北京市通州区2025-2026学年高一年级上册期中考试数学试题（解析版）

2025北京通州高一（上）期中

数学

本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效.考试结束后，请将答题卡交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知命题〃：女€氏/+1<°,则力为（）

A.VxeR,x2+1>0B.VxeR,x2+1>0

C.3XGR,X2+1>0D.3X^R,X2+1>0

【答案】A

【解析】

【分析】根据特称命题的否定为全称命题，进而求解.

【详解】由命题“HXGRK+IVO,所以为：V.rGR,x2+1>0>

故选:A.

2.已知集合人={乂-1£不£2},9={工62|0£X<3},则人，6=（）

A.[0,2]B.[-1,3）C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】C

【解析】

【分析】先求集合3,利用集合的交集运算即可求解.

【详解】由8={XWZDWX<3}={0,1,2},所以A08={0,l,2},

故选：C.

3.已知x>l,则x+」一有（）

x-\

A.最大值1B.最小值1

C.最大值3D.最小值3

【答案】D

【解析】

分析】根据题意，由基本不等式即可解出答案.

【详解】因为x>l,则］一1>0,

所以x+—!—=(x-l)d———+1>2.(x-l)x——+1=3,

x-1x-1vx-l

当且仅当“x-l=」一"即x=2时，等号成立.

九一1

所以当x>l时，x+上有最小值为3.

x-\

故选：D.

4.若a>b,c>d>0,则下列结论一定成立的是()

A.a-d>b-cB.卜+4>|力+4

小，，ab

C..ac>bdD.—>一

cd

【答案】A

【解析】

【分析】利用不等式的性质即可判断A,利用特值法即可判断BCD.

【详解】对于A,由所以一一。，所以。一4>人一。，故A正确；

对于B,当4=2,〃=一8,o=2,4=1时，|々+4=4,k+4=7,所以|々+4<取+必，故B错误;

对于C,当。=-2/=-3,c=2,d=l时;所以acv/W,故C错误；

对干D,当c=2,d=l,a=3,〃=2时，-=-,-=-=2,所以故D错误，

c2d1cd

故选:A.

5.已知函数/(x)是R上的偶函数，且在［0,+8)上单调递减，则下列各式成立的是()

A./(O)</(1)</(-2)B./(-2)</(0)</(1)

C./(-2)</(l)</(O)D./(1)</(-2)</(0)

【答案】C

【解析】

【分析】利用奇偶性和单调性进行比大小.

【详解】/3)是偶函数..•.”-2)=/⑵.

又/⑶在［0,+co)上单调递减，.../(-2)=/(2)〈人1)</(0).

故选：C.

6.已知〃wR,则」<］，，是%>［，，的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用分式不等式的解法，结合必要非充分条件定义即可进行判断.

1\-a

【详解】«GR,由一<1可得——<0,

aa

解得：或。<0,

所以」不能推出

a

当〃>1时，可得：0<—<1,

所以可以推出“一<「

<1”是>1”的必要非充分条件.

a

故选：B.

7.已知2“=3，4"=-,则下列式子不成立的是()

3

A.2b=2B.4而=12

C.ab<—D.+/7~>一

24

【答案】B

【解析】

cc(4V4

【分析】由指数寻的运算即可判断AB,利用基本不等式即可判断C,由“+6=5b--+2，利用指

I5J5

数与对数的转化求人的范围，进而利用二次函数再给定区间的最值即可判断D.

【详解】由4"=9=>4"=220=3,所以2"-22”=2"+2〃=3x3=4=22,所以。+2匕=2,故A正确；

333

a

由产=（4»=g4“©-=2=3"“，故B错误;

3“3“3a

44

由2"=3=。=1。823>1,由4'n〃=log4§=l-Iog43<l,又a+2b=2,

所以2=。+2/?22"^（当时取等号），

因为。>1,所以等号不能取到，故2>2>/汇=>。力<,，故C正确；

2

(414

因为〃=2—%，所以/+/=(2—2〃『+/=5/—8/7+4=5b—+一，

I5J5

又由人=l-k)g43,|i|^/^<log43<l,所以

所以/+〃=5仇一4+3>5?一夕|+9二』，故D正确,

[5）55）54

故选：B

8.如图，是边长为2正三角形，记2。48位于直线x=«0v，W2）左侧的图形的面积为/。），

【答案】A

【解析】

【分析】首先求出/⑺的解析式，在求其解析式的时候，关键是要根据题中所给的图，对I的取值进行恰当

的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图像，求得结果.

