2026年高考数学总复习高频考点培优训练：解三角形

解三角形

一、单选题

1.在VABC中，3+c)(sin4-sinC)=b(sin4-sinB),则NC=)

7t-兀八2兀571

A.-B.-C.—D.

633T

【答案】B

【解析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.

因为(。+c)(sinA-sinC)="sin/A-sinB),

所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),即a1—c2=ab-b2,

ab1

22故8sC="+”-

则〃2+Z?-c=ab,==

lab2^b2

又()<C<兀，所以

故选：B.

2.正方形44co的边长是2,E是A3的中点，则£C.£O=()

A.6B,3C.2>/5D.5

【答案】B

【解析】方法一：以｛人叫人。｝为基底向量表示肥，器，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,进而根据数量积的定义运算求解.

UIKUUDUimUUD

以｛人8,4)｝为基底向后，可知

方法一:ABAD=2.ABAD=()f

uunULTLUK1UlULlllUHIBIIUTUUU1ULUuim

贝|JEC=E8+8C=-A8+AO,££)=E4+4D=——AB+AD

22f

uiuuin(\uunuuniuinuun\1uun、uum、

所以ECEO七A8+4D——AB+AD=——AB+AD=-1+4=3；

2J4

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系,

则E(1,O),C⑵2),。(0,2),可得EC=(1,2),ED=(-1,2),

UUUUUII

所以ECEO=-1+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC=45,CD=2,

DE2+CE2-DC25+5-4^3

在上CDE中,由余弦定理可得cos/OEC=

2DECE2x>/5x>/55

umumisuuD]]Uiu厂广3

所以ECED=^c||EDcosZDEC=V5xV5x-=3.

5

故选：B.

3.在V/WC中，内角A艮。所对的边分别为出"若3=1，廿='念，则sin/A十sinC-()

A2底RaRN/7n3M

1313213

【答案】C

IIa

【解析】利用正弦定理得sinAsin。4,再利用余弦定理有，由正弦定理得到疝之A+sin2c的

值，最后代入计算即可.

因为/3=色,〃=2砒,则由正弦定理得sinAsinC=&sin28=’.

3493

a

由余弦定理可得:〃=a2+c2-ac=-ac,

4

Ia1313

即:/+/=—ac,根据正弦定理得sin?A+sin2C=—sinAsinC=—,

4412

7

所以（sinA+sinC7j2A+sin2C+2sinAsinC=—,

=sn4

因为AC为三角形内角,则sinA+sinC>。，MsinA+sinC=.

/A

故选：c.

4.在VABC中，内角ARC的对边分别是a,b,c,若acosB-反osA=c,且C=(,则NA=()

【答案】C

【解析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得-A的值，最后利用三角

形内角和定理可得-A的值.

由题意结合正弦定理可得sinAcos8-sin88sA=sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sin(A4-B)=sinAcosB4-sinBcosA,

整理可得sin8cosA=0,由于86（0,冗），故sin8>0,

IT

据此可得cosA=0,A=],

则B=7l—A—C=7l————=—.

2510

故选：C.

5.已知四棱锥P-ABS的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,NPCA=45。,则△P8C的面积为（）

A.2及B.3拒C.4A/2D.6拒

【答案】C

【解析】法一：利用全等三角形的证明方法依次i止得；孔>O=.PCO,&PDB-PCA,从血得到总=23,

再在.PAC中利用余弦定理求得PA=J万，从而求得尸8=如，由此在△P8C中利用余弦定理与三角形面

积公式即可得解.；

法二：先在AAAC中利用余弦定理求得PA=JF7,cosNPCB=1,从而求得PA-PC=-3，再利用空间向量

的数量枳运算与余弦定理得到关于。丛/3P。的方程组，从而求得=由此在△P8C中利用余弦定理

与三角形面枳公式即可得解.

