深圳市2025-2026学年上学期九年级数学期中测试（练习卷） 解析版

深圳市2025-2026年上学期初三数学期中测试（练习卷）

说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分共100分，考试时间90分钟

注意事项：

1.请考生规范答题，保持卷面整洁

2.考生在答卷前，务必将姓名、学校写在答题卡或试卷开头

3.如要作图（含辅助线）或画表，先用铅笔进行画线、绘图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔

描黑

第I卷（选择题）

一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.每题只有一个答案符合题目要求）

1.在一元二次方程一一5工一2二°中，常数项为（）

A.2B.-2C.5D.-5

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据一元二次方程以2+H+C=O（a,b,。是常数且吓。）的。、b、c分别是二次项系

数、一次项系数、常数项进行求解.

【详解】解：一元二次方程一一5工一2二0的常数项为：—2.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的基本定义，掌握常数项的定义是解题的关键.

2.若伍+6+1）（。+6-1）=15,则Q+6的值是（）

A.±2B.±4C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】把6当作一个整体，利用平方差公式即可求解

【详解】解：5+3+1）（4+〃-1）=（。+力）2—1=15,

/.（a+b）2=16>

。+6=±4,

故答案选：B.

【点睛】本题考查的是解一元二次方程■直接开平方法,掌握平方差公式及把。+人看成一个整体是解题关键.

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3.用配方法解方程/+6工+1=0,配方后的方程是()

A.(x+3『=8B.(X-3)2=8C.(X-3)2=1()D.(x+3)2=10

【答案】A

【解析】

【分析】先把1移到方程的右边，然后方程两边都加9,再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式.

【详解】解：X2+6.V+1=0

x2+6x=-l

X2+6X+9=-1+9

(X+3)2=8

故选：A.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②

把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1;④等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

4.方程/+3工-5=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定是否有实数根

【答案】A

【解析】

【分析】根据根的判别式进行判断即可.

【详解】解：•・•方程/+3工一5=0中。=1，b=3,c=-5,

・•・A=3?-4x(-5)=29〉0,

・•・方程/+3戈-5=0有两个不相等的实数根，故A正确.

故选:A.

【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程瓜+c=o(ow0)的根与△=%2—4收有如下关系：

当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根：当4<0时，方程无实

数根.

5.已知关于工的方程/一1)/一任+2=0有两个实数解，求上的取值范围()

QQ1QQ

A.k<-B.AW—且女工一C,0<k<-D,4一旦女工1

77777

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【答案】D

【解析】

【分析】根据二次项系数非零及根的判别式ANO以及二次根式有意义的条件，即可得出关于上的一元一次

不等式组，然后求解即可解答.

【详解】解：•・•关于x的方程(Z-1)--JIE+2=()有两个实数解，

•••△二卜”)2—4(月一1)x220且攵一100,^>0,

8

解得：0工女工一且％工1.

7

故选:D.

【点睛】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件等知识点，根据二次

项系数非零及根的判别式ANO,列出关于人的一元一次不等式组是解题的关键.

6.如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错送的步骤

是()

解：/-4x=l.......①

£―公+4=].......②

(x—2>=1.......③

x-2=±l.......④

、X|=3,工2=1.......⑤)

A②氏③C.④D.⑤

*

【答案】A

【解析】

【分析】根据配方法的步骤，逐步进行判断即可.

【详解】解：J_4x=l①

2

X-4X+4=1+4®

，嘉淇在第②步的时候，开始出现错误；

故选A.

【点睛】本题考查配方法解一元二次方程.熟练掌握配方法的解题步骤是解题的关键.

7.我市兴安小区在规划设计时，准备在两幢楼房间设置一块面积为1800平方米的矩形绿地，并且长比宽长

30米，设绿地的宽为x米，则x的值为()

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A.20B.25C.30D.35

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设绿地的宽为x米，则长为(x+30)米，根据矩形面积公式列方

程，解一元二次方程并验证解的合理性，据此进行作答即可.

【详解】解：由题意，宽为x米，长为(x+30)米，

■:面积为1800平方米，

・••得方程：x(x+30)=1800,

・・・八30%-1800=0，

则(x-30)(x+60)=0,

=30,x2=-60(舍去).