【详解】分两种情况讨论：

（1）当时，可以求得直角三角形的两条直角边分别为f,、万/,

从而可以求得/（0=勺.0=与，

（2）当1</<2时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，

可求得/（Z）=V3-6^丁=-^-r+2gt-y/3，

穹•（（）<E）

所以/«）='2,

--r2+2x/3/-^（l</<2）

2

从而可选出正确的图象，

故选A.

【点睛】该题所考查的是有关函数图象的选择问题，涉及到的知识点有三角形的面枳公式，有关函数解析

式的求法，根据解析式选择合适的函数图象，属于中档题目.

9.已知2“=扬=—，则必"。的大小关系不可能为（）

c-\

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】D

【解析】

【分析】可理解为三个函数的函数值相同时，对应的自变量的大小关系的可能情况.

令f（x）=2\g（x）=&,〃0）=」一,贝Ij2“=石=」一等价于f（a）=gS）=〃（。）.

x-\c-\

因此该题可理解为三个函数的函数值相同时，对应的自变量的大小关系.

根据图象分析4,b,c大小关系共有以下4种情况：

®c<a<b；®a<c<b\®a<b=c；®a<b<c.

故选:D.

10.在计算机系统中，缓存的核心作用是加速数据访问.当缓存加载完成后，未被读取的信息比例C"）会

随时间/的推移逐渐下降，其变化规律可用函数模型c«）=A+BC-近似描述•其中A表示稳态未被读取

比例，4表示初始时未被读取的'领外”比例，r为衰减时间常数某工程师对某服务器缓存进行性能测试，

下表记录了以下数据（缓存加载完成后开始计时）：

/（分钟）0510

0(/)(%)754530

用该模型推算当，=15时，缓存中未被读取的信息比例约为（）

A.20%B.22.5%C.25.5%D.28%

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知建立方程组分别求出er=L,A、B,从而代入计算可得.

2

【详解】由题意得：当了=0时，C（0）=A+Be°=75%@,

5

当7=5时，C（5）=A+8c：=45%②，

10

当2=10时，C（10）=A+8c；=30%@，

/_5\

由①一②得8l-e-7=30%④，

由②一③得比：l-e-7=15%⑤,

由⑤看得e「=]1⑥-，所以A+]B=45%⑦-,

由①一⑦得一8=30%,解得8=60%,则A=15%,

2

15_5_5_5/y

所以当7=15时，C（15）=A+BJ：=A+Be7xe：xe：=15%+60%x-=22.5%，

k2，

即当，=15时.，缓存中未被读取的信息比例约为22.5%.

故选：B.

第二部分（非选择题共no分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

H.函数/（x）=V7+T的定义域为.

【答案】［T,y）

【解析】

【分析】使函数解析式有意义可得X+120,解不等式即可求解.

【详解】解：根据函数/（x）=J7TT,可得工+13o,求得x之一1,

所以函数的定义域为［-1,+8）,

故答案为：［—1,+8）.

12.已知辕函数“X）的图象过点口贝|J〃6）=.

【答案】」

36

【解析】

【分析】设/（力=£,代入点（3,1｝解得a的值，再代入即可得.

【详解】设则3a=［解得a=-2,所以/（力:一二/⑹二」.

936

故答案为：—

36

13.已知函数），=/（耳,），=g（£|的对应关系如下表：

X1234

/（X）2431

g(x)2143

则/(g⑶)=:不等式/(g(")>R的解集为.

【答案】①.1②.{1}

【分析】根据所给表格数据求出/(g(3))及/(g(x)),即可得解.

