2025-2026学年高一数学下学期期中测试卷【平面向量+复数+立体几何初步】【解析版】

高一数学下学期期中测试卷(人教A版必修第二册)

第六章-第八章平面向量+复数+立体几何初步

建议用时：120分钟，满分：120分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

I.已知万是复数z的共枕复数，z-i=l(i为虚数单位)，则Z的虚部是()

A.1B.iC.-1D.-i

【答案】A

【分析】利用复数的除法计算万，再利用共枕复数以及复数的定义即可.

【详解】，7=1,则万=—=-i,则2=力故z的虚部是1.

故选：A

2.如图，△48。是利用斜二测画法画出的RtA/lB。QABO为直角)的直观图，Rt△的面积为16,

图中0E=4,过点4作4C1Y轴于点。，则4。的长为()

A.1B.V2C.2V2D.4V2

【答案】C

【分析】利用面积公式求出原△480的高AB,进而求出4B,然后在RtZ\ABC中求解即可.

【详解】在△ABO中，乙4B0=W，由△48。的面积为16,OB=O,B'=4,

得148・0B=16,则48=8,A,B'=4,而々ABC=*4。1大轴于点(7,

所以4C'=A'B'-sin?=4X9=272.

故选:C

3.已知非零向量获满足a=(2,-1),bl(b-4a)t则|2五一同=()

A.2^5B.20C.V10D.2V10

【答案】A

1/18

【分析】先通过向量垂直的条件得出了与3i的关系，再计算12日一瓦2,最后开方得到I2Z—M的值.

【详解】已知五=(2,—1),根据向量模氏公式可得：|可=02+(-1)2=后

2

因此五2二|可2=(“)=5,

因为石1日一4均，根据向量垂直的性质有：b-(b-4a)=0,即E=4ab,

所以12d—b\2=(2a—b)2=4a2-4a-b+b2,

将匕2=5和9=42.取代入得：4x5—4a-b+4a-b=20,

由|2五一囱2=20,所以|2五一瓦二2」.

故选:A.

4.在△HBC中，若乙4=60°,b=lf△/BC的面积S=8，则喘'=()

2

A.3V3B.3

2>/39

C.竽D.3

【答案】D

【分析】先由面积公式求出c,再由余弦定理求出a,代入求解.

【详解】由S=gbcsinA,得。=点『铠£=4,

又由余弦定理a?=b2+c2-2bccosA=l24-42-2x1x4x1=13,

所以a=g,

所以啖=骡=型直，

7/1

八sin4—23°

故选：D.

5.在正叫棱台ABCO—A/CiDi中，/W=2,4i8i=1/4，则该棱台的体积为()

A.岁B.21份D.7V6

66C•平~3~

【答案】C

【分析】结合图形，依次求得必01/。/1”,从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过①作4M14C,垂足为M,易知为四棱台ABCD-Ai/CMi的高,

因为48=2/181=l.AAi=6，则41。1=&A1B1=yJl,AC=>12AB=2近，

则401=^AlCi=^xy/2A1Bl=辛/0=^AC=^XynAB=企，

2/18

故4M=；G4C_A1CD=乎，则力iM=JAI\2-AM2=」2一；=亭

所以该棱台的体积为V=gx（4+l+"V7）x^二*

故选:C.

6已知非零向量硒而满足（编+匐

•丽=0,且I而一前I=2式,|通+正I=6立，点D是△ABC

的边力〃上的动点，则丽•瓦的最小值为（）

A.-1B.-（C.0.

【答案】D

【分析】由题意条件可知，AB=AC,取8C的中点E,连接力E,则力E1BC,BC=2丘,4?=3VLBE=

«由极化恒等式得到方•沃=OE2—2,进而求出ED的最小值，得到答案.

【详解】因为肃田分别表示荏与元方向上的单位向量，

所以蕾+蚤表示乙/MC的平分线上的共线向量，

\AB\\AC\

乂（哥匐反=。，即磊+等疯垂直，

由三线合一可知，AB=AC,

如图，取8c的中点E,连接4M9AAE1BC,

又|南一元|=2y/2,\AB+AC\=6vL其中万一元=而,荏+而=2AE,

所以BC=2&,AE=3V2,故BE=a,

由于丽+万？=2无，~DB-~DC=2EB,两式平方相减可得

~DB~DC=DE2-BE2=DE2-2,

当ED1/18时，EO取得最小值,

其中由勾股定理得力5=7AE2+BE2="8+2=2瓜

uAE,BE_3-2_375

故!nF=AB~2V5

3/18

2

故而♦玩的最小值为（啕-2=-1.