故选：C

8.伊斯兰数学家塔比・伊本・库拉(ThabitibnQurra.830-890)在其著作《以几何方法证明代数问题》中

讨论了二次方程的几何解法.例如：可以用如图来解关于x的方程/+加工=〃，其中力8收为长方形，

4BCD为正方形,且DE=m,BFxCD=n,则方程/十加工=〃的其中一个正根为()

A.。石的长B.的长C.的长D.BE的长

【答案】B

【解析】

【分析】设正方形.4〃。。的边长为x，贝IJ/A=C£)=AC=x,根据B尸=+C产=BC+£)K=X+"7,可得

BFxCD=(x+m)xx=n,所以炉+〃吠=〃，进而可得力8是方程/+〃a二〃的其中一个正根.

【详解】解：设正方形/BCD的边长为x,

则,48=CO=8C=x,

-BF=BC+CF=BC+DE=x+m,

/.BFxCD=(x+m)xx=n,

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/.x+nix=ii，

则方程V+〃?x=〃的其中一个正根为力8.

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程，数学常识，正方形的性质，解决本题的关键是埋解一元二次方程定义.

第n卷(本卷共计76分)

二,填空题：(每小题3分，共计15分)

9.方程一/=4工的解是.

【答案】x1=0,x2=-4

【解析】

【分析】先移项得到/+41=0,再利用因式分解法把方程转化为x=0或x+4=0,然后解一次方程即

可.

【详解】解:一/二以，

W+4x=0，

x(x+4)=0,

x=0或x+4=0,

所以再=0,x2=-4.

故答案为：内=0,x2=-4.

【点睛】本题考查了解一元二次方程一因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，

这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

10.若。是方程/+3工一1=0的解，则式子2Q2+64+2021的值为.

【答案】2023

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的根及求代数的值，根据。是方程/+3x7=0的解可求出/+34=1，

将2/+6。+2021化为2(/+3")+2021即可代值计算出答案.

【详解】若。是方程.d+3x-l=0的解,

则/+3。-1=0，

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/+3。=1，

・•・2/+6i+2021=2（a?+3。）+2021=2x1+2021=2023,

故答案为：2023.

11.若关于％的方程（〃-1）/+2工+2=0有两个不相等的实数艰，则攵的最大整数值为

【答案】0

【解析】

【分析】根据方程（左一l）/+2x+2=0有两个不相等的实数根得到△＞（）且％-lwO,即

A=22-4X2（Z:-1）＞0且女工1,求出女的取值范围即可求出片的最大整数值.

【详解】解：•.•关于x的方程（〃-l）d+2x+2=0有两个不相等的实数根，

...△＞0且攵一1。0,即△=22-4乂2（攵-1）＞0且〃。1,

.,.左＜3■且左。1,

2

」上的最大整数值为0.

故答案为：0.

【点睛】本题主要考查了根的判别式和一元二次方程的定义，熟记一元二次方程有两个不相等的实数根，

A=Z?2—4ac＞0是解决问题的关键.

12.关于x的一元二次方程X2+2K+C=0的一个根为x=l,则它的另一个根为.

【答案】-3

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ar2+6x+c=0Sw0）,若

bc

王，吃是该方程的两个实数根，则F+X，=-一，x.x=-,设方程的另一个根为小，则〃?+1=-2,解方

a2a

程即可得到答案.

【详解】解：设方程的另一个根为“，

由根与系数的关系可得小+1=—2,

m=-3»

・•・方程的另一个根为-3,

故答案为：-3.

13.如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全

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AE

等的，如果大正方形44co的面积是小正方形EFG〃面积的25倍，那么——

DE

4

【答案】-

3

【解析】

【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，全等三角形的性质，设。£=//=明EF=a,则

AE=AF^EF=x+a,可得与方形函〃=后户=",由勾股定理可得

AD2=AE2+DE2=/+（%+&『，则S不方彬=ZD?=/+（X+〃）2,进而可得,十（工一=5a2,

X/ILZ/Tlz/iUC/J\/X/2

解得x=3〃，据此可得答案.