【详解】由表可知g⑶=4,则/(g(3))=/(4)=l,

又因为〃g(l))=f(2)=4,/(g(2))=/(l)=2,/(g(3))=/(4)=l,/(g(4))=/(3)=3,

所以满足/(g(x))>x的只有x=l，即不等式/(g(x))>"勺解集为{1}.

故答案为：1;{1}

(Y-2)2V<ZT

14.函数/")=(一：，,若4=0时，则/(/(一1))的值为__________；若满足*1,马£R且

—X+2,x>。

X.<x2,/(x,)</(x2),则实数。的取值范围是.

【答案】-7②.(L2)u(2,y)

【解析】

【分析】当〃=()时，根据分段了数即可求/(/(一1))；先作出函数)，=(工一2)2与丁二一1+2的图像，根

据〃的情况，分类讨论即可求解.

【详解】当〃=0时，/(力=〈二八，所以

-x+2,x>0

/(-1)=(-1-2)2=9,/(/(-1))=/(9)=-9+2=-7：

作出函数)，=(%—2『与》=一3+2的图像，

由图可■知，三¥],々wR且X，/(4)</(毛)，即1<々<2满足题意,

当〃>2时，作出/(x)的图像，

由图可知，£R且玉</，/(%)</(马)，即4>2满足题意,

综上所述，ae(L2)D(2,y),

故答案为：一7；(1,2)D(2,+8).

15.己知函数/(X)=X|X-24+2XM£R,

①存在实数。，使得函数/(x)为奇函数；

②任意实数4,当X£(2,+co)时，都有/(x)N4a：

③任意实数4£（0,+8），存在实数3使得方程Z有三个不相等的实数根；

④若存在实数4«-2,2］,使得关于X的方程/（同一/（2。）=0有三个不相等的实数根，贝V的取值范围

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】根据奇函数的性质可求4=0,故可判断①的正误；就4＞1分类求出/（X）的最小值后可

判断②的正误，利用特例可判断③的正误；结合③的分析就一24。＜一1、一1＜。＜0、1＜。42分类讨论

/（X）的单调性后可得关于/的不等式，结合有解可求/的取值范围，从而判断④的正误.

【详解】对于①，若/（X）为奇函数，W/（-x）=-/（%）,

故一闻一工一24-2%二一卜上一2〃|+2工），整理得卜+24=上一切，其中xwR,

故f+4ca+4c『=了2-4依+4/即or=0，其中XER,故〃=0,

故①正确：

对于②，若丁«1,则当％＞2时，/（力=幺+（2-2a）x,

而f（x）的对称轴为犬=〃一1＜0，故］（力在（2,+8）上为增函数,

故/（x）＞f（2）=8—4。＞2x4a-4a=4a；

-x2+(2+2a)x,2<x<2a

若a>1则/(x)=«

x2+(2-2a)x,x>2a

当2cx<2〃时，/(x)>min[f(2),f(2a)}=4a,

当xN加时，因为故。一1＜2。，故/（x）在［2a,+o＞）上为增函数,

故/1(x)2/(2〃)=4a；

综上，/(x"4a在(2,y)上恒成立，故②正确;

x2+(2-2a)x,x>2a

对于③，f(x)=,

-x2+(2+2a)x,x<2a'

当0＜aWl时，则。一1＜2。4。+1,

故f(x)在(一8,2。)上为增函数，在［2〃,+8)为增函数，故/⑴在R上为增函数，

故对任意实数A，方程/(x)=%不可能有三个不同的实数根，故③错误；

对干④，结合③的分析可得一24。工0或

若一2工4〈一1,则勿<4一1<〃+1,

故.f(x)在(一"2〃)上为增函数，在［2a,a—l)为减函数，在［〃-1,+。)上为增函数,

而f(x)-/(2〃)=0有三个不相等的实数根，故<"(2a)</(2a),

C1

故一（o-iy<4c"<4a,故1<，<](一小利+2

设〃=［+1/<:］«2,由双勾函数的单调性可得+

tt2

99

故-

28-

故f(x)在(-8,2。)上为增函数，在［2a,+8)上为增函数即/(工)为R上的增函数，

故/(x)-/(2〃)=0不可能有三个不相等的实数根，舍；

故f(x)在(-8,4+1)上为增函数，在［。+1,2々)为减函数，在［2a,+8)上为增函数,

而f(x)-"(2〃)=0有三个不相等的实数根，故/(2a)</(24)v〃a+l),

°1(1)

故4。<4。，<(。+1)，故+,+

199

同理4va+—+24一，故Ivf〈一，

a28

9

综上，1<1<三，故④正确.