故选：D

7.在△4BC中，AM=^AB+^ACtCN=^CB+^CA,4M与CN交于点P,且而=%而+丫元（%了ER）,则

x4-y=（）

A.yB.-C.~D.I

【答案】B

【分析】根据题意结合三点共线的判定定理和结论分析可得2x+y=l和x=3y,运算求解即可.

【详解】因为丽=癖+攵彳，则N为48的中点，=xAB+yAC=2xAN+yAC,

注意到&P,N三点共线，可得2%+y=l,

又因为4P,M三点共线，则而||询，

则存在实数匕使得而=kAM,即%荏+yAC=k^-AB+-^C）=争布+河，

/弘

J--

则

得

)2可X=

-3y

\4一

21

综上所述：｛^V3y»解得》=3y=*可得％+y=*

故选：B.

8.在棱长为1的正方体小斗。/。,一48。。中，M为底面4?。的中心，0是棱小。/上一点，且DiQ=/l

以小，/16[0,1],N为线段力。的中点，给出下列命题：

①CN与QW共面；

②三棱锥A—DMN的体积跟/的取值无关：

③当入=/时，AMLQMx

④当入时，过40,M三点的平面截正方体所得截面的周长为吟西.

其中止确的是（）

4/18

A.①②③B.①②④C.①③⑨D.②③④

【答案】B

【分析】对于①可得MN〃CQ,可判断：对于②N到平面48CZ）的距离为定值f且△4DM的面积为定值

可判断；③分别求出AM,QM,4Q的长，验证是否满足勾股定理，从而判断;对于④先将过4。，M的截

面分析做出，再求周长可判断.

【详解】解：在中，因为M,N为4C,力。的中点，

所以MN〃CQ,所以CN与QW共面，所以①正确:

由以一OMN=yN-ADM^

因为N到平面ABCD的距离为定值1且△40M的面积为定值

所以三楂锥A-DMN的体积跟入的取值无关，所以②正确；

B

5/18

222

当2时，&Q=*可得4M2=；,AQ=AAX+ArQ=1=

取的中点分别为N,E,连接EN,EM,则EM2=MN2+EN2=1+1

2222

在直角三角形MEQ中，QM=ME+EQ=@丫+(1)+P=11

^\AM2+QM2>AQ2,所以AMJ.QM不成立，所以③不正确.

当4=:时，取万了=可G,连接HC,则HQ〃&Q,又4C〃&Ci所以HQ〃4C

所以4M,C,H,Q共面，即过力，。，A,三点的正方体的截面为力C77。，

由4Q=CH=J7+1=笔则ACHQ是等腰梯形，且Q"=为的=乎

所以平面截正方体所得截面的周长为1=V^+¥+2X口胃=吟且，所以④正确;

所以正确的命题是①②④，

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量五二(1,1),b=(-l,x),下列结论正确的是()

A.若五1br则％=1

B.若由诙则x=-1

C.若出B的夹角为钝角，则.V的取值范围为(一8,1)

D.设五在加方向上的投影向量为访，贝”利的取值范围为[0,&]

【答案】ABD

【分析】对于A,根据平面向量垂直的坐标表示求解判断即可；对于B,根据平面向量共线的坐标表示求解

■*一

判断即可；对•于C,由乙石的夹角为钝角可得。・匕=-1+%<0,且乙E不共线，进而求解判断即可；对广

6/18

2

D,可得m=专沪，换元嗜^=3利用判别式法求解判断即可.

