湖南高三数学2026年5月冲刺压轴适应性训练试卷（含答案）

2026届高三冲刺压轴适应性训练

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.集合A=｛xEN|3<x2V17｝的子集个数为

A.2B.4C.6D.8

2.设甲：a>2且b>l,乙：a+b>3且ab>2,则

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲是乙的既不充分也不必要条件

3.已知z=(2—i)(l+bi)是纯虚数，则实数b=

A.-2B.—

2

C：D.2

4.若sin(e+或=g,则cos管-2。)=

7n2

A.一§B-9

C.|D.，

99

5.记等差数列｛aj的削n项和为Sn，已知+a4+a7=6,S5=5,Wija5=

A.-1B.一二

3

C<D,3

6.已知曲线y=ex+ex,在其上一点处的切线与y轴交于点(0,t),则t的最大值为

A.iBY

ee

C.lD.e

7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为1,点M在C上，过点M作1的垂线，垂足为

N,0为坐标原点，若四边形OFMN为等腰梯形，面积为4&,则p的值是

A.V2B.2

C.2&D.4

8.在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1,2,3,每次从口袋中

随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸

球未能停止摸球”的条件下，经过5次摸球停止摸球的概率是

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/'(X)=2sin(o)iTX)(G)>0)的最小正周期为2,则

A/(x)的值域为[一2,2]

B/(x+；)是偶函数

C.曲线y=f(x)与y=2TIX相切

D.曲线y=/(x)关于点(等,0)中心对称

10.对于n维向量a=…,aj,b=(bi，b2,a・b=£;m也”|a|=1?=哥,二者夹

角的余弦值cos。=焉.现有一组点(xi，yj,…，(xn,yn),设x=[£；liXi，y=，£Liyi，记=

(X1-x,x2-X,­••,xn-x),ay=(y1-yfy2-y,---,yn-y),已知这组点由最小二乘法所得的经验回

AA411

归直线方程为y=x+3和x=(y-£，若|r|V0.75,称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线

性相关性强，则

附：y=bx+a,r=小与一叼，b=格吗「吗a=y-bx

J%山-府]能田-ny2%ix「nx2

A.y=4x

B#x在ay上的投影向量为ay

C.r=cos{ax,ay)

D.这组点的线性相关性弱

11.已知椭圆E：3+y2=l的左、右顶点分别为A,B,圆C:x2+y2=4。点P是椭圆E上异于A,B

的动点，直线AP与圆C交于另一点M,直线BP与圆C交于另一点N。设直线AN与直线BM交于点

H,则

A.直线BM与直线AP始终互相垂直

B.H的轨迹为焦点在x轴上的部分椭圆

C.线段0H长度的取值范围为(2,4]

D.AHAB面积的最大值等于8

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若随机变量X服从正态分布N(4,a2),且P(X<2)=0.1,则P(4<X<6)=..

13.将圆锥的侧面展开得到一个面积为2m周长为2ir+4的扇形，且该扇形的半径为有理数，则该圆锥

的体积为.°

14.设函数/'(x)=2x(lnx)2—alnx,若/(x)Nb,则a+b的最大值为_；当a+b取得最大值

时，a=o

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知c=l,ccosA4-

V3csinA=2,且AABC为锐角三角形。

(1)求A：

(2)求b的取值范围。

16.(本小题满分15分)如图，在圆台01。2中，上、下底面半径分别为1和4,而为4,轴截面为四边形

ABCD,E在下底上，O2E1CD,F为0住中点.

(1)证明：OiE，平面O2CF；

(2)求平面BDE与平面O2CF夹角的余弦值.

17.(本小题满分15分)已知双曲线C:5一5=l(a>0,b>0)的渐近线方程为h：y=x和

12：y=-x,右焦点为F(2,0).

(I)求C的标准方程：

(2)过F的直线1交C的右支于A,B两点，过A作h的平行线交卜于点M,过B作上的平行线交h于

点N,证明：MN||AB.

18.(本小题满分17分)已知函数/(x)=X?-asin(xlnx),记曲线y=/(x)在(1,1(1))处的切线为L

(1)当a=2时，求1的方程：

(2)证明：函数g(x)=x-Inx-1-gxlMx在(0,+8)上单调递减；

(3)当a=l时，证明：曲线y=/(x)与1有且仅有一个公共点.