法一：

连结交于。，连结P0,则。为AC/。的中点，如图，

因为底面A3CD为正方形，A8=4,所以AC=BO=4应，则OO=CO=20,

又PC=PD=3,PO=OP,所以.尸。02，.尸CO,则NPDO=NPCO,

又PC=PD=3,AC=8£>=4夜，所以二一PC4,则以=P3,

在工抬。中，PC=3,AC=4>/2,Z.PCA=45°,

则由余弦定理可得尸42=AC2+PC2-2ACPCCOSNPCA=32+9-2X4X/^X3X^=17,

2

故尸A=JT7,则=

故在△PBC中，PC=3,PB=^、BC=4,

PC2+BC2-PB2_9+\6-111

所以cosZ.PCB=

2PCBC_2x3x43

X0<ZPCB<n,所以sin4PCB=J1-cos?NPCB=迈,

3

所以△P8C的面积为5=,。。.86^11/2。8=~!^3*4乂逆=4丘.

223

法二:

连结AC,8。交于。，连结PO,则。为AC8。的中点，如图,

因为底面A/TCO为正方形，AB=4,所以AC=3O=4>/L

在「E4C中，PC=3,ZPCA=45°.

贝I」由余弦定理可得尸牙=AC2+PC2-2ACPCcosNPC4=32+9—2x40x3xJ=17,故PA二后，

2

而十叱一十=17+9-32y/n

所以cosZAPC=则

2PApc_2x717x3~~

PAPC=\PA|IPC\cosZAPC=V17x3x

不妨记PR=m、NBPD=0,

因为PO=g(尸4+PC)=g(尸8+PO),所以(PA+PC)2=(P3+PO『，

即PA1+PC2+2PAPC=PB~+PD2+2PBPD，

则17+9+2x(-3)="+9+2x3x〃?cos。,整理得"p+6〃2cos1=0①，

又在△尸8。中，BD?=PB2+PD?—2PBPDcosNBPD,32=//i2+9-6/wcos6>,贝U—6mcos0-23=0②,

两式力目力口得2〃』-34-0,故「13—〃1一后，

故在△P3C中，PC=3,PB=d、BC=4,

PC2+BC2-PB29+16-17I

所以cos/PC8=

2PCI3C2x3x4-3

XO<ZPCB<n,所以sinNPCB=Jl-cos?ZPCB=”,

3

所以△P3C的面积为S=，PC/3CsinNPC8='x3x4x延=4及.

223

故选:C.

6.过点(0,-2)与圆/+>,2-4..1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=()

A.1B.巫C.—D.近

444

【答案】B

【解析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解：方法二：根据切线的性质求切线长，

结合余弦定理运算求解：方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得8+必+1=0,利用韦i大定理结合

夹角公式运算求解.

方法一：因为/+,2一4工-1=0,HP(x-2)2+y2=5,可得圆心C(2,0),半径厂

过点60,-2)作圆C的切线，切点为A8,

因为|PC|="2+(-2)2=2加,贝iJ|B4|=一,=JJ,

可得Si必公翁岑,c"PC=品邛,

则sinNAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x画x迈二巫，

444

cosZ.APB=cos2Z.APC=cos2ZAPC-sin2/.APC=㈤[回?=——<0

4J44

即/APB为钝角,

所以sina=sin(n-ZAPB)=sinZ.APB=；

法二：圆Y-4工-1=0的圆心C(2,0),半径厂=行,

过点外0,-2)作圆C的切线，切点为A,8,连接48,

可得|PC|=^22+(-2)2=2&,则归川=|尸同=y]\PC^-r2=x/3,

因刈如「+仍砰2|P/\|-|PZ?|cosZAPB=|G4|2+|C«|22|GA|-|C^|cosZ4C«

且ZACB=7t-ZAPB,则3+3-6cosZAP8=5+5-10cos（兀-4P4）,

即3-cosZAPB=5+5cosZAPB,解得cosAAPB=—一<0,

4

即/AP4为钝角，则cosa=cos(Jc-/AP8)=-cos/AP8=；,

且。为锐角，所以sina=Jl-cos'a='5；

4

方法三：圆W+y2-4x-l=0的圆心C(2,0),半径「=6，

若切线斜率不存在，则切线方程为1=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意:

若切线斜率存在，设切线方程为了=履-2,即履-y-2=0,

整理得&2+8A+I=（）,且△=64—4=60>0

设两切线斜率分别为《为，则乂+为=-8,帖=1,

可得上_&I=J（占+>）2—4占a=2>/15,

所以lana=E——=V15,即sina=岳,可得cosa=半？,

1+桃?cosaV15

则31120+8$%=5"°+独二^=1,

15

且废£（0,兀）,则sina>0,解得sina=巫.