【详解】因为向量上=（1,1）,b=（-l,x）,

对于选项A：若益_L^Ma-b=-l+x=O,解得义=1,故A正确；

对「选项B：若五〃反则?=*即X=—1,故B正确；

对于选项C由五万的夹角为钝角，则2不=-1+X<0,且1方不共线，

可得无<1且工工一1，所以X的取值范围为（一8,—1）U（—1,1）,故C错误;

对于选项D：因为五b=-1+x,\b\=>Jx2+1,

Hl|T+x|中益二2x2-2x+l

则1叫二甘=而言，可得m

令飞「二t,则（l-g2-2无+l-t=O,

当l-t=O,即t=l时，可得％=0,符合题意：

当1一士工0,即tHl时，则A=4—4（1一£）2NO,解得0WtW2且£看1,

综上所述：0WtW2,即|沆|的取值范围为［0,立卜故D正确.

故选:ABD.

10.如图，四边形48CD为正方形，EDl^ABCD,FB//ED.AB=ED=2FB,记三棱锥E-4CD,

F-ABC,尸一4;£的体积分别为匕,1/2，匕，则（）

【答案】CD

【分析】设/B=a,则48=EO=2a.根据棱锥的体积公式分别计算出％,匕，将题中多面体补成正方体,

可求得匕，然后依次判断各选项即可.

【详解】因为ED1平面A8CD,FB//ED,ED=2FB,所以『81平面A8CD.

设FB=a,则力B=ED=2a.

所以h=^CDED=竽V2=^S^BCFB=竽.

7/18

把多面体补成如图正方体:

WF-ACE—(2。)'­VE-GAFH—^E-HFCI-E-ACD-F-ACB-

33

^E-GAFH=|><("+铲2ax2fl=2d,VE_HFCI=1x3竽2a、2Q=2fl.

所以匕=^F-ACE=8a3—2a3—2a3—-=2a3.

所以％H2V2，匕H2，i，匕=匕+卜2，2V3=3%.

故选：CD.

11.已知△ABC不是直角三角形，内角4,B,C所对边分别为a,b,c,sia4sin(C-8)=sin8sin(4—C),

则()

A.a2+c2=2b2

B.C的最大值为g

—+—i—2

C.tan4tan/?tanC

c___.c、l-2cos2C

D.COSf("B)=F^

【答案】BCD

2

【分析】A选项，利用三角恒等变换得到sin2c=2sinAsinBcosC,再由正弦定理和余弦定理得到。2+b=2

c2,A错误；B选项，结合。2+〃=2c2得到COSC=&=吟3由基本不等式求出最俏，外介余弦函数单

调性得到Ce(o,4；C选项，利用同角三角函数关系及sin2c=2sirt4sin8cosC可变形得到；D选项，根据

次+炉=2c2和正弦定理，同角三角函数关系得cos24+cos2B=2cos2C,并计算出cos(4—B)cosC=1—2

cos2C,其中cosCHO,故cos(4-B)=।,D正确.

【详解】A选项，sin?lsin(C—^)=sinBsin(/l—C),

即sin4(sinCcosB—cosCsinfi)=sinF(sin/lcosC-cos?lsinC)»

sin.4cos^sinC—sin/lsinBcosC=sin/lsinFcosC—cosAsinBsinC,

sin.4cosHsinC+cosAsinSsinC='ZsinAsinBcosC,

8/18

sinCsin(i4+8)=2sinAsinBcosC,化简得sin2c=2sin/lsin5cosC,

由正弦定理得c2=2abcosC,由余弦定理得2a力cos。=a2+b2-c2,

2

所以C2=水+炉—<2,a2^2_2c,A错误;

B选项，cosC=S=5*2箸=g,又、=(：0$》在x€(0,n)上单调递减,

所以C€(0,1,C的最大值为*B正确；

Mk,7；11_cos/1cos/7_sinBcos/l+cosBsinA_sin(A+8)_sinC

亡)、'tan/1tan/?sin4sinl?sinAsinBsinAsinBsinAsinB’

因为sin2c=2sia4sinBcosC,所以sinAsinB=/多代入上式可得

1,12cosC2八-

^7+^=1^=—=^CF.确；

D选项，a2+b2=2c2,由正弦定理得siMA+siMB=2siMC,

即1—cos2/44-1—cos2B=2—2cos2C,即cos2力+cos2B=2cos2C,

其中cos。=—cos(7|+8)=sinAsinB—cosAcosB,

而cos(A_B)=cosAcosB+sinAsinB,

所以cos(4—B)cosC=(cosAcosB+sin4sin8)(sin4sin8—cosAcosB)

=sin2/lsin2fi—cos2Acos2B=(1—cos2/l)(1—cos2F)—cos2/lcos2F

=1—(cos2fi4-cos?力)=1—2cos2。，

△ABC不是直角三角形，故cosCwO,故cos。-8)二>然七,D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知一个物体在三个力K=(。1)另=(-2,3),可=(x,y)的作用下，处于静止状态，则可

【答案】(2,-4)

【分析】依题意可得百十豆+月=%再根据向量线性运算的坐标表示计算可得.

