人教版九年级数学上册：二次函数的概念（能力提升）

26.1二次函数的概念

能力提升题

知识点一根据二次函数的定义求参数

1.（25-26八年级下•浙江宁波•期口）若函数y=（，〃-2）--2+x是关于x的二次函数，则〃?为（）

A.2B.±2C.-2D.0

【答案】C

【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2,且二次项系数不为0,据此列出关

系式即可求出加的值.

【详解】解：•,・函数y=（〃?—2）/'+x是关于x的二次函数，

且〃/一2=2,

解方程＞_2=2,即＞=4,

解得〃?=2或m=-2,

乂,•利-2工0,

/.“H2,

/.m=-2.

2.（25-26九年级，•安徽池州•期天）。=时，＞=（。-1）产"-《十1是关于"的二次函数.

【答案】-1

【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键.根据二次函数的定义，可

得力+1=2,并且注意二次项系数不能为0,即。-1工0,即可解答.

【详解】解：由题意矶42―+|=，

a=±\

解得

a^\

故答案为：-1.

3.（25-26九年级上•广东江门・期口）若函数），=（〃?-3）上汽+2公1是关于K的二次函数，则〃，的值为

【答案】

-3

【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足x的最高次数为2,且二次项系数不为

0,据此进行求解即可.

【详解】解：•・•'=("♦3)户t+2x7是关于x的二次函数，

.,.同-1=2,且〃2-30()，

ni=—3.

4.(25-26九年级上•山东烟台・期天)若、=(〃?+2)/七+2犬+3是关于x的二次函数，则，〃的值为.

【答案】2

【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，解题的关键是掌握二次函数的定义.

根据二次函数的定义，最高次项为二次，且二次项系数不为零，因此需满足指数条件，/-2=2且系数条

件加+2W0.

【洋解】解：因为函数是关于x的二次函数，所以x的最高次项为二次，即“一2=2,

解方程得〃?2=%

所以〃?=2或m=-2,

又因为二次项系数"?+2H0,当〃2=-2时，"7+2=。，不符合条件，故舍去，

因此，“=2.当机=2时，函数为y=4d+2x+3,满足二次函数定义.

故答案为：2.

知识点二参数分类讨论判定函数类别

1.(25-26九年级上•河南信阳•月考)已知函数)，=(〃"〃7)W+松+(〃?+])，机是常数.

(1)若这个函数是一次函数，求机的值；

(2)若这个函数是二次函数，求机的值.

【答案】(1)〃2=1；

(2)!?l=0且〃2H1

【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，当〉—机=0且〃2Ho时，这个函数是一次函数；当

〃—用工0时，这个函数是二次函数，据此即可求解；

【详解】(1)解：当加2-"2=0且〃2工0时，这个函数是一次函数，

此时："7=1;

（2）当加一〃?工0时，这个函数是二次函数，

此时：m。0且〃?。1

2.（25-26九年级上•安徽安庆•期天）已知函数y=（a+l）x“％+（〃—3）x+a,其中〃为常数.

（1）当“取什么值时，它为二次函数？

（2）当。取什么值时，它为一次函数？

［答案］（1）々=1;

（2）a=-l或a=0.

【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键.

（I）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案；

（2）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案.

4+1/0

【详解】（1）解:根据题意，得，।十

a~+1=2

解得。=1；

（2）解：当。+1=0,即。=-1时，原函数为），是一次函数；

当卜？二1"八即。=0时，原函数为y=-2x,也是一次函数，

综上所述，当。=-1或4=0时，y=（〃+l）/"+（。一3）4+〃是一次函数.

3.（25-26九年级上•广西崇左•期末）已知函数y=（〃?+2）『'-2（机为常数），求当用为何值时：

（1）），是x的一次函数？

（2）），是x的二次函数？并求出此时纵出标为64的点的横坐标.

【答案】（1）切=±5/5

⑵加=2,纵坐标为64的点的横坐标±4

【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键.

（1）由一次函数定义得出/-2=1,且〃7+2工0,求出，〃的值；（2）由二次函数定义得出4-2=2,且

〃?+2工（），求出/〃的值.

【详解】（1）解：（1）由题意，得

/zr-2=1>且m+2工0,

解得m=士百，

当"I-土&时，y是k的一次函数；

(2)由题意，得

m2-2=2且〃7+2。0,

解得小=2,

当"?=2时，y是k的二次函数，

当y=64时，4/=64,

解得x=±4,

纵坐标为64的点的横坐标±4.

4.(25-26九年级上•湖北咸宁•月考)已知函数)，=(小+1)广汩+(〃—卜+〃?-2.

(1)若这个函数是一次函数，求〃?的值.

(2)若这个函数是二次函数，求〃?的值.