19.(本小题满分17分)已知随机变量X,Y的取值集合为｛1,2,…,n｝的子集(n》3且nWN)记P(X=

i)=Pi，P(Y=i)=qi(i=1,2,…,n).定义X与Y的差异度为d(X,Y)=£%山一qj.

(I)当n=3时，Pi=1,p2=I，P3=：且qi=；,q2q3=；，求d(x,Y)；

/3b3J3

(2)设数列Ci，C2,…，Cn满足q€{O,l}(i=12…,n),证明：2匕。(6一5)《”(兄Y),并指出

等号成立时G的取值条件：

⑶记X,Y的数学期望分别为E(X),E(Y).若E(X)-E(Y)=2,求d(X,Y)的最小值关于n的表达

式，并写出此时能够取得该最小值的一组X与Y的分布列.

2026届高三冲刺压轴适应性训练•数学

参考答案、提示及评分细则

1.【答案】D

由题意得A={2,3,4},其元素个数为3,子集个数为23=8,故选D。

2.【答案】A

充分性显然成立，对于必要性，当a=1,b=3时矛盾，故选Ao

3.【答案】A

z=(2-i)(l+bi)=(2+b)+(2b-l)i,因为该复数为纯虚数，因此2+b=0且2b—1。0,

解得b=-2,故选A。

4.【答案】D

注意到cos(y-29)=cos(-20-g+2n)=cos(29+y),由二倍角公式得cos(26+g)=

1-2sin^(。+§)=9,故选

5.【答案】D

由S5=5(a；as)=5(a3[3)=5,可得5a3=5,g|ja3=1,由Hi++a7=3a4=6,得=2,又

因为a3I85=2a4,得=3,故选D。

6.【答案】C

不妨设该点横坐标为X。，而y'=ex+e,可得切线方程y—(e*。+ex。)=(e*。+e)(x—x。)，即丫=

xxx

(e殉+e)x-(x0-l)e°,故t=t(x0)=-(x0-l)e°,t'(x0)=-xoe°,当x()e(-8,0)时,

t'(Xo)>0,t(Xo)单调递增；XoE(0,+8)时，e(xo)V0,t(Xo)单调递减，于是t〉t(O)=l,故选

Co

7.【答案】B

因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F80),准线为l:x=-*设M(x(),yo),则垂足

N(-^y0),由四边形OFMN为等腰梯形，得OFIIMN，且|0M|=|FN|,所以Jx。+北=

+端解得Xo=p，将M(p,y())代入抛物线方程y2=2px,得羽=2p-p=2p2=

S

|y0|=V2p,等腰梯形面积：S=i(|OF|+|MN|)-|y0|,因为|0F|=今|MN|=p+卜兴=

4夜，代入得：1Q+T)-V2p=4V2,所以夜p2=4VLp2=4,又因为p>0,所以p=2。故

设A事件为“经过3次摸球未能停止摸球”，B事件为“经过5次摸球停止摸球”,则P(A)=攀=

217c

三二：,选择前4次涉及的2个编号：从3个中选2个，共4=3种选法，前4次摸球的情况数：这

2个编号需至少各出现1次(否则前4次仅1个编号，无法满足“恰好2个编号”)，因此前4次的情

况数为24-2=14(减去“全选第1个”和“全选第2个”的2种无效情况)，第5次摸球：必须选

第3个未被前4次摸到的编号，仅1种选法，因此，事件B的情况数为3x14x1=42,总摸球可能

数为35=243,所以P(B)=言=不由题意P(AB)=P(B),所以P(B|A)=鬻=意=其=

14V92M壮人

5TX7=?故选A。

9.【答案】ABC

对于A选项，显然可知其值域为[-2,2],故A正确；对于B选项，由3>0得得=2,3=1,此时

/(x)=2sinnx,f(x+；)=2sin(TTX+§=2COSTCX,故B正确：对于C选项，

/'(X)=2TTCOS7TX,/(0)=2TT,/(O)=0,可得曲线丫=/(x)在(0J(0))处的切线方程为

y=2nx,故C正确；对于D选项，/(985-x)=2sin(985n—TTX)=2sinnxH—f(x),故D错

误，故选ABC。

10.【答案】AC

V=X4-3v=1--q.a

对于A选项，联立4-11得「一\故y=4x,故A正确；对于B选项，W=

x=zy-Vy=4a〉，

号清F=故B错身对于0选项’3即ay)=^

邓=i(Xi-x)(yi-y)£LiXjyi-nxy

二r，故C正确；对于D选项‘注意到詈=1,

Jn=i(xi-x)2JsE=i(yi-y)2jEC=ix?-nx2Js[Liy?-ny2

号作比得等=事于是1二号=普=生,解得==#>0.75,故D错误，故选AC.

