性质的证明（五）立体几何

3.5性质的证明(5)立体几何

1.【人教A版选择性必修第一册习题1.1,第9题】

如图，在四面体O48C中，OAA.BC,OB^AC.求证：OCLAB.

2.1人教A版选择性必修第一册习题1.1,第10题】

如图，在四面体。48。中，OA=OB,CA=CB,E、F、G、”分别是。4、OB、BC、C4的中点.

求证：四边形EfG”是矩形.

3.【湘教版选择性必修第二册2.2节例5】

设A8C力是空间四边形，求证：ACYBD—AB2+CD1=BC2+DA2.

4.【人教A版选择性必修第一册习题1.2,第8题】

已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直.

5.12007港澳台华侨联考，23]

如图，在四面体A8C。中，已知A8=CO=8,8c=10,

AC=BD=12,E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.

(1)求EF的长；

(2)证明互相垂直平分.

6.12025浙江学考，20]

如图,正方形48。在平面a上的平行投影(AA|〃88|〃CG〃。。])

是四边形451G5.

(1)证明:平面AA止山〃平面A5GC；

(2)若_LOQ,AA\=DD\=2»AB=/1|B|=BB\=1.

(i)证明：A\D\_L平面DDyCyC-,

(ii)求多面体AA/iB-的体积.

7.12013湖北・19】题号位置：⑰⑱。⑳⑥⑥

如图，48是圆O的直径，点。是圆O上异于4,8的点，直线尸C_L

平面ABC,E,尸分别是El,PC的中点.

（1）记平面BEr与平面A8C的交线为/,试判断直线!与平面PAC

的位置关系，并加以证明；

（2）设（1）中的直线/与圆。的另一个交点为。，旦点。满足

员=g浮.记直线尸。与平面A8C所成的角为。，异面直线

P。与E尸所成的角为a,二面角E—/—C的大小为0,求证:

sin。=sinasin/j.

8.12013湖北，文20】题号位置：⑱⑥⑳㉑@

如图，某地质队自水平地血A,B,C三处垂直向地下钻探，自

A点向下钻到4处发现矿藏，再继续下钻到4处后下面已无

矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为442=小.同样可得

在8,C处正下方的矿层厚度分别为4避2=刈，CQ=d3,且

Ji<d2<d3.过43,AC的中点M,N且与直线A/h平行的平面

截多面体ASG—A282c2所得的截面DEFG为该多面体的一个

中截面，其面积记为S中.

（1）证明：中截面DETG是梯形;

（2）在A48C中，记8c=m8c边上的高为爪曲积为S.在估测三角形45c区域内正下方的

矿藏储量（即多面体—小82。2的体积V）忙，可用近似公式匕占=5中•〃来估算.已

知V=g（di+d2+d3）S,试判断V估与丫的大小关系，并加以证明.

9.12000上海春，21】

四棱锥?一ABC。中，底面A8CQ是一个平行四边形，港=（2,-1,一4）,启=（4,2,0）,#=

（-1,2,-1）.

（1）求证：以_L底面A8CD；

（2）求四棱锥P—A8C。的体积；

（3）对于向量才=（xim,zi）,7?=（孙），3/3），定义一种运算：（寸xR）・/=

X，2Z3+X2y3Z\+X3），lZ2-X|）'3Z2一工2）'"3-X33'2Z卜

试计算（港X。）.看的绝对值的值；说明其与四棱锥P-48CQ体积的关系，并由此猜想向

量这一运算（/x启）•港的绝对值的几何意义.

10.12004上海春，20]

如图，点尸为斜三棱柱"C-ABC的侧棱上一点，交A4]于点M,PNLBB、交

CCi于点N.

(1)求证:CCilMJV；

(2)在任意△£)£：尸中有余弦定理：DE?=DF2+EF2—2DF•EFcosNDFE.拓展到空间，类比三

角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,

并予以证明.

4

H.[2021八省联考，20]题号位置：

北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要

内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2乃与多面体在该点的面角之和的

差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多

面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面

角是所以正四面体在各顶点的曲率为2兀-3、^=冗，故其总曲率为4加

(1)求四棱锥的总曲率；

(2)若多面体满足：顶点数—棱数+面数=2,证明：这类

多面体的总曲率是常数.

7.5性质的证明（5）立体几何

1.【答案】利用向运算，得盛•龙=0,所以OCUB.