【答案】(1)〃?的值为T

(2＞的值为1

【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，掌握二次函数和一次函数的定义是解决本题的关键.

(1)根据一次函数的定义即可求解；

(2)根据二次函数的定义即可求解.

【详解】(1)解：•・•)，=(〃?+1)广汩+。〃-l)x+〃?一2是一次函数，

，当加+1-1时,则nr-0，

解得，叫=吗=。，

:.y=(〃2+l)x"”+(〃?一1卜+〃?一2

=(0+l)x^+(0-l)x+0-2

=A-X-2

=-2,不是一次函数，

当〃?+1=0时，则〃?=一1,

.•.)，=(〃？+1)不小讨+(〃？—1卜+〃？―2

=(-l+l)xH)2+,+(-l-l)x+(-l)-2

=0+(-2)x-3

=-2x-3>

综上所述，机的值为-1:

(2)解：•••)，=(〃2+1)/+1+(〃一1■+〃?—2是二次函数,

:，171~+1=2

=1

/«=±1,

当〃?=一1时，y=(〃?+l)x""+("?-l)x+〃?-2

=(-14-1)X(-,)2+,+(-1-1)X+(-1)-2

=-2.r-3,是一次函数，不符合题意，

当相=1时，y={///+l)y,r+1+(m-\)x+m-2

=(l+l)/+,+(l-l)x+l-2

=2X2-H

综上所述，/〃的值为1.

1.（25-26九年级上•江西宜春•月考）【定义】对于函数，若存在自变量％=，时，函数值%=2/,则称该函

数为“倍动点函数''，点&21）为该函数的一个倍动点.

探究I（一次函数）

（1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）；

①y=3x+2是“倍动点函数”，倍动点为（-1,-2）；

②y=2》是“倍动点函数”，且有无数个倍动点；

③y=T+6是“倍动点函数”，倍动点为（2,4）.

探究2（二次函数）

（2）若二次函数）=/-4%+。有一个倍动点为（3,6）,求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若

有，求出这个点.

【答案】（1）②③，（2）c=9,没有其他倍动点

【分析】本题考查/倍动点函数的定义.

(1)根据倍动点的定义，检查每个一次函数是否存在自变量，使得函数值等于27,从而判断结论正误；

(2)将给定的倍动点(3,6)代入二次函数求出&再解方程x2-4x+c=2x判断是否有其他倍动点即可.

【详解】解：(1)对于①：设存在/使得3-2=2/,解得/=—2,此时丁=3x(-2)+2=-4,2f=-4,

•・•倍动点为(-2,7),但结论中给出的倍动点为(-1,-2),故①错误；

对于②：y=2x,对于任意3当工=，时，y=2t,

有无数个倍动点，故②正确；

对干③：当x=2时，y=-2+6=4,2x2=4»

・•.(2,4)是倍动点，故③正确，

故答案为：②③.

(2)将(3,6)代入y=x,-4x+c,得6=3?-4x3+c，解得c=9,

将c=9代入y=f-4x+c,得y=V—4x+9,

令y=2x,则尤2_4X+9=2X，

即d-Gx+guO,解得x=3,

二该函数没有其他倍动点.

2.(25-26九年级上•全国•课后作业)如下图，已知等腰直角三角形4BC的直角边长与正方形MNPQ的边

长均为20cm,4C1与MN在同一直线上，开始时点人与点N重合，让V4R2以2cm/s的速度沿运动，

最终点A与点M重合.

⑴求重叠部分面积y(单位：cm?)关于时间/(单位：s)的解析式，并写出，的取值范围.

(2)当7=5时，求)，的值.

(3)当y=128时,求，的值.

【答案】(1)y=2/2-40r+2(X)(0<r<IO)

⑵y=50

(3)f=2

【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识，根据题意，找到所求量的等量关系是解决

问题的关键，需注意AM的值的求法.

(1)根据AABC是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求

解；

(2)，=5代入函数解析式求值；

(3))*128代入函数解析式计算求解.

【详解】(1)解：是等腰直角三角形，

•••重叠部分也是等腰直角三角形

由题意,得AM=(20-21)cm,

则重叠部分面积丁=gAM?=g(20-2t)2=2t2-40/+200(0<r<IO)；

(2)解：当，=5时，y=2x52-40x5+2(X)=50.

(3)解：当)，=128时，1(20-2;)2=128,

解得A=24=18(舍去)，

:.t=2.

3.(25-26九年级上•广西崇左•月考)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2),在X轴上任取一

点连接AM,作线段AM的星直平分线4,过点M作x轴的垂线*记4，4的交点为P.

