山东日照市五莲县2025-2026学年八年级下学期期中数学试题（含答案）

山东日照市五莲县2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若是二次根式，则x的取值范围是（）

A.x/-5B.x>-5C.x<-5D.x$-5

2.下列运算中正确的是（）

2

A.收+百=6B.而+6="C.Q—〃D.（-73）=3

3.下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）

A.a=2,b=3.c=4B.。=5,6=6,c=8

C.a=5,b=12,c=13D.〃=7,b=15,c=\2

4.如图，点P是以力为圆心，力8为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点尸表示的实数是（）

A.-2B.1+V10C.]—y/\QD.yl0—1

5.已知扁是整数，则正整数〃的最小值是（）

A.4B.2C.3D.0

6.在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重

合，如图所示，则的度数为（）

A.54°B.60°C.72°D.74°

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7.如图，在长方形力8CQ内，正方形力8叫和正方形GfCH的面积分别为20和5,则长方形48CQ的面积

A.27B.30C.32D.40

8.如图，点〃是等腰直角△力8C斜边8C上一点(不与点8、。重合)，/尸=及，则8P?+Cp2等于()

A.IB.2C.4D.不能确定

9.如图，在平面直角坐标系中，长方形力8。的顶点8,。的坐标分别为8(7,1),。(1,-2),且各边都与坐

标轴平行.一只瓢虫从点力出发以1个单位长度/秒的速度沿［fCfOf/循环爬行，则第2027

秒瓢虫的位置坐标及其与原点O的距离分别为()

A.(-1,-1);y/2B.(-1,-2)；75C.(-1,-2)；2D.(1,-2)；加

10.如图,正方形力8CRCEFG按如图放置，点民。石在同一条直线上，点P在£C边上，旦乙”尸=90,连接AF

交CG于点M连接PM,则下列结论中，不能使4=P尸的是()

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A.EP=BCB.PM=PE+GM

C.$11：〃邑.U"0+S|W；1m；=2S/u/，/D.^DAM=£EFP

二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。

11.已知实数。在数轴上对应的点如图所示，则向+,（々+1）2=

------------1----------'------------------------1---------->

-1a0

12.如图，在RtA48C中，Z^JC=90%以8C和4C为边向两边分别作正方形，面积分别为耳和S2,已知

S-5,且48+”?=7，则8c的长为

13.如图，在△力8c中，N/C8=90。，将ZU8C的一部分折叠，点。落在边力8上的点£处，折痕交BC于

点D，测得ABOE的周长为12,BE=4,则边/C=.

14.如图，在平行四边形力8CQ中，ZABC=72°，AFJ.BC于点F，4“与BO交于点£.若DE=2AB，

则/力/。的度数是.

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15.如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形.若两个大正方形

/BCQ，/fVC'。的面积均为75cm2,重叠部分的小正方形为/TEC"的面积为27cm?，则BA'的长为cm.

16.计算:

(1)3炳+；质一步卜回.

Q)

(x/5-l)(V5+l)-^-^+|l-V2|-(^-2)°+x/8

四、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)

已知心b、c满足卜—2及卜病三+七一3&『=().

⑴求a、b、c的值.

(2)试问：以a、机c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，

请说明理由.

18.(本小题12分)

综合与实践

【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角

形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于C?，另一种是等于四个

直角三角形与一个小正方形的面积之和，即;Q6X4+(方-OR从而得到等式c2=；Mx4+("a)2,化简便

得结论/+廿=C?.这里用两种求法来表示同一个最从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.

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【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种.小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2

的拼图：两个全等的直角三角板48。和。£7"顶点”在力。边上，顶点力，E重合,

ZACH=ZDFE=ABAD=90°,BC=EF=a,AC=DF=b(a<b)tAB=DE=c,也利用“双求法”验证

了勾股定理.

证明：连接30，CD，则=4C—M=b—o.

则

%边影48c7)=

(1)请借助图2补全勾股定理的验证过程.

⑵如图3,小正方形的边长为1,连接小正方形的三个顶点，可得△48C，则48边上的高为

⑶如图4,在4/18。中，力。是边上的高，4B=4,AC=5,BC=6,设BD=x,求x的值.

19.(本小题12分)

某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析

【提出问题】已知0<x<l，求再，+Jl+(l-x)2的最小值

【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为JR和Ji+0一力2的线

段，将代数求和转化为线段求和问题.