22283

7.在VA8C中，角A,B,C的对边分别为〃，4c,a+c=b--act且AB边上的高等于;A3,则sinC二

（）

A6如Rr372n2石

A.-------D.-------C.------U.---

65272025

【答案】D

【解析】首先根据余弦定埋求cos〃，再结合图形，通过所设边长，结合正弦定埋，即可求解.

由题意得cos8="+"一”=一」,sinB=-

2ac55

设a)_LAA,垂足为。，易知点D在A8的延长线上，如图所示,

不妨设BC=5,则CO=3,3。=4,则4?=2,AO=6,ACny/AD2+CD2=3石，

ACAB

由

sinBsinC■叫©鲁吸

故选：D

-;»则sinC=()

8.在VABC中，角A,B,。所对的边分别为〃，b,c,若2/+/=2ZAsin(A-B)

夜

AB.cD岑

-I3

【答案】A

【解析】根据正、余弦定理和三角的恒等变换的化简计算即可求解.

由题意知，b--a2=1c2

由余弦定理得cz/'+c"苏，_3c13e,

2bc2bc4bc4/7

由正弦定理得CM二鬻

即4cosAsin4=3sinC=3sin(A+4)=3sinAcosA+3$in/，cosA,

cosAsinB=3sinAcos3.又sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA=

3,

所以-2sinAcosB=-2,得sinAcos8=’,所以sinAcos8=，

362

।।2

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=—+—=—

263

故选:A

9.在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,从an8+从anA=-2ctan6,则A()

,2n、5兀

A.7B.—D.—

3ci6

【答案】B

【解析】由正弦定理可得sinBx吗+sinBx瞥=—2sinCx当，利用三角恒等变换可求得8$4=-!,

cosBcosAcosB2

可求A.

根据正弦定理，原等式可化为sinBx""+sin8x受竺=-2sinCx"公，

cosBcosAcosB

进一步化为cos4sin8+sinAsin8=-2sinC8sA,则sin（A+B）=-2sinCcosA,

所以sinC=-2sinCcosA,又OvUv兀，所以sinCwO,所以cosA=-],

又因为0<A<7T,A=^.

故选:B.

10.在VA3c中，内角A及。所对应的边分别是“S,c,若4=3,〃=JB,B=60°,则，=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】由余弦定理建立方程，即可解得答案.

由余弦定理可知//=a2+c2-laccosB，

BP13=9+c2-2x3cxcos60%

整理得C2—3C—4=0,解得C=4或C=T（舍去）.

故选：D.

二、多选题

A11

11.已知小仇c分别为VABC的内角A,B,C所对的边，COS2-=-COSBCOSC+-,则下列说法正确的

222

是（）

A.tan£?tanC=2B.tanA=tanB+tanCC.A<|D.a>h,°>c

【答案】ABD

【解析】由已知结合二倍角的余弦公式可得cosA=cosAcosC,利用三角恒等变换可得tan8tanC=2,可

判断A：利用三角内角和可得tan（A+C）=-tanA,结合两角和正切公式计算可判断B；分类讨论可得

tan5>0,tanC>0,进而lan4>tan及tan4>tanC,进而计算可判断CD.