ayoHyoa、M

11.【答案】ACD

因为椭圆E：9+y2=1的左、右顶点分别为A(-2,0)与B(2,0)且均在圆C:x2+y2=4上,所以线

段AB为圆C的直径，由直径所对的圆周角为宜角可知乙AMB=90°,即直线BM与直线AP始终互相

垂直，故A正确：设动点P的坐标为(x(),yo)且y()工0,由题意可知直线AP的斜率为鼻，由垂直关系

可知直线BM的斜率为一]/，进而可得直线BM的方程为丫=一簧(x—2),同理可

知NANB=90°,即直线AN与直线BP互相垂直，可得直线AN的方程为y=一—然十2),联立直

yo

线BM与AN的方程，解

2

得交点H的横坐标x=x0,代入直线方程并结合与+箔=1化简可得交点H的纵坐标y=4y。，将

x0=x与y0=方弋入椭圆E的方程可得动点H的轨迹方程为。+*=1且y。0,该轨迹是长轴在y

4416

轴上的椭圆，其焦点在y轴上，故B错误；因为线段OH长度的平方|OH|2=xW+16y。，代入y,二

1手可得|OH『=16-3x§,由于点P异于左、右顶点，可知X。C(2,2),进而16-3x§C

(4,16],开平方可得|OH|6(2,4],故C正确：在AHAB中底边|AB|=4且高为|4y()|，其面积S=

8|y0b由正W1且yo工0可知当y0=±1时面积取得最大值8,故D正确，故选ACD。

12.【答案】0.4

由对称性得P(4<X<6)=P(2<X<4)=0.5-P(X<2)=0.4,故答案为0.4。

13.【答案】fn

]QO2_

记扇形的半径为R,圆心角为8,圆锥的底面半径为r,则｛2UK=K,此时6=早-2,于

(6+2)R=2TT+4R

是4n=R2(平一2),得R2-5+2)R+2TT=0,于是R=2或R=TT(舍)，故。=嘉=孤

扇形弧长l=eR=2n=2nr,r=1,故圆锥的高h=，R2—K二百,于是圆锥的体积丫=

|nr2h=故答案为噂n。

14.【答案】2e6e(第一空2分，第二空3分)

注意到f(e)=2e-a>b,即a+b42e,下面考虑取等条件。不妨设t=Inx,a+b=2e(此时

t=1),故转化成2t2e1-at>2e-a,设g(t)=2t2el-at-2e4-a,g(l)=0,由g(t)>0=

g(l)知t=1应为g(t)的极小值点，而g'(t)=2(t2+2t)et-a,由g'(l)=0得a=6e,代入得

g'(t)=2(t2+2t)el-6e,而gn(t)=2(t2+4t+2)ec,当t€(—8,—2一夜)时，g"(t)>0,

g'(t)单调递增；tG(-2-V2,-2+夜)时，g"(t)<0,g'(t)单调递减；t€(—2+企,+8)时，

g"(t)>0,g'(t)单调递增，于是t<一2+或时，g'(t)<g'(-2-V2)=4(V2+1把一2一企一

6e<0,注意到g'(l)=0,故可知当t<1时，g'(t)V0；t>1时，g'(t)>0,可得t=1为g(t)

的唯一极小值点，符合题意，故答案为2e；6e。

15.(1)由题意知c=1,且ccosA+V3csinA=2。代入c=1,得cosA+V3sinA=2.

..................2分

也即:cosA+WsinA=1。即sin（A+；）=1。......................................4分

22\6/

因为A为AABC的内角，所以AE（0,TT）,从而A+江所以A+合今解得A=（……

6分

（2）因为AABC为锐角三角形，所以各内角均小于，即0VB<5且0VCV%又因为C=n-

乙LL

A-B=?-B,所以0V=-BV；,解得结合0VB<3可得!<B<三

...............................8分

sinBsinB]

由正弦定理可得6=故6=

sin售一B)'■yCOsB+^sinBV3cosB10

TsinB+2

\(\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\

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