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（1）【解决问题】如图,我们可以构造边长为1的正方形48CO,P为8c边上的动点.设8P=x,则PC=1-x.则

7177+Ji+（—）2=的线段和；

⑵在（1）的条件下，已知0<x<l,求\/1”+#+0一力2的知小值；

（3）【应用拓展】

应用数形结合思想，求际3_\，2_]2x+37的最大值・

20.（本小题10分）

如图，在矩形48C。中，延长力。到点。，使。0二40,延长CO到点£使*。=。0,连接力C,/i£,QC,

DE.

（1）求证：四边形/1CZ）E是菱形；

⑵若力£=13,/0=5,求四边形/C£>£的面积.

21.（本小题15分）

如图，在等边A/IB。中，4B=24"”.射线力G||8C,点E从点.4出发沿射线4G以3cm/s的速度运动.同

时点少从点8出发沿射线8C以5o〃/s的速度运动，设点E的运动时间为，（s）.解答下列问题：

（1）点厂在线段4c上运动时，CF=cm,当点b在线段4C的延长线上运动时，CF=（用含/

的式子表示）.

（2）在整个的运动过程中，当以/、C、E、产为顶点的四边形是平行四边形时，求,值；

（3）在整个的运动过程中，是否存在某一时刻，使仄尸两点间的距离最小，若存在，求出/值：若不存在，

说明理由.

22.（本小题15分）

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问题情境：

在菱形4月。。中，AB=4,ZJZ?C=60°.点后是对角线8。上的动点，连接力£,以力笈为边作菱形4/G,

且4郎=60°.

图①图②备用图

（1）特例感知：如图①，当点b落在40上时，试判断。厂与4E的数量关系，并说明理由；

（2）深入研究：当点E运动到如图②所示的位置上时，即点W落在4。上方时，连接。/L（1）中的结论是

否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

⑶解决问题：在点E的运动过程中，当点£、“、C在同一条直线上时，直接写出此时Cr的长.

23.（本小题10分）

【项目式学习】

【项目主题】合理规划，绿色家园

【项目背景】某小区有4栋住宅楼：B梆,。称，力株，E栋,4处为小区入口.为方便小区居民传递爱心,

物业管理处准备在小区的一条主干道加（上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1）,现需设计“爱心衣物

回收箱”的具体位置.，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短.某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动.

图1

任务一：实地测绘

小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2）,测得//C/A900,NCEB=NCED,根据比

例测算出了某些道路的长度并抽象成图3,其中力。与8"交于点“，BE〃CD，48=8。=150米，3”=90

米，£0=130米.

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根据图3及相关数据，请完成下列计算：

（1）任务二：数学计算求道路CZ）和4。的长：

（2）任务三：方案设计根据以上探究，请你在主干道WV上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点G表

示），画出需要增设的小路C'G,OG,并求出此时距离之和的最小值.（结果保留整数，参考数据V745«27.29）

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1.【答案】C

2.【答案】。

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】D

11.【答案】1

12.【答案】岳

13.【答案】6

14.【答案】66。/66度

15.【答案】2也

16•【答案】【小题1】

解：：屈—电卜反

=1x3及+：x5及-4x£+4&

=(9&+&-2及卜4山

二蚯+4及

=2；

【小题2】

解：（石-1）（石++|l-V2|-（^-2）0+x/8

=5-1-9+>/2-1-1+2>/2

=3x/2-7-

17.【答案】【小题1】

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解：•••,一2a|+>/^+卜一3上）2=0，

a-2a=0，8-5=0，c-3>/2=0*

解得：a=2&，b=5,c=3上：

【小题2】

解：能构成三角形，理由如下：

由（1）知：。=2企，b=5,c=30，

:.a<c<b

•••2及+3&=5&>5,

-a+c>b>

•••能构成三角形，

三角形的周长为：2&+5+3&=5+5及.