【详解】解：设QE=4E=x,EF=a,则=4尸+M=X+Q,

•,S正方形£7（〃=EF2=a",

在Rt/\AED中，由勾股定理得AD2=AE2+DE2=x2+（x+a）\即S正方形,笛=心=丁+（x+。『，

•・•大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的25倍,

x2+（x+6/）2=25a2,

••，+x~+2ax+ci~—25tzl

x2+or-12/=0，

（X+4〃）（X-3Q）=0,

解得x=3。或工=一4。（舍去），

DE=3a,AE-4a

,AE4a4

♦•==,

DE3。3

4

故答案为：一.

3

三,解答题（请写出计算过程和必要的文字说明，本大题共7小题，共61分）

14.解方程：

（1）（丫+2）2=3（丫+2）：

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(2)x2-8.r+3=0

【答案】

(1)X)=-2,x2=1

为=旧，

(2)4+x2=4-x/H

【解析】

【分析】(1)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；

(2)将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得.

【小问1详解】

*.*(x+2)2=3(x+2),

/.(X+2)2-3(X+2)=0,

则(x+2)(x—1)=0,

・・・1+2=0或x—l=O,

解得玉二-2,x2=ii

【小问2详解】

/-81+3=0，

・'・X2-8X=-3，

则一&牙+16=-3+16，即(x4)-=13,

:，x-4=±VB，

x=4-

:.x)=4+Vr3，2VTJ.

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解

法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解.

15.化简分式:在-2,0,2中选择适合的数求值.

【答案不

2

【解析】

【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件选择x=0,代入求解即可.

r

【详解】解:

X2-4x+2

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_（xx-2]2

-U2-4X2-4JX-2

x-x+2x-2

X2-42~

2x-2

=

（x+2）（x-2）~

1

=x+2

,/x2-4,0,x+2,0,x-2w0

1.xw2,xw-2,

A=0»

当工=0时.原式二不]=!.

0+22

【点睛】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

16.已知方程/一3%+%=0是关于x的一元二次方程.

（1）当％=2时，求该一元二次方程的根；

（2）若该一元二次方程无实数根，请计算后写出一个满足条件的左值.

【答案】（1）=2,x2=1

（2）5（答案不唯一）

【解析】

【分析】（1）把攵=2代入原方程，利用因式分解法解方程即可；

（2）根据方程没有实数根，列出不等式，根据不等式的解集写出左值即可.

【小问1详解】

解：把〃=2代入原方程得，

x2-3x+2=0»

（x-2）（x-l）=0,

x-2=0»x-1=0,

X]—2,A*2—1.

【小问2详解】

解：•・•该一元二次方程无实数根，

**•/-4QC=9—4%<0，

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9

解得〃>:，

4

满足条件的〃值为5(答案不唯一).

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和根的判别式，解题关键是熟练运用因式分解法解方程，熟记根

的判别式.

17.近年来，电商平台带货主播成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，

风趣幽默，点燃了不同年龄者的购书热情.已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，旦

不高于成本价的3倍.如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价

每降低5元，每天可多销售1()0本.

(1)若每本降价10元，每天可销售本书，每天销售获利为元；

(2)若降价销售该书，每天的利润为6000元，求该书的销售单价.

【答案】(1)700,3500

(2)20元

【解析】

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键.

(1)根据销售单价每降低5元，每天可多销售10()本即可求得：

(2)根据“总利润=每千克利润x销售量”列方程，解方程即可求解.

【小问1详解】

解：•••这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天H勺销售发现，销售单价每降低5元，每天可

多销售100本.

・•・降价10元，平均每天可销售：500+2x100=700

每天销售获利：(25-10-10)x700=3500,

故答案为：700,3500；

【小问2详解】

解：设该书的销售单价为x元，

25-x

依题意有：(x-10)(500+-----x100)=6000

5

化简得：(x—10)(—20x+1000)=6000,

=

解得：玉二20,x240,

V10<x<30»

：•x=20；

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答：该书的销售单价20元.

