人教A版高一数学暑假预习：集合的关系（讲）-（人教A版必修第一册）原卷版+解析

1.2集合的关系

【题型解读】

【知识储备】

1.子集、真子集、集合相等的相关概念

一中的元索都是____

A中的元素

Ii:

相等

［知识点拨］(1)“A是8的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意能推

出工£8.

⑵不能把“AG歹理解为“A是B中部分元素组成的集合“，因为集合人可能是空集，也可能是集合七

(3)特殊情形：如果集合4中存在着不是集合8中的元素，那么集合A不包含于仅或集合8不包含集合A.

(4)对于集合A,B,C,若AG&BUC,则A1C；任何集合都不是它本身的真子集.

(5)若AG8,且A9，则A野.

2.空集

(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为0.

(2)规定：空集是任何集合的子集.

3.Venn图的优点及其表示

(1)优点：形象直观.

(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.

4.集合间关系的性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AGA.

(2)对于集合AB,C,

①若4G8,且8GC,贝IJAGC；

②若BQC,则

(3)若AU8,A邦,则疮.

【题型精讲】

【题型一集合间关系的判断】

必备技巧判断集合关系的方法

（1）现察法：---列举观察.

（2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.

⑶数形结合法：利用数轴或Venn图.

例I（多选）（2022•全国高一单元测试）下列四个选项中正确的是（）

A.{0}q{a,。}B.{（a,b）}={a,b}C.{a,6}={瓦.}D.0c{O}

例2（2022•广东中山市高一期末）能正确表示集合M={x£R|O<xW2}和集合7=卜£如27=0}

的关系的韦恩图的是（）

141

例3（2022•浙江高一单元测试）已知集合A={x|x=§（2Z+l）MeZ},B={x|x=§A±§,&£Z},则集

合A,B之间的关系为.

【题型精练】

1.（2022.浙江高一课时练习）已知集合M=*|y2=2x,）七R}和集合P={（x,y）|^=2x,yGR},则两个集

合间的关系是（）

A.B.

C.M=PD.M,尸互不包含

2.（2022•山东济南高一课时练习）下列关系中，正确的个数是（）.

®0e｛0｝;②0团｛0｝,；③｛0,1｝a｛（0,1）｝；④｛（叫｝=｛伍,〃）｝.

A.IB.2C.3D.4

7T71nJT

3.（2022•全国高三专题练习）若集合M=Z----------卜，N=4xx=h一+二，&,

[24J42

则（）

A.M=NB.M<^NC.N口MD.McN=0

【题型二确定集合的子集、真子集】

必备技巧求集合子集、其子集的3个步骤

例4（2022•沙坪坝重庆一中高一月考）已知集合4=｛乂Yv2,xwZ｝,则A的真子集共有（）个

A.3B.4C.6D.7

例5（2022•河南信阳高中高一期末）已知集合让国犬一广。｝,^=｛XGN|X2-5X<0｝

则满足条件的集合M的个数为（）

A.7B.8C.15D.16

【题型精练】

1.（2022.浙江高一课时练习）满足俗｝口加，。1C4｝的集合M共有（）.

A.6个B.7个C.8个D.15个

2.（2022•山东青岛二中期中）集合A={-2,—l,l},8={4,6,8},M={x|x=a+。力£也亲£目,则集合M

的真子集的个数是

A.1个B.3个C.4个D.7个

3.（2022•陕西西安市高一期末）满足{l}qA={l,2,3}的集合力的个数是（）

A.2B.3C.4D.8

【题型三两集合相等问题】

例6（2022•浙江高一期中）下列集合与集合4={2,3}相等的是（）

A.{（2,3）}B.{（%y）k=2,y=3}

C.{1/_5戈+6=0}D.{x=2,y=3}

例7(2022轲北石家庄市高一期末)已知集合A=<0,。+。,},3={O,l-/?,l},(a,若A=8,

则。+2力=()

A.-2B.2C.-1D.1

【题型精练】

1.(2022•广东潮州高一期中)下列各组集合中，表示同一集合的是()

A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={2,3),,V={3,2)

C.M={(x,y)|x+y=l},N={y\x+y=\}D.M={1,2},N={(1,2)}

2.(2022虹苏省天一中学期中)设a,bwR,则集合/=卜|(*-1)2(*-。)=0卜0=卜|(4+1)。一城=0},

若P=Q,则。一〃二()

A.0B.2C.-2D.1

3.（2022•全国高一课时练习）已知互异实数〃WHO,集合W，〃}={"2,〃2},则〃?+〃=______.