8

故答案为：①②④.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数f(x)=f+好+心的图象过点A(I,O)和B(_2,0).

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)直接写出不等式的解集;

（3）求不等式加+办+1>0的解集.

【答案】(1)/(X)=X2+X-2

UM

【解析】

【分析】（1）将4、8两点代入函数，即可解出久〃的值，则可写出/（x）的解析式;

（2）由一元二次函数与一元二次不等式的关系，写出答案即可：

（3）将。=1,8=-2代入不等式，即可解出答案.

【小问1详解】

。二1,

将4、B两点代入函数得：

4一2々+6=(),b=-2

所以函数/（力的解析式为/（戈）=/+3一2.

【小问2详解】

不等式/（%）2。等价于d+x—ZNOnCx—l）（x+2）20

所以不等式的解集为（一。,一2卜［1,+力）.

【小问3详解】

将〃=1力=-2代入bx2+at+1>0得：-2工2+x+1>0»

所以2/一工一1<（），

所以（2x+l）（x—l）<0

所以—VX<1,

故不等式的解集为.

17.设集合〃=氏，集合A={x|a_3<xKa+3,a£R},B={x|l<2r<8}.

(1)当a=l时，求Ari(Q/)；

（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数。的取值范围.

条件①：[-2,3仁（AD3）；

条件②：若"xwB”是"xwA”的充分条件.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分

【答案】（1）Ac（电8）={R-2Wx<0或3<x44}.

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）解指数不等式求出集合〃，再根据补集、交集的定义计算可得;

。一3V—2

（2）若选①可得一2wAOwA,即可得到〈〃+3之0，解得即可；若选条件②，即可得到此儿从而

得到不等式组，解得即可.

【小问1详解】

由即2°V2,V23，解得O«X«3,

所以B={x|OWxW3},

所以9,8={讨工〈。或无〉3},

当〃=1时，A={x\-2<x<4].

故Ac（Q4）={x|-2<x<（）或3cxW4}.

【小问2详解】

若选条件①，因为|-2,3]q（Au8）,3={x[0<xK3},A=[x\tz-3<x<«+3,«eR},

所以一2wA0wA,

所以《:解得一3工〃<1,故所求实数〃的取值范围是

若选条件②，因为“XE3”是“xeA”的充分条件,

故A,

a-3W0r1

所以《4+3>3,解得OWa43,故所求实数。的取值范围是卜）,3].

18.已知函数/（x）=X?+3。£R.

•X

（I）若为偶函数，求4的值；

（2）若46（-00,2］,判断函数/⑺在［1,+8）上的单调性，并用定义证明:

（3）当aw（—,2］时，试比较/（24-2。+3）与/（/+1）的大小，并说明理由.

【答案】（1）67=0

（2）/（力在口,包）上单调递增，证明见解析

⑶/（2/—2〃+3）＞/（〃2+1）,理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用偶函数的定义建立方程，求解参数即可.

（2）利用定义法求解单调性即可.

（3）利用作差法结合单调性比较大小即可.

【小问1详解】

由题意得/（x）定义域为{R%工0},

因为为偶函数，所以f（r）=F（x），

即（一幻2+幺=/+幺，解得4=0,

-XX

当〃=0时，/（A-）=X2,由二次函数性质得其为偶函数，符合题意.

【小问2详解】

任取1W&＜怎，则/（芭）一/（工2）=（X一工2）（为+%2）+

中2（5+马）一〃

二（内r）

因为14％<WM£(-O?,2],所以N—工2<0,内+工2>2,玉々>1，

得到石毛（王+玉）一。〉0,则/（%）-/（电）＜（）,即/（%）＜/（毛），

故函数〃力在［1,+8）上单调递增.