A\n七1「./RI+COSA1»「1

由cos"—=—cos8cosC+—,UH?----------=—cosncosC+—,

222'222

所以cosA=cosBcosC,所以cos（7t-B-C）=cosBcosC,

所以-cos(B+C)=cos8cosC,所以-cos8cosc+sinBsinC=cos8cosC,

所以sinAsinC=2cos“cosC,所以tanAtanC=2,故A正确;

因为4+8+C=TI,所以A+8+C=TT—A,所以tan(8+C)=tan(兀-A)=—tanA,

，/人小tanB+tanCtanB+tanC

所以一tanA=tan(B+C)=-----------=-----------

所以tanA=tan5+tanC,故B正确；

因为tanBtanC=2,所以tanB,tanC同号,

若lan3vO,tanCv(),又0<RC<兀，此时二v8,Cv兀，显然不符合题意，

所以tan8>(),tanC>。，所以OvB,Cv=,所以lanA=lan8+lanC>0,

2

兀—

所以0<A<-,由tanA=tanB+(anC>0,可得tan4>tan8,tai4>tanC,

2

所以人>叫人〉C,所以3A>兀，所以人>],故C错误；

由A>3,A>C,可得a>c,故DIE确.

故选：ABD.

12.VABC的内角A8,C的对边分别为a〃,c,已知力=IO,26«aW5,/xx)sAcosC+c'COsAcosA=—1?/sa,下

列选项正确的是()

A.s\nA=—B.sinA=sinC可能成立

5

C.V48C可能是等腰三角形D.VA8C面积的最大值为20

【答案】AC

【解析】由三角恒等变换公式结合正弦定理化简即可判断A,反证法假设siM=sinC成立，结合三角形三

边关系即可判断B,假设人=c结合余弦定理代入计算，即可判断C,由三角形的面积公式结合余弦定理代

入计算，即可判断D.

O/c

由正弦定理可得sin3cosAcosC+sinCcosAcos4=J^~sinA,

5

即cos4(sin8cosc+sinCcos8)=J：1^sinA,BPcosAsin(B+C)=sinA,

即sinAcosA=^^sinA,且sin4H0,所以cosA=

55

且Ae(O,/r),所以淅A=jj乎、=乎，故A正确；

假设sinA=sinC,则。=。，又〃=10,26Sa45,则a+c=2a41。，

不满足三角形两边之和大于第三边，故siM=sinC不可能成立，故B错误;

假设〃=c、=10,由余弦定理可得〃2=b2+c2-2bccosA>

2/7

^A«IW-672=100+100-2xl0xl0x^=200-8075,

又2不4。45,即20K/425，

则200-80^4250175《80不07逐4160245《256成立，所以成立,

200-80百>2()018()>806o924逐o8128()成立，所以a226成立，

故C正确；

由三角形的面积公式5="!"bcsinA=1x1Ocx=旧c，

225

由余弦定理可得〃=/?+/一2hccosA.

即〃2=100+/-8石。，且26Wa45，20<a2<25，

卜-3石）卜-5石/0

100+/-8辰425

所以化简可得解得36WcW5逐,

100+C2-8X/5C>20卜-4扃NO

所以c=56时，三角形的面积最大，最大值为S=石。=«x5石=25,故D错误；

故选：AC

13.已知在V48c中，内角A8.C的对边分别为。，b,c,外接圆半径为5,且满足

4sinA+3cos（B+C）+3cos（B-Cl=8,则下列结论正确的是（）

4

A.sin>4=-B.VA3c是锐角三角形

C.b=2y[5D.V48C的面积为10

【答案】AC

3

【解析】利用三角形内角和以及诱导公式，结合辅助角公式可得A正确，求出cosA=-可判断B错误,

再由余弦定理计算可得C正确，代入三角形面积公式计算可知D错误.