(详解】依题意尸1十尸2十/3=。，所以尸3=一尸1—/2=—(0,1)—(—2,3)—(2,—4).

故答案为：(2,—4)

13.已知方程%2—px+1=0的两虚根为%1、%2»若|%1—X2l=1，则实数P的值为

【答案】±6

【分析】由求根公式得|阳一外1=斤笆=1，解方程即可求解.

【详解】因为方程%2—p%+1=0的两虚根为％1、X2，则4=p2-4V0,二一2VpV2,

9/18

若M—外1=1，

则M_右1=|^Z|Eii_pzVEEii|=lyr^il==1，

解得P=±V1适合题意，

故答案为：±vi

14.已知△4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足2asinA+bsinC=mcsinAsinB.

(1)当小二等时，m的取值范围是___________.

«3

(2)当m取得最小值时，tan/l=.

【答案】[邛,+8)?

【分析】(1)已知条件利用正弦定理化简得小=就，+高，当力=?时，sinBsinC£(O,J,代入/〃的表

sinosincsin/is\4」

达式可得m的取值范围；

(2)结合积化和差公式得sinBsinCW号的(当且仅当3时取等号)，此时〃?最小，有拼=点念+高,

令£=targ(t>0),由万能公式化简得mN3,当且仅当1=冢取等号，再用倍角公式计算此时的tanA

【洋解】(1)已知2asin4+与sinC=mcsin/lsinB,

由正弦定理化简得2sin2/l+sinFs.nC=msin/lsinFsinC,

所以"忌+高，

当4=争I寸，sin/l=y,故B+C=],有C=€(of,

则有sinBsinC=sinBsinQ—B)=曰sin3cos8—^s\n2B=乎sin2B——cos2F)

=务n2B+30s2B-1=1sin(2B

因28+?£(,誓)，故sin(2B+》£(；」],从而sinBsinCW仅,：],

代人加的表达式得m=-I7+等之卓+萼=乎，

smHsinC3彳33

当且仅当B=C二5时取等号，故机的取值范围为坪,+8)；

(2)对固定的角儿

sinSsinf=5cos(8—C)—cos(5+C)]=J[cos(B—C)4-cosA]<—»

当且仅当B=C时取等号，此时机最小，

设2?—C,则。=sinD=cos],

10/18

2sinA14sin/1,1

故吁厘+==77^7+京？

令t=tan^（t>0）,由万能公式得sin4=岛,cos4=片，

代人化简得m=4t+等=春+尚工2俘?=3,

","N22f

当且仅当9t=；即£=9时取等号，

IA

此时tan4=鼻=3=*

故答案为：［邛，+8）；I

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）如左图所示，在△ABC中，N4cB=90。，^ABC=30°,AC=1.

（1）爵△4BC绕直线BC旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积：

（2）如右图所示，在三角形内挖去当圆（圆心。在边BC上，半圆与BC相交于N,与48相切于点M）,图中阴影

部分绕直线BC旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积.

【答案】⑴舐

（2好

【分析】（1）先算出直角△48C的各个边长，再用公式求旋转体圆锥的表面积即可；

（2）几何体是图中阴影部分绕直线旋转半周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆

锥的体积减去球的体积，最后除以2可得几何体的体积.

【详解】（1）由题知：在△ABC中，乙4cB=90。，^ABC=30°,AC=1.

可得：\BC\=V3,\AB\=2.

该几何体是绕直线BC旋转一周所得旋转体，

是一个以|力。|为底面半径，|8C|为高的圆锥，

设圆锥的侧面积为：Si，底面积为：S2.