【小问3详解】

记g（a）=2&2-2〃+3-（c『+1）=/-2。+2＞0恒成立,

而2a2-2々+220，t/2+l>b则2/-2〃+3?1，

故1W。~+1v2c厂—2cl+3，

由（2）知当。£（-8,2］时，函数〃X）在［L+00）上单调递增,

故/伽2-24+3）>/（/+1）

19.某AT训练平台为优化算力资源分配，需分析模型训练的能源消耗成本.已知该平台的AI模型训练任务

分为“轻量训练''（数据量不高于10TGB）和“深度训练”（数据量高于10TGB）两类，其能源消耗费

x2+x+4,0<x<10

用E（式）（单位：千元）与训练数据量工（单位：千GB）的关系为：七（力=，

24x+-——2()0/>1()

x

平台通过训练任务可获得收入，轻量训练每千GB数据收入为11千元，深度训练每千GB数据收入为20

千元.

（1）求该平台训练的毛利润P（”（单位：千元）关于训练数据量x（单位：千GB）的函数关系式（毛

利润=总收入-能源消耗费用）:

（2）当训练数据最为多少时，平台毛利润最大？最大毛利润是多少?

-X2+10A-4,0<X<10

【答案】（1）尸（元）=〈（900

-4x++200,x>10

x7

（2）当训练数据量为15TGB时，平台毛利润最大为80千元.

【解析】

【分析】（1）根据毛利润的计算公式可得。（工）；

（2）利用二次函数的性质和基本不等式可求何时P（A）的最大值和取最大值的条件.

【小问1详解】

11X-(X2+X+4),0<X<10,

由题知P（x）=・(Q(Y)A

20x-24x+--200,x>10,

IxJ

-X2+10X-4,0<X<10

故P(x)=4(90()A.

i71-［以+—j+200,x>10

【小问2详解】

当0<xK10时，对称轴为x=5,故P（x）的最大值P（5）=21.

当工>10时，4x+—>2-120,

x

(900、

则-4%+——+200<80,当且仅当x=15千GB时，等号成立.

因为21<80,故当训练数据量为15千GB时，平台毛利润最大为80千元.

20.已知二次函数/(彳)=一%2+2mx-2,g(x)=—1.

、2J

(I)若/(力图象恒在％轴的下方，求实数用的取值范围；

(2)若/(x)在区间［1,2］上是单调函数，求实数加的取值范围；

(3)若对任意不£1,2］,总存在9£［—2,y)，使/(xj=g(w)，求实数，〃的取值范围.

【答案】⑴卜&,四)

(2)/〃W1或，〃》2.

(35］

(3)

(22J

【解析】

【分析】(1)根据判别式为负可求，〃的取值范围；

(2)根据单调得对称轴与区间的位置关系，从而得机的取值范围；

(3)根据题设条件得/(6的值域是g(x)值域的子集，再就〃“W1、〃?22、1<机<2分类计算/(大)

的值域后得到关于加的不等式组，从而可求的取值范围；

【小问1详解】

因为/(力图象恒在入.轴的下方，且二次项系数为—1，

则△<(),即4>一8<0，所以m［一血,血).

【小问2详解】

/(1)开口向下，对称轴为*=小，

因为“X)在区间［1,2］上是单调函数，故〃?W1或机22.

【小问3详解】

雇工)=(，在［-2,+QO)为减函数，故g(x)在［一2,内)上值域为(0,4］,

<2/

因为对任意％总存在毛£卜2,+8),使/(xj=g(xj，

故f(x)的值域是g(A-)值域的子集，

当mW1时，/(力在［1,2］上单调递减，值域为［4，〃-6,26一3］,

4^-6>0

则<2也一3«4,此不等式组无解；

m<1

当机22时，/(M在［1,2］上单调递增，值域为［23,4加—6］,

’2〃7-3>0

则<4加一6W4,故2V加工一；

m>22

I

当1<m<2时，/(五)在［,〃?］上单调递增，在［加,2］上单调递减，

最大值为〃利)=加-2，最小值为min{/(l)J(2)},

w2-2<4

,.2m-3>0〃3

则令〈，故一<〃?<2；

4/H-6>02

1<77?<2