三角形的中位线-教学设计-初中数学北师大版八年级下册

第六章平行四边形北师大版(2024)

6.3三角形的中位线

一、教学目标

1.通过动手操作、观察猜想，理解三角形中位线的概念，明确中位线与中线的区别，探索并

掌握三角形中位线定理的内容.

2.经历利用平行四边形的性质与判定证明三角形中位线定理的过程，体会转化思想，提升逻

辑推理能力.

3.能运用三角形中位线定理，解决与线段长度、位置关系相关的计算和证明问题，提升几何

问题的分析与解决能力.

二、教学重点及难点

重点：三角形中位线的定义；通过构造平行四边形证明三角形中位线定理.

难点：灵活运用中位线定理解决综合性儿何问题.

三、教学过程

【知识回顾】

教师提问：我们已经学习了平行四边形的判定方法，请大家回忆：有哪些方法可以判定一个

四边形是平行四边形？

【学生活动】独立思考，举手回答，互相补充完善.

教师板竹梳理判定方法：

定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

教师追问：这些判定方法，木我们接下来学习三角形的中位线有什么帮助？

【学生活动】思考交流，明确：可以通过构造平行四边形来解决三角形中的问题.

设计意图：系统复习平行四边形的判定方法，为后续用平行四边形证明三角形中位线定理做好

知深铺垫，搭建“三角形问题转化为平行四边形问题”的桥梁，让学生提前感知转化思想，降

低新知学习的难度.

【探究新知】

探究：三角形的中位线.

教师提问：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方式，将一个

三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？

小明的做法是：如左图，在△ABC中，连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三

角形.如右图，将△AOE绕点E按顺时针方向旋转180°到XCFE的位置，这样就得到

了一个与△42C面积相等的口DBCF.

【学生活动】观察“小明的做法”，动手模拟剪拼过程.

教师讲解：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.

两层含义：

①如果D、E分别为AB.AC的中点，那么DE为公ABC的中位线;

②如果DE为AABC的中位线，那么。、E分别为AB、AC的中点.

【课堂互动】

教师提问1：一个三角形有儿条中位线？请在图中画出AA8C的所有中位线.

学生：动手画图，得出：一个三角形有3条中位线，分别连接三组对边的中点.

教师提问3：二角形的中位线和我们之前学过的二角形中筏有什么区别和联系？请结合图形

【师生活动】小组讨论，对比分析，教师引导并归纳：

相同之处：都是和边的中点有关的线段；

不同之处：中位线是两个中点的连线；

中线是一个顶点和对边中点的连线.

设计意图：通过层层递进的提问，帮助学生准确理解三角形中位线的定义；通过与中线的对比

辨析，突破易混点，加深对概念的理解；通过画图操作，强化几何直观，为后续探究中位线定

理奠定基础.

【探究新知】

探究：三角形中位线定理.

教师提问：从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系

吗？与同伴进行交流.

【学生活动】学生观察图形，结合剪拼过程，提出猜想:

DE和边BC的关系：

位置关系：平行；数量关系：DE是BC的一半.

教师：这个猜想对任意三角形都成立吗？我们需要用严谨的几何证明来验证.

已知：如图，DE是XABC的中位线.

求证：DE//BC,DE=^BC.

教师提问：为证明一条线段等于另一条线段的一半，可否把问题先转化为证明与之有关的某

两条线段相等？怎样获得与巨标线段相等的线段？前面小明的做法对你有哪些启发？

【学生活动】独立思考，小组交流，得出证明思路：延长DE至点F,使EF=DE,连接

CF,构造全等三角形和平行四边形.

证明1：如图，延长DE至F,使FE=DE,连接CF.

VAE=CEfZ1=Z2,DE=FE,

AADE^ACFECSAS).

:・/A=/ECF,AD=CF.

：.CF//AB.

•：BD=AD,：.CF=BD.

・•・四边形DBCF是平行四边形.

：.DF//BC,DF=BC.

:.DE〃BC,且。七二七/二,^。.

2

教师提问：除了上述方法，还有其他证明方法吗？

【学生活动】尝试其他方法，如：过点C作CF//AB,交DE的延长线于点F,证明

△XDEQMCFE,再证四边形DBCF是平行四边形

证明2：过点C作CF〃AB交DE的延长线于F.

・•・ZA=ZECF,

又'：AE=EC,Z1=Z2,

A/\ADE△CFE(ASA),

：.AD=FC,DE=FE,

又'；DB=AD,:.DB=FC,

・・・四边形BCFD是平行四边形.

：.DE//BCMDE=FE=-BC.

2

教师拓展：证明3：如图，延长DE至F,使EF=DE,连接CD、ARCF,

VAE=EC,DE=EF,

・・・四边形ADCF是平行四边形.

：.AD=FC,AD//FC.

又'；AD=BD,

:・DB=FC,

・•・四边形BCFD是平行四边形,

：.DE//BCKDE=FE=-BC.

2

教师讲解：

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于笫三边，且等于第三边的--半.

利用三角形的中位线定理可以证明小明分割的四个小三角形全等.

用符号语言表示：

・・・DE是△/18C的中位线，

/.DE//BC,DE=-BC.

2

教师点拨：三角形中位线定理的应用

(1)位置关系：证明两直线平行；

(2)数量关系：证明线段的相等或倍分关系.

【典型例题】

例.如图，。A8C。的对角线AC与BD相交于点O,E为AB的中点，ZADB=90°,

AC=6,OE=\.

求和8力的长度.

解：•・,0ABC。的对角线AC与BD相交于点0,

：.AO=OC,DO=OB（平行四边形的对角线互相平分）.

VE为AB的中点,

・・・。£是△AOB的中位线（三角形的中位线定义）.

：.AD=2OE=2（三角形中位线定理）.

VAC=6,AO=OCf

AO=—AC=—x6=3.

22

在中，由勾股定理可得==,32—22=亚.

:.BD=2DO=2y/5.

设计意图：通过典型例题，将三角形中位线定理与平行四边形、勾股定理等知识综