2.【答案】由&EG,“分别是。4,OB.BC,。的中点，可证四边形是平行四边形.又

△5OC言ZVIOC,可得N80C=N40C,故

球标=；5?=［（苏—/）/=:（苏./_//）=0,

所以球_L漏.所以四边形E/G”是矩形.

3.【答案】因为

AB2-\-CD2-BC2-DA2

=港2+（启―就）2_（就_确2_份

=德+启2+值_2启.就一就2_德+求.筋一启2

=盛•港一族发

=2^•（磊一启）

=盛•玄

所以

ACLDB就•凉=0

—AB2+CD2-BC2-DA2=0

U>4B2+CD2=BC2+DA2.

注：有一个己知条件是“ABC。是空间四边形”，仔细检查证明过程，发现没有哪一步用到这个己

知条件.将这个已知条件去掉，改为“A8C。是平面四边形”，证明过程仍然成立.

【解题思路】如图，所要求证的结论中既有垂直关系，又有线段长度的平方关系，这很容易让人

联想到向量的数量积及模.于是，我们可以从点A出发作向量/、正、启，从而将题中所涉及

的线段都用这三个向量表示出来，再运用向量的数量积等知识证明所要求证的结论.

4.【答案】如图，设氯=a,@=b,重=c,

则+[c,=-£-?b+!c,拓$=-+[b-1c.

222222222

22、，

由EF=GH=MN,得(一++=(—[a—+=(—+-1c).

\222/\222/\222/

展开得。•bnacncb,所以。(b-c)=0.

又因为a#0,b-c/0,所以研_L/.同理可证品_L就，文，港.

5.【答案】(1)连接力八BF,由题设知△/1C。会△BOC.

作为全等三角形对应边上的中线，有A产=8凡……3分

因为E尸为等腰三角形底边中线，所以EF_L4B,且EF?=AF2一;AB2.

4

在△AbC和△AA'。中，由余弦定理，

AC2=A尸2+C尸2—24尸•CF•cosZAFC,

AD2=AF2+FD1-2AFFD-cosZAFD.

因为乙4尸。+乙4/。=180°,ftCF=FD=^CD,

所以4尸2=；(AC2-FAD2)-1c02,

因此，EF2=^(4C2-^-AD2-AB2)=；(144+100-64),

5分

故E尸=3，nk7分

(2)连接EG,EH,FG,FH.因EG〃BC,FH//HC,所以EG“FH,E,F,G,H共面,……10分

且EG=/”=18C,EH=FG=2AD.

22

又由题设知AO=BC,所以EG=FH=EH=FG,...12分

故四边形GEHF是菱形，所以EEG”互相垂直平分.……14分

6.【答案】(1)证明：因为AA|〃CG，AAiC平面。QCC，CQU平面。QCC，所以44〃平

面DD\C\C.

因为A8〃CQ,/Wg平面OQiGC，COU平面。。CC，所以〃平面。QiGC

又因为4A|GA8=A,A4.48U平面A4[818,所以平面44|8出〃平面。功。】。.

(2)(i)证明：因为44=。力，所以AANi。是平行四边形，所以AO/M1。.

XAD1DC,所以

因为A|O]J_QiG，QC与DiG相交，所以4。1_L平面OQiGC.

(ii)解法1：直接法

由(1)知平面A4[8]8〃平面D5GC,

又因为平面4n平面a=A|8i，平面。QiGCn平面Q=O|C|,所以A|8|〃Q|C|.

同理，51cl.所以AD〃45〃51ci〃5C.

又平面AA\B\BM平面DDjCjC,A\DX±平面DDXC\C,

所以多面体—OQCC是直四棱柱，高4。]=4)=AB=1.

解法2：割补法1

如图1,设平面ABCOna=石尸，由解法1知多面体AAiE-O0尸和BBif-CG/7均为直三棱

柱.所以

IIV33^3

v=yAAiE-DDiF-VBBIE-CCIFXXX----X1X1X

=~22^-~T=~T~

乙乙乙

解法3：割补法2

如图2,过点8作8G〃4/i交44于点G,过点。作。"〃。|。|交。5于点从

则

6I\/33\/3

V=VAfBiBG-DtCtCHVAGB-DHC=1X1X—+-X1X1X

解法4：割补法3

如图3,过A点作4出1的平行线与8出相交于点M,过点。作。iG的平行线与GC相交于点

N,则

・，・，,，・八，5,1、6373

V=VAA}BIM-DDICN-KXBM-DCN=Ix2x—x1--x1x1x———4―.