旋转体的表面积为5=S1+S2=7rxi2+gx2x2TT=3几

（2）该几何体是图中阴影部分绕直线8C旋转一周所得旋转体，

11/18

是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球,

由图知乙&4。=30°,则。。=1,

所以圆锥的底面半径R=1,高为18cl=V3,

球的半径为|OM|=r,tan乙48C=^=彳=亨，

所以圆锥的体积：；'12乂兀'0二军，

球的体积：%*(¥)3=崂1,

阴影部分绕直线8C旋转一周所得旋转体的体积为：乎7T-警兀=黑加

故阴影部分绕直线BC旋转半周得到的旋转体的体积为：gx黑71=等7T.

16.(15分)己知△ABC的内角的对边分别为a,瓦c,且asinC+acosC=b.

⑴求4

(2)若b=2,cs\n2B=V3Z?sinC,求△ABC的周长.

【答案】(唠

(2)3V2+V6+2

【分析】(1)根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式,化简得至iJsinAsinC=cosAsinC,求得sin4=cos

A,即tan4=1,即可求解；

(2)根据题意，由正弦定理和正弦的倍角公式，化简求得cos8=亨，得到8=去求得sinC=匹产，再由

正弦定理，分别求得Q=2近和c=^+VL即可求得△48。的周长.

【详解】(1)解：因为asinC+QCOSC=从由止弦定理得sinAsinC+sinAcosC=sinB,

又因为A+B+C=n,可得sinB=sin(A+C)=sinAcosC4-cosAsinC,

所以sinAsinC+siiL4cosc=sinAcosC+cosAsinC,可得sinAsinC=cos力sinC,

因为CW(0,n),可得sinC>0,所以sinA=cosA,即tanA=1,

又因为4e(O,TT),所以4=%

(2)解：因为csin2B=VJbsinC：由正弦定理得sinCsin2B=V5sinBsinC,

又因为CW(Om),可得sinC>0,所以sin2B=VJsinB,可得2sinBcos8=V5sinB,

因为86(0,TT),可得sinB>0,所以cosB=W，所以8=也

又因为。=71—04+8)=71—@+己)=£,

12/18

可得sinC=si借=就+>=半x乎+1x乎=/，

又由正弦定理高=言=品，

可得。=等=学=率=2△，。=誓=^3=^^=^+及，

6262

所以△ABC的周长为Q4-b+c=2V2+2+V6+V2=372+瓜+2.

17.(15分)已知复数z[=(a+i)2(aeR),z2=4-3i,其中i是复数单位.

(1)若言=i,求实数a的值；

(2)若U是纯虚数，a是正实数，求言+(丁+(93+...(32025的值

【答案】(l)a=2；

(2)i

【分析】(1)利用复数的乘法法则及复数相等的条件列式求解即可.

(2)利用除法运算化简/，根据纯虚数的概念知a=2,则/=1然后根据i的周期性求和即可.

2

【详解】(1)因为Zi=(a+i),z2=4-3i,~=b

22

所以Zi=iz2>即(。+i)=a-1+2ai=34-4i,

所以解得实数。的值为2.

(2)由题意得意=(a+i)2_(a2+2ai-l)(4+3i)_(4a2-6a-4)+(3a2+8a-3)i

4-3i-Z5-25

因檐是纯虚数,所以｛舞；邸二H，解得。=2或。=-/

又因为a是正实数，所以a=2,所以£=i,

所以言+仁了+仁)3+.旬2025=i+.2+i3+.+i2025

=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2021+i2022+i2023+i2024)+i2025

=(i-1-i+1)+(i-1-i+1)+•••+(i-1-i+1)+i=i

18.(17分)在正方体ABCD-ABiQDi中.

13/18

（1）如图1,若月。08。=O/iCG平面BDQ=E,求证：CiEO三点共线;

（2）M,N分别为力8和CW1的中点，P,Q分别为3c和CQ的一个三等分点（都靠近C端）.

①如图2,求证：4P,DC,D]Q三线共点;

②过点M,N,Q三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）.

【答案】（1）证明见解析

（2）①证明见解析•：②答案见解析

【分析】（1）根据平面的基本事实3即川得证:

（2）①先分别延长力P,DC交于点R,连接。出，然后利用PC=±W,BC〃4D,得出以=”R,再利用。田〃

CiC,可以得出0/与的交点为QC的三等分点，即为点。，从而得证.