18.材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括

设计产品、厂房租赁、设备折旧等费用，与产品生产件数无关；可变成本与该产品生产的件数有关，而每

件产品的可变成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用.

问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好.它每天的成本（元）与生产量（个）

的关系如下表所示.

成本（元）1510015200153001540015500・・.

生产量

12345•••

（件）

八N（个）

—22之7x（元/不）

（1）该工艺品每天的固定成本为；每件产品的可变成本为.

（2）市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量V（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如

图所示：

①销量.V与销售单价x之间的函数关系式：

②若每天生产出来的产品都能销售完，当售价定为多少时，能使厂商每天获得的利润为27000元？

【答案】（1）15000：100

（2）©^=-100x+4200;②当售价定为20元或21元时，能使厂商每天获得的利润为27000元.

【解析】

【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键.

（1）由表格可知，每增加一件产品，成本增加100元，据此可得答案；

（2）①设销量歹与销量单价X之间的函数关系式y=h+再利用待定系数法求解即可；②根据

利润等于销售额减去成本建立方程求解即可.

【小问1详解】

解：由表格可知，每增加一件产品，成本增加100元，

・•・该工艺品每天的固定成本为151（）（）-1（）（）=15（）（）（）元；每件产品的可变成本为100元：

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【小问2详解】

解：①设销量N与俏量单价x之间的函数关系式丘+6(〃H0)

2000=22/r+/?

把(22,2000),(27,1500)代入y=米+“％w0)得.

1500=27"/

^=-100

解得'

b=4200

/.v=-100.r+4200；

②由题意得，(-100.Y+4200)x-(100x+l5000)=27000,

整理得/一4卜+420=0,

解得x=20或x=21,

答：当售价定为20元或21元时，能使厂商每天获得的利润为27000元.

19.阅读与思考

配方法

把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运

算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用.

例如：

①用配方法因式分解：a2+6a+S

原式=〃2+6Q+9—l=(a+3)2—l=(Q+3+l)(〃+3—l)=(Q+4)(Q+2)

②求2X2+12X+22的最小值.

解：2/+12工+22=2卜2+6X+”)

先求出x2+6A:+11的最小值

x2+6x4-11=x2+6x4-9+2=(x+3)2+2；

由于(x+3)2是非负数，所以(%+3)220,可得到(、+3)2+2之2.即1+6x+u的最小值为2.

进而21+12x4-22的最小值为4.

请根据上述材料解决下列问题：

(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：/+4〃+:

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（2）用配方法因式分解：/+12〃+35；

（3）当。为何值时，多项式-2/—4Q+18有最值，并求出这个最值.

【答案】⑴4（2）（。+7）（。+5）

（3）当。二一1时，多项式-2/一4。+18有最大值，最大值为20

【解析】

【分析】本题考查了完仝平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的并负性是解题的关

键.

（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可：

（2）将35化为36-1,前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；

（3）将-2/一4〃+18转化为一2（。+1）2+20,再利用完全平方式最小值为0,即可求解.

【小问1详解】

解：/+4〃+4=（〃+2）2,

故答案为：4；

【小问2详解】

解：/+12。+35

=『+12〃+36-1

=（<7+6）2-1

=（a4-6+l）（a+6-l）

=（。+7）（〃+5）；

【小问3详解】

解：-2。~-4〃+18

=-2（/+2。+1）+2+18

=-2（«+1）2+20,

•・,（a+1）2N0,

/.-2（6Z+1）2<0，

第13页/共15页

/.-2（6z+l）2+20<20,

.,・当。=一1时，多项式—2/-4。+18有最大值，最大值为20.

20.材料一：定义：若关于x的一元二次方程依2+&+c=0（aw0）有两个实数根内,々，且满足

卜+%|=卜一9|，则称此类方程为“和积方程”.

oQ（3A3

例如：x2——x+—=0,即（x-3）x—=0,解得玉=3,々=一

22I2J2

3399

|3H—』|3x—F—xH—=0是"和积方程”.

2222

材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程0^+云+0=0（〃/0）的

bc

两个实数根为为，％，则：玉+乂二一一,芭“2