因为A+5+C=7t,所以B+C=7t—A,因此COS（8+C）=—COSA；

所以由4sinA+3cos(8+C)+3cos(8-C)=8可得4sinA-38sA+3cos(3-。)=8；

即5sin（A-夕）+38S（A-C）=8,其中cos/=~^nJ=

再由三角函数值域可知5访（人一8）41,85仍一。）41,

因此只有当5仙（4一9）=1,85（3-。）=1时，等式5sin（A-0）+3cos（6—C）=8成立；

因此sin（A-0）=l,即4一°二巴+2也,左eZ,

，冗、（冗、4

对干A,可知sin4=sin。+弓+为=sin（p+-=cos^=-,即A正确；

对干B,由分析可知cos（8-C）=l,即八C；

又4sinA-3cosA+3cos（8-C）=8,sinA=—,

5

3

所以8sA=-：，因此A为钝角，即VA8C为钝角三角形，即B错误；

对于C,由分析知〃=c,且a=2RsinA=8,

根据余弦定理可得cosA=‘,+h~=2"64=_3,

2bc2b25

解得b=2石，即C正确；

对于D,此时三角形面积5=3从川114=3*26x26x1=8,即D错误.

故选：AC

14.已知VABC中角A,B,。所对的边分别为。"，c,满足。2+/-/=华5,女，则下列条件能使丫/1成?

成为锐角三角形的是（）

A.A=-B.a=2,b=3C.a=2,c=3D.b=3,c=2

6

【答案】BC

【解析】由已知可求C=g,对于A,由内角和判断；对于BCD,由余弦定理判断即可.

因为/+〃_°2=拽5

3

由余弦定理可得2a/;cosC=勺8x」a/?sinC,

32

所以tanC=G，

因为Cw（O,兀），所以C=1,

对干A,当A=3时，8=工此时V4BC成为直角三角形，故A错误；

对于B,当。=2,〃=3时・，

由余弦定理可得不=/+从一2a〃cosC=4+9—2x2x3xcos2=7,

3

所以c=",

4+7-9

所以cos3=所以8为锐角，

由〃>c>a,所以8>C>A,此时VA3C成为锐角三角形，故B正确；

对于C,当a=2,c=3时，

由余弦定理可得9=〃+4—2x2xbxcos区,

3

解得〃=1+石，所以82"4+9一°+.),0,所以“为锐角，

2x2x3

由力>c>〃，所以A>C>A,此时VABC成为锐角三角形，故C正确；

对十D,当)=3,c=2时，

由余弦定理可得4=。2+9_2、3乂”崂，即/-3a+5=0，

由于△=9-4x5<0,方程无实根，所以不存在VABC,故D正确.

故选：BC

三、填空题

15.已知点S,A氏C均在半径为2的球面上，V/WC是边长为3的等边三角形，S4_L平面ABC,则

SA=.

【答案】2

【解析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.

如图，将三楂锥S-A8C转化为正三楂柱SAW-ABC,

设V/1AC的外接圆圆心为。一半径为，：

.二一3-3.26

则“sinAACBB，可得〃=G，

T

设三棱锥S-AHC的外接球球心为。，连接0Ao则。4=2,O«=；SA,

因为OK=OQ：+aA2,即4=3+,幼。解得SA=2.

故答案为：2.

【小结】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，

把空间问题转化为平面问题求解；

(2)若球面上四点尸、A、B、。构成的三条线段附、PR、PC两两垂直，且以=〃，PB=b,PC=c,一般

把有关兀素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=〃+/十求解；

(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长；

(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长：

(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位

置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

16.在VABC中，N8AC=6()o,A8=2,8C=,N84C的角平分线交8c于。，则AO=.

【答案】2

【解析】方法一：利用余弦定理求出AC,再根据等面积法求出4。；

方法二：利用余弦定理求出AC,再根据正弦定理求出8.C,即可根据三角形的特征求出.

如图所示：记A4=c,AC=〃,3C=a,

方法一：由余弦定理可得，22+/?2-2x2x/?xcos6()=6,

因为力＞0,解得：8=1+6，

rhsA伙.=sAnn+sMD可得，

—x2x/?xsin60=—x2x/\Dxsin3O+—x/4Dx/?xsin30,

222

4回_2频+6)

=2

解得:.b3+石

i+-

故答案为：2.