②利用平行直线共平面即可作出豉面图.

【详解】（1）证明：如图，连接力的,

•••Ci€面AiACCi，且Q6面8DG，Q是面必力Cg与面的公共点,

ACnBD=0,A[C面30cl=E,

...0EAC,ACc面41ACC1，。€BD,BDc面BDg,

二。是面力遇CC1与面BDC1的公共点,

**•\\\A\ACC\A\h]BDC1=0C],

又Ee41C/1CU面A14CC1，Ee面BDC1，

・•.E是面AMCCi与面BDCi的公共点,

•••EwOCi，即Ci,E,0三点共线.

AB

14/18

(2)①证明：如图，分别延长4P,0C交于点R,连接。1兄

•••Re直线。C,DCU^ABCD,PC=三AD,BC"AD,

•••CR=初，

又Di力〃[C,

与CiC的交点为C〔C的三等分点，即点0,

.•“P,DC,DiQ三线共点.

②酢：如图，六边形MP0N7S即为所求作的截面.

19.(17分)定义：对于非零向量0M=(m,n),若函数f(x)=msinx+ncosx,则称/'(x)为向量0M的“伴生

⑴若函数。。)=而。+戊)的“源向量”为丽'，且以O为圆心，|前|为半径的圆内切于正△/IBC(顶点。恰

好在y轴的正半轴上)，求证：拓J?+丽2+前2为定值；

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(2)已知向量丽=(2,0)为函数/i(x)的“源向量”，若方程八。)=k+l-2Hleosx|在［0,2同上有且仅有四个不

相等的实数根，求实数上的取值范围；

(3)已知向量丽=(0,1)为函数尸。)的“源向量”，尸(%)在x=£时的取值为冬设P是△48C外心，若cosA=F

(£),且黑・丽+篝•前=/而，求实数2的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)(1,2V3-1)U(273-1,3)

⑶我

【分析】(1)法一，根据所给定义，先找到9(%)的“源向量”而，再结合正三角形的性质得到|而I=2=|砺

I=|0C|,OA+OB+OC=Of根据向最的减法转化近/+试2+而2,再根据向量数量积的运算法则计算

即可求出定值；法二，先求出M,48,C四点的坐标，再得到拓5,而，前的向量坐标，再根据坐标分别计算出

为相，而2砥2,再求和即可求出定值；

(2)先求出伴生函数九(%),将八。)=k+1—2KleosX|,转化成/(%)=k=2sinx+2>/^|cosx］-1在［0,2n］

上有且仅有四个不相等的实数根，然后根据cosx在［0,2司上的正负去掉绝对值符号，将/(%)写成分段函数的

形式，并将其化简，作出其图象，数形结合即可求出实数〃的取值范围；

(3)法一,先求出角4设尸是AJ8C外心，可得\PA\=\PB\=\PC\=r,设乙48C=a,AACB=/?,则

44PB=2£,^APC=2a,利用向量的减法转化器•通+需•而=/l而中的短，而，再将其两边同时乘

*>111wol11O

以港，再利用向量的数量枳，二倍角及和差角公式变形化简即可求出入法二，将鬻•肉+篝•而=/而

sinesin与

的两边同时乘以通，利用向量的数量积及正弦定理将其转化为g=经空等空，再化简求值即可.

【详解】(1)法一:因为函数g(x)=sin(x+a)=cosasinx+sinacosx,

所以其“源向显"OM=(cosa,sina),显然|0M|=Jeos2a+sin2a=1,

即时轨迹为单位圆，

由正三角形的性质可知|万?I=2=|而|=|沆I，OA+OB+OC=Q,

»2»292,92,.2,,2

所以M/l+M8+MC=(OA-OM)+(08—。M)+(0C—0M)

，2,2»2，2,,,,

=0A+0B+0C+30M-20M-(OA+OB+OQ=12+3=15,

是定值；

法二：由题意可知M(cosa,sina),4(一遮,一1),8(怖,一1),C(0,2),

所以AM=(—V3—cosa,—1—sina),MB=(V3—cosa,—1—sina),~MC=(—cosa,2—sina),

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所以AL4=3+2V3cosa+cos2a+1+2sina+sin2a,

2

MB=3—2V3cosa4-cos2a4-14-2sina