【易错警示】本题是一道经典的立体几何问题，起点合适，入口颇宽，可由多条路径解决，仔细分

析题意，合理选择方法是本题的关键.阅卷发现，学生解题反映出以下情况.

(1)知识和技能方面如面面平行和线面平行概念混淆、判断或性质定理不清晰等，导致答题不正

确，具体表现为：正投影和斜投影概念不清晰，混为一谈，对面面平行、线面垂直判定定理没有

深刻理解，多面体体积公式使用混乱.如部分学生默认投影相互平行G5〃AS，采用两平行直

线和另一平面平行44〃面DDCC,BB\jj面DD\C\C^面ABA]//面等.

(2)答题技巧与规范性很多学生在答题过程中存在一些问题，具体表现如下：①曲线线平行直

接推理得到面面平行，如AA\[CC\,AB//CD今面ABA}//面Z)Z)iC|C；②线面垂直的判定定理

推理逻辑出现偏差，如不从已知条件出发进行推理，如4|Q|J_GO|=。射|〃面

DD\C\C.

(3)创新思维与批判性思维隹第三小题体积求解部分，学生能从不同的视角来看待几何体的体积,

设计各种不同路径且富有创意的求解方案，其中不乏看似简单实则巧妙的方案，如部分学生将已

知几何体补形成一个直接柱，或割补成两个棱柱等，都展现出学生较强的创新思维和创新能力,

充分展示了日常教学中教师对学生几何直观素养的精心培育.

7.【答案】（1）解法1:直线/〃平面以C,证明如下：

连接E凡因为E,尸分别是以，PC的中点，所以

又E尸C平面ABC,且ACU平面A8C,所以〃平面A8c.

而石尸U平面8石尸，且平面BE尸0平面ABC=/,所以E/〃/.

因为平面以C,平面小C,所以直线/〃平面小C.

解法2：作则4MU平面A8C.

连接K”，因为E,r分别是以，PC的中点，所以“//AC.

则有BM〃七工故8MU平面8E广.

所以BM是平面ABC与平面BEF的交线/,故I/1平面APC.

（2）解法1（综合法）：如图1,连接80,由（1）可知交线/即为直线80,即//MC.

因为是。。的直径，所以AC_L8C,于是/_L8C.

已知PC_L平面AAC,而/U平面AAC,所以PCL/.

而PCCBC=C,所以/J_平面P8C.

连接BE,BF,因为8FU平面尸8C,所以/_L8F.

故NC8尸就是二面角七一/一。的平面角，即ZCBF=B.

而员=：打，作QQ〃CP且OQ=；CP.

连接PQ,DF,因为尸是CP的中点，CP=2PF,所以OQ=PF,

从而四边形OQPr是平行四边形，PQ//FD.

连接CD,因为PC_L平面ABC,所以C。是尸。在平面ABC内的射影，

故NCOb就是直线PQ与平面48r所成的角,即NC。尸=8.

又BOJ.平面PBC,有BDLBF,知/B。尸为锐角，

故/BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即/BDF=a,

于是在RtZXOC八RtAF/W,RtABCF4«,分别可得

•.«CFBFCF•°

^sinasin^_,_=_=sin0,即sin0=sinasin0.

解法2：（向量法）如图2,由反,作■DQ'CP,且OQ=gcP.

连接PQ、EF,BE,BF,BD,ill（1）可知交线/即为直线BD.

以点c为原点,向量A,d,d所在直线分别为x.y.z轴，建立如图所示的空间直隹坐标系，设

CA=a,CB=b,CP=2c,则有

C(0,0,0),A(a,O、O),8(0也0),P(0,0,2c),Q(a.b,c\E&,0,c),F(0,0,c).

于是显=(g〃,0：0),/=(—a,—"c),lit1=(0,—b,c],

|显协x/b^+c2

所以cosa=,从而sina=\J\—cos2a=

屐|.瓦|―Va2+b2+c2Va2++c2

c

又取平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),可得sin。=

设平面BEF的一个法向量为n=(x,.y,z),

1

n-显=0,-ax=0.

所以由可得<2取"=(0,c,〃).

昴=0,

n-—by+cz=0.

