角为6。。.又反射角等于

入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60。+60。+30。=150。.

反射光线

射光线

巾0。

9.30°解析：因为直线人的倾斜角为150。，所以/8C4=30。，所以A的倾斜角为9（90。-30。）=30。.

10.解：（I）若直线/与x轴平行，则直线/的斜率k=0,所以〃?=1.

（2）直线/的方向向量的坐标为（3,1）,故&=；,即解得，〃=；.

3zn+l32

（3）由题意可知，直线/的斜率2=1,即弋=1,解得机=0.

m+l

11.C根据题意，得II=I04I+I>41410I=86+9X16=230m,IOPioI=IOPJ+IP\P\oI=66+

9X3.4=96.6m.则右侧最长拉索所在直线的斜率心10Pio=-tanNOAoPH）=—鬻=一0.42,同理，左侧最长拉索所

在直线的斜率心|出。=0.42.故选C.

12.AD由题图可知依>依>0,故且如为钝角，即心<&3<&2,a3<a2<ah故选A、D.

13.[0,三)解析：由题意知，直线MN的斜率为女=巴*==420.设直线MN的倾斜角为0,则tanO'O.又

21-0

0e[o,兀)，所以0£[0,“.

14.解：(1)因为4(2,3),0(4,-1),(?(7,2),所以心"=言=-2,kAC=^=-^

因为直线L经过点4且与线段BC有交点，所以直线4的斜率々满足心8Wk工4.，

即一2</c<-p所以直线，]的斜率的取值范围是卜2,—1.

(2)由题意，得直线L的斜率存在，设为〃，则k,VO,

因为直线，2过点4(2,3),所以直线。的方程为y-3=kXx-2),

令y=0,解得％=2—怖，所以P(2-4,0),

令X=0,解得y=3-21,

所以Q(0,3-2k'),

所以14Pl・|4Q|=J仔>+32.々2+(2配/=+9)(4/2+)

=6j6+好+2N6,2ja『+2=12,

当且仅当白二内2,即玄二一1时，等号成立，所以|4P|.|/1Q|的最小值为12.

K

此时直线，2的方程为％+y-5=o..

15.B由题意，函数)，=/(公的图象上的任一点坐标为(x,