方法二：由余弦定理可得，22+^-2X2X/7XCOS60=6>因为力>0,解得：〃=1+6,

由正弦定理可得，-^=—=—,解得：sinB="+&,sinC=—,

sin60sinBsinC42

因为1+所以C=45,4=18()-60-45=75,

又N8AO=30"，所以408=75，\^AD=AB=2.

故答案为：2.

【小结】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义

结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规.

17.在锐角VA5C中,内角ARC的对边分别为〃也c,》=l,siiL4+asin8=6，则VABC周长的取值范围

是,

【答案】,3+6

【解析】先利用正弦定理化简题干信息得出A=方，再利用锐角三角形即可求解角8范围，再利用正弦定理

求出。，。，得出关于角4的函数，最后求该函数的值域即可.

由正弦定理得asin8=Z?sirL4,

sin4sinB

所以sirtA+asinB=siivl+bs'inA=2siih4=6,所以sinA=

2

又VABC为锐角三角形，所以4=々，

0<^<-

:，解得

又

0<C=—-B<-6

32

ab

又——,

siny4sinBsinC

.f2nR

所以"鬻=嘉

OsinCI3GCOSB1,

------+一

sinBsinB2sinB2

所以a+b+c=l+°GCOSBI3GI+cosB

+------+—=—+-----------

2sinZ?2sinB222sinB

r2B

_3g2cos2_361

2sin—cos—tin

222

兀7T

(an-tan-

「兀71l,,7in2

又一<B—<—,且lan—71=tan―----^-=2-73,

1224-123~4,兀71

1+tan—tan

34

所以53e(2-J5,l卜

学,3+6

则〃+》+c=3+—.e

22tan—

故VA3C周长的取值范围是

故答案为:

18.在二A8C中，内角A,B,。所对的边分别是小b,c,点。在边8C上，且AO=C£>=33D.则，的取

b

值范围是.

【答案】(；，+8)

【解析】先由题设4)=8=380=3Mx>0),接着由/4。8+44£9=兀在..4)6和△4£心中结合余弦定

理得〃2+3/=48/及/范围，再设/二：建立不等式0<二手<367,解该不等式即可得解.

b3/-+1

由题可设A£)=CZ)=33O=3Mx>0)，

因为/4O8+ZA£)C=7r,所以8$"54=—85//花心，

所以由余弦定理有/=V+9.r2-2x•3xcosAADB=10x2-6x2cosZADB,

b2=9x2+9.r-23「3.rcosZADC=18x2+18x2cosNADB,

所以/+3c2=48/,再由cos/ADBw(T,1)得〃？=18/(]+-sZAO8)«0,36f),

设，=f,则〃*+3rb2=48.r2=>b2='

b3/2+l

所以0v4Sa<36.r=/>，即/=

3r2+l9b3

所以b/取值范围是6T・

1

故答案为:-,+oo

3

四、解答题

19.记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+百cosA=2.

⑴求A.

⑵若a=2,®sinC=csin28,求VA4c的周长.

【答案】（1）4=2

6

(2)2+#+3&

【解析】（I）根据辅助角公式对条件sinA+Gcos4=2进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三

角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量枳公式，万能公式解决;

（2）先根据正弦定理边角互化算出8,然后根据正弦定理算出Ac即可得出周长.

(1)方法一：常规方法(辅助角公式)

fhsinA+GcosA=2可得,sinA-=I,即sin(A+3=l,

223

由于4W(0,TT)=A+9(9马，故A+g=g,解得A=g

333326

方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）

由sinA+GeosA=2,又sin?A+cos°4=1,消去sin八得至I］：

4cos2A-4-75cosA+3=0<=>(2cosA->/3)2=0,解得co*4=正，

2

又A”,故7

方法三：利用极值点求解

设/(x)=sinA+73cosx(0<%<兀)，则/(x)=2sin卜+］卜0<X<TT),

显然4=三时,/(x)nm=2,注意到/(A)=sinA+GcosA=2=2sin(A+m),

63

"0皿=/(A),在开区间(0,北)上取到最大值,于是x=A必定是极值点,

即〃(A)=0=cosA-GsinA,GPtanA=—>

3

又Aw(0,兀)，故A=?