于是|cosp|=T^%=-//,，从而sinp='l_cos20=i：

....Qx/b2-^c2

故sinasin=/1=sin0,

Va2+〃2+。2，Z>2+/27/2+方2+.2

即sin8=sinasin0.

【实测数据】阅卷数据如下.

题号满分平均分标准差难度区分度零分率满分率

19123.423.350.290.6822.21%1.66%

19(1)42.091.510.520.6523.53%15.74%

19(2)81.332.360.170.5560.62%3.69%

【易错警示】本题考生思维受阻与典型失误主要反映在思维逻辑混乱、说理不清、证明叙述不够

严谨规范上.

(1)证明叙述不规范，关键的步骤缺乏应有的叙述，比如第(1)问中部分考生漏掉对E尸〃平面

A8C的说明，第(2)问中在求线面角、异面直线所成的角时，忽视对重要的平行或相等关系

的叙述说明，丢掉步骤分，或是作图没有必要的交代说明，找角没有应有的推理过程，忽视了

“作-证--算"的基本步骤；

⑵思路混乱，逻辑推理不到位，目标层次不清晰，因果颠倒，部分考生无法确定交线的位置，企

图蒙混过关；

(3)粗心导致的低级运算错误，笔误层出不穷，比如尽管空间直角坐标系建立对了，但将相应点的

坐标写错了，平面的法向量求错导致后续出错.

(4)用向量法作答时，建立坐标系不恰当，或者基础变量选取不恰当，导致运算量增大.

⑸少数考生建立坐标系后，取特殊值代入运算，在本质上改变了问题.

8.【答案】(1)依题意人|42，平面八8。,e82_1平面人8。(1。2_1平面人次:，所以/132〃8由2〃6。2.

又一]42=4,B[Bz=d?,C\C2=d3t且&Vd2Vd3,因此四边形AA&Bi、4A2c2cl均是梯形.

由AA2〃平面ME尸N,AA2U平面人心历丛且平面平面=可得A42〃ME，

即A1A2//DE.同理可证4心〃尸6,所以。E〃/G.

又M、N分别为45、4c的中点,则。、E、F、G分别为4/]、」&、42c2、41cl的中点,即

DE、尸G分别为梯形41A2比5、A]A2c2G的中位线.

因此DE=：（AI42+〃i&）=+<，2），FG=：（4142—GC?）=；（力+」2），

而山<42cd3，故DE<FG,所以中截面DE/G是梯形.

（2）修古<忆证明如下：

由A1A2,平面ABC,MNU平面48C,可得A/hLWM

而EM〃4/2，所以EMLMN,同理可得rNJ_MN.

由MN是△4BC的中位线，可得MN=；BC=%即为梯形DEFG的高.

因此S中=S梯形力"G=；（"■署+笔"）£=（（2"1+刈+心），

即匕占=Sqih=f（2由Id2I心）.

o

又S=?ah,所以V=[⑷+刈+da）S=”（力+42+小）.

23o

于是V—V估=+〃2+”3）—^（2d|+〃2+“3）=既（12-山）+（由一%）卜

由di<d2<“3，得d2-di>0,（h-d\>0,故匕占<V.

【实测数据】阅卷数据如下.（注：考试人数120203）

题号满分平均分标准差难度区分度零分率满分率

文20131.852.070.140.6229.00%0.027%(32人)

文2(X1)61.361.240.230.6230.26%0.13%(161人)

文20(2)70.491.260.070.4175.08%0.81%(975人)

9.【答案】(1)因为N.港=一2-2+4=0,所以AP1AA.

又因为港•笈=-4+4+0=0,所以AP_LAO....2分

所以人民人。是底面ABCD上的两条相交直线.

所以AP_L底面48CO....4分

(2)设港与的夹角为仇则cos8=仆仆-=—/—82/=，—

\A5\\AD\v/4-bl+16vzT6+4\/105

=|vT()5y1-W7\+4+1=16

……10分

（3）|（公乂启）•港|=|-4—32—4-8|=48,...14分

它是四棱锥P-ABCD体积的3倍.……16分

猜测：|（耳乂元）.#|在几何上可表示以AAdQ、”为棱的平行六面体的体积（或以AR4Q,”

为棱的直四棱柱的体积）....18分

10•【答案】（1）因为CCj/BBi，所以CG_LPM,CG_LPN,且PM、PV相交于点P,

所以CG