【小题1

证明：•••N/Q?=N/DF£=90°,

•*,S四边形/BCD=S&ABC+S.ACD

=—ab+—b2f

22

/BAD=W，

••Sfq边形4BCO=S&BAI)+S&BCD

=-c2+-a(b-a)

111

=-c2+—aLb——a29

222

1.1

.\—ab+—b2=—c2+-ab——a2,

22222

1,121

:.-b2=—c——a2

222

二c?-

a1+b2=c2i

【小题2】

6亚

5

【小题3】

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解：是高,

408=40。=90。，

/.AD2=AB2-BD2=AC2-CD2^

•;BD;x，

DC=BC-BD=6-x,

/.42-X2=52-(6-X)2，

16-X2=25-(36-12X+X2),

16-X2=25-36+12X-X2*

⑵:27,

9

解得x

4

19.【答案】【小题1】

AP

PD

【小题2】

解：如图：作点。关于BC的对称点O'，连接47，与8c交于点P，则CQ'=CQ=1，DD'=2,

此时P/1+P。的值最小，旦PA+PD=P"PD'=4D'，即P/+PO的最小值为力。的长,

在中，由勾股定理得：AD'=\IAD2+DD,2=Vl2+22=\l5»

.•.P4+PD的最小值为石，

->/1+/+，+(1-力2的最小值为石•

【小题3】

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222222

解：••7X+9=5/(X-0)+(0-3)>VX-12X+37=-6)+(0-1)，

・•.如图:设点P(x,0)是x轴上的动点，点4(0,3),8(6,1),

•••&+9-Vx2-12x137=|吁网

.•・当且仅当小A.4三点共线，且4在4与力之间时，等号成立，即|/划一|/叫的最大值为MM，

­•IAB|=^(6-0)2+(1-3)2=J36+4=<40=2而，

的最大值为2而，即叩2+9_-12X+37的最大值为2M•

20.【答案】【小题1】

证明：♦:DO=AO,EO=CO,

四边形NCQK是平行四边形，

•・泗边形/3co是矩形，

•••4OC=90。，

.•JOICE，

四边形/CQ"是菱形；

【小题2】

解：・“DICE，

.ZOA=90°,

•・・/IE=13，/。=5，

:.OE=ylAE2-AO2=7169-25=12*

:.CE=\2x2=2^AD=2A0=}Q

，四边形"DE的面积二14)-CE=1X10X24=120.

22

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21•【答案】【小题1】

（24-5/）

（5，-24）

【小题2】

当点尸在C的左侧时（含点C）,根据题意得，

CF=24-56AE=3t,

•••AG〃BC，：当AE=CF时四边形AECF是平行四边形，

3124—53解得£=3.

当点尸在C的右侧时，根据题意得，。/=5/-24,AE=3t,

•・•AG〃BC,.•当AE=CF时四边形AECF是平行四边形，

3/=5z-24,解得E=12.

综上可得，当以力、。、E、产为顶点的四动形是平行四动形时，"百为3或者12.

【小题3】

存在某一时刻，使E、/两点间的距离最小.

若E、/两点间的距离最小，则用18c.

过,4作4OJL8C于。，可得四边形彳斯。为矩形，此时花=也）,

在等边三角形力8。中，”=24,

[4。=12,。产=51—12,

.,.3/=5/-12解得/=6

.•.存在某一时刻，使E、/两点间的距离最小，此时,=6.

22.【答案】【小题1】

解：DF=AE，理由如下:

连接力“，如图

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G

••泗边形43Q9是菱形，Z45C=60°

：.AB=AD^AD//BC

/.ZBAD=\80°-ZABC=\80°-60°=l20°

NADB=ZJ^D=-x(18O°-l20')=30°

•・•四边形加*G是菱形，/4/=60。

:.AE=FE，

:.b.AEF是等小三角形

AAE=AF>N/W=60。

•・•AEAD=180°-AAEF-NADB=180°-60°-30°=90°

/.ZDAF=LEAD-Z.EAF=90°-60°=30°=NADB

：.DF=AF

:.I)F=AE

【小题2】

解：成立，证明如下，

连接力C，EC,AV,如图

:.AD=CD，ZADC=ZABC=60°^3。垂直平分4C

.•■4QC是等边三角形，CE=AE

:.AC=AD^/CW=60。

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:.ZCAE=ACAD-NDAE=60°-Z.DAE

•.•四边形川讣’G是菱形,///〃,'=60°

AE=FE

.•.“£户是等边三角形

AAE=AF^Z£/fA=60°

:.NDAF=ZEAF-ZDAE=60°-ZDAE

:.NCAE=/DAF

:.ACAE^DAF（S\S）

:.CE=DF

DF=AE

【小题3】

解：连接4C，AF，DF，如图

由（2）可知，CE=AE

ZEAC=ZECA

,;NEAF=4EF=60。，点E、F、。在同一条直线上

:.ZAEF=ZEAC+Z.ECA=60°

/.ZEAC=Z.