(1)线段24与有什么数量关系？

①当点股坐标(2,0)时，点P的坐标是「

②当点M坐标(4⑼时，点P的坐标是

(2)在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P,试着把得到的点尸用平滑的曲线连接起来.观察画出的

曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线.

⑶验证（2）的猜想：对于曲线L上任意一点P,设点。的坐标是（X），），请根据E4与的关系求出-

y满足的关系式.你得出的结论与先前你的猜想一样吗？

【答案】（1）Q4=PM；①（2,2）②（4,5）

（2）见解析，抛物线

（3）%,y满足的关系式为：），=!.，，我得出的结论与先前我的猜想一样，理由见解析

【分析】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，二次函数的定义等等，灵活运

用所学知识是解题的关键.

（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得到答案；

①艰据题意画出对应的图形即可得到答案；

②艰据题意画出对应的图形即可得到答案；

（2）根据题意画出对应的曲线L即可得到答案；

（3）先求出点M的坐标，再利用勾股定理得到（4-0）2+（），-2）2=），2进而推出，由此可得结论.

【详解】（1）解：由题意得，点户在线段AM的垂直平分线上，

:.P\=PM,

故答案为：PA=PM；

①如图1所示，当点M坐标（2,Oi时，点尸的坐标是（2,2）；

故答案为:（2,2）；

②如图2所示，当点"坐标（4,0）时，设点户的坐标是（4,p）,

二42+（p-2）=p2>

P=5,

即点P的坐标是(4,5),

12*

图2

故答案为：(4,5)；

(2)解：观察画出的曲线乙可知曲线上足抛物线，如图3,

P北

X

图3

故答案为：抛物线;

(3)解：我得出的结论与先前我的猜想一样，理由如下:

■:点。的坐标是(苍.V),PM_Lx轴，

vA(0,2),PA=PM,(x-O)2+(y-2)~=y2,

:.x2+y2-4y+4=y2,

•・•得出的结论与猜想一致.

4.（25-26九年级上•陕西西安•月考）【问题提出】（1）如图1,正方形A8C。的边长为6,点E、尸分别在

边AB、4。上（点七不与人、3重合，点尸与A、。重合），巨A尸=3AE,点G为BC边的中点，分别连

接E尸、EG,AE=r（O<r<2）,五边形CQ刀EG的面积为S,求S与f之间的函数解析式;

【问题解决】（2）如图2,在菱形4BC。中，AB=40,ZABC=60。，点P是菱形ABCD内一点，连接

PA.PB、PD,PB=PD,同E、尸分别在边3C、CO上，连逢PE、PF、/EPF=0）。,设AP的长为

x,四边形尸的面积为儿

①求y与X之间的函数解析式；

②当最小时，求四边形PECF的面积.

AFDAD

图1图2

【答案】（1）S=—=J+当+27；（2）@y=—X2-2073X+400X/3；②1（X）6

【分析】（1）根据四边形A4CQ为正方形，边长为6,得出AB=8C=CD=4）=6,结合

AE=t（0<t<21AF=3AEf表示出A/=3/,BE=AI3-AE=6-t,根据点G为BC边的中点，得出

BG=CG=9BC=3,根据五边形CDFEG的面积S=S正方形,刀-S皿-SfiEG求解即可.

（2）①如图，过点、P作PM人BC,PN人CD,在菱形ABC。中，AB=BC=CD=AD=40t

ZABC=60°,ZBCD=120°,N8C4=NACD=60。，证明VA8C是等边三角形，得出AC=8C=40,证

=

明..PME^APNF（ASA）,得出SRYES呐尸,则S四边形尸《?尸=SPEM+S四边形小心

,40-x

=SPNF+S四边形户力仆=,四边形PMCN=2sPMC，根据AP=x>得出PC—AC—AP=40—x»CM=-»

PM=g（40r）,求出即可求解.

②艰据依=0>PB+PD=2PB，得出当心_LAC时，PR最小,此时，点RP,。共线，结合四边形

ABC。是菱形，得出AP=CP,求出工二20,代入①中解析式求解即可.

【详解】解：（1）•••四边形ABCD为正方形，边长为6,

AB=BC=CD=AD=6，

AE=/(0<r<2),AF=3AE,

:.AF=3t,BE=AB-AE=6—t,

•••点G为BC边的中点，

/.BG=CG=-BC=3,

2

/S正方形ABCQ=6x6=36,

113,

S^=-AEAF=-t-3t=-t2,

113

即

S,****0^=—■BE-BG=-x3(6-t)=、—(6-t),

五边形CDFEG的面积S=S正方形ABCD-SAEF-SBEG

33

=36--r--(6-r)

22

Q7

=--t2+-t+21.

22

即S=Ja『+a.+27.

22

(2)①如图，过点P作PMLBC