6

方法四：利用向量数量积公式(柯西不等式)

a=(l,V3),b=(sinA,cosA),由题意，a-b—sinA4-43cosA—2,

根据向量的数量积公式，a6=kll〃|cos(a,A)=2cos(a,Z?),

则2cost/,/?=2ocosa,b=1,此时«,/?=0,即a,〃同向共线，

根据向量共线条件，1<0$74=66也/101&114=且，

3

又Ae(0,7t),故A=£

6

方法五：利用万能公式求解

设/=tan4，根据万能公式，sinA+逐cosA=2=•'、+。

21+-]+尸

整理可得,产—2(2—Gw+(2—6)2=0=。一(2—6))2,

解得tan±=/=2-G,根据二倍角公式，3A=0・立，

2\-t23

又Ae(0,7i),故A=g

(2)由题设条件和正弦定理

>/2^sinC=csin2300sinBsinC=2sinCsin4cosB，

又B,Ce(0,7r),则sin^sinCVO,进而cosB=巫，得到8=f,

24

于是。=兀一4一8=4,

12

sinC=sin(n—A—B)=sin(4+B)=sin八cosA+sinBcosA=+、'

4

2bc

由正弦定理可得，==即-£=一三=二方，

sinAsinBsinCsm—sin—sin—

6412

解得b=2V2,c=yjb+x/i"»

故VABC的周长为2+C+3夜

20.记VAAC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinC=&cos8，a2+b2-c2=y/2ab

(1)求B;

（2）若VA3C的面积为3+G，求C.

【答案】（l）3=g

J

⑵2&

【解析】⑴由余弦定理、平方关系依次求出cosCsinC,最后结合已知sinC=&cosB得cosB的值即可；

（2）首先求出ARC,然后由正弦定理可将〃泊均用含有。的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程

求解.

（1）由余弦定理有-c2=24•力cosC,对比已知"+〃2—c?=&他,

可得8SC=《^W=®=巫，

2ab2ab2

因为Ce(O,7t),所以sinC)0,

从而sinC=>/1-cos2C立,

2，

又因为sinC=JJcosB，即COSB=Q,

注意到8«0,兀），

所以>=

(2)由(1)可得B=1,cosC=>Ce(0,7i),从而C=(,A==^2,

而由dsi©=sinF=正3+名L"”

[\2)(46j22224

a_D_c

由正弦定理有.5冗一.兀一.a,

sin—sin—sin—

1234

从而〃g.缶,二更L,/「且・&c="c,

4222

由三角形面积公式可知，VA3C的面积可表示为

c1八.厂1G+1瓜&3+62

8=—absinC=-------c---c---=------c,

由ARr222228

由已知VABC的面积为3+6，可得把叵C,2=3+G，

8

所以c=2>/2.

21.记VAAC的内角ARC的对边分别为。也c,已知VA8c的面积为。为4C中点，且AO=1.

(1)若乙4℃二三，求tan8：

(2)若从+d=8,求。,c.

【答案】⑴当；

(2)b=c=2.

【解析】(1)方法I,利用三角形面积公式求出。，再利用余弦定理求解作答；方法2,利用三角形面积公

式求出。，作出AC边上的高，利用直角三角形求解作答.

(2)方法1,利用余弦定理求出再利用三角形面积公式求出/ADC即可求解作答；方法2,利用向量

运算律建立关系求出。，再利用三角形面积公式求出/ADC即可求解作答.

(1)方法I：在VABC中，因为D为AC中点，ZADC=^tAD=\,

1&GIx/3Anza«

-cix—=—ci=-cSw=—,解得。=4,

2282'血2

在4480中，=y,由余弦定理得C2=4D2+AQ2—24D.A°COSZAO3,

即c?=4+l—2x2xlx(-!)=7,解得c="，则cos8=7*l=逆,

22x/7x214

由I4.sinB&

所以