【题型四已知集合关系求参】

必备技巧利用集合关系求参数的关注点

（1）此美问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端

点值，做到准确无误.一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示.

（2）此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集.

例8（2022.盘锦市第二高级中学月考）已知集合人={-1,3,2m-\},集合8={3,序}.若恒人，则实

数皿等于（）

A.±1B.-1C.ID.0

例9（2022.辉县市第二高级中学高一月考）已知集合A—{x|—2«x«5},B-{x\mA-\<x<2m-\\,

若BqA,则实数〃?的取值范围是—.

例10（2022•济南一中月考）设集合4=1£/?k2+4彳=0},

/?X2+2（«+1）X4--l=0,4ZG,若8口4,求实数a的值.

【题型精练】

1.（2022•济南第一中学月考）设集合A={x|lvx<2},8=卜卜<a},若/1G8,则。的取值范围是（）

A.{a|aN2}B.{业41}C.D.{*42}

2.(2022•上海高一期末)已知A={xlx?+x-2=0),B=+at+2a-4=(),XER},若3盘A,

求实数。的值.

3.（2022・浙江高一课时练习）已知集合4={刈1〈公<2},8={彳||2<1},是否存在实数〃，使得

若存在，求出实数。的取值范围；若不存在，请说明理由.

1.2集合的关系

【题型解读】

【知识储备】

1.子集、真子集、集合相等的相关概念

［知识点拨I(1)”是月的子集”的含义：集合4中的任何一个元素都是集合B的元素，即有

任意能推出

(2)不能把“AGZT理解为“A是3中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是

集合B.

(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合8中的元素，那么集合A不包含于&或集合

3不包含集合A.

(4)对于集合A,B,C,若AG8,BGC,则4GC；任何奥合都不是它本身的真子集.

⑸若AGB,且贝I］力野.

2.空集

(I)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为0.

(2)规定：空集是任何集合的子集.

3.Venn图的优点及其表示

(1)优点：形象直观.

⑵表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.

4.集合间关系的性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AGA.

(2)对于集合A,B,C,

①若*8,且BGC,则AGO：

②若AGB,BGC,则A".

(3)若AG4,A丰B,则疮.

【题型精讲】

【题型一集合间关系的判断】

必备技巧判断集合关系的方法

(1)观察法：---列举观察.

(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特

征判断关系.

(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.

例1(多选)(2022•全国高一单元测试)下列四个选项中正确的是()

A.{0}工{a,〃}B.{(〃,/?)}={«b}C.{〃,"}={〃,〃}D.0c{O}

【答案】CI)

【解析】对于A选项，集合{0}的元素是0,集合{4耳的元素是〃涉，故没有包含关系，

A选项错误.对于B选项，集合{(〃,〃)}的元素是点的坐标，集合{4耳的元素是故两

个集合不相等，B选项错误.对于C选项，两个集合是相等的集合，故C选项正确.对于D选

项，空集是任何集合的子集，故D选项正确.

故选CD.

例2(2022•广东中山市高一期末)能正确表示集合用二卜€叫04工42}和集合

'=1£叫/一工二0}的关系的韦恩图的是()

2

【解析】N=xeRx-x=0j={0,l}cM=1^GR|0<X<2},故选B.

例3（2022•浙江高一单元测试）已知集合人=国卜="（24+1）,女£2｝,

41

B=｛x|x=-A:±-^eZ）,则集合A,B之间的关系为.

【答案】A=B

【解析】对于集合A,k=2n时，x=^（4/?+l）=y+1,A?GZ,

14/2I

当k=2n-l时，x=—（4〃-2+1）=------,/?GZ

9V799

即集合A=Rx二#±[,〃wz｝,rhB=-x\x=^-±^keZ•

可知A=B,故填：A=B.

【题型精练】

1.（2022.浙江高一课时练习）已知集合M=｛M"=2r,y£R｝和集合P=｛（x,y）lr=2x,y

£R）,则两个集合间的关系是（）

A.M^PB.P^M

C.M=PD.M,尸互不包含

【答案】D

【解析】由于集合“为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含，故选D.

2.（2022•山东济南高一课时练习）下列关系中，正确的个数是（）.

®0e｛0｝；②0m｛0｝,；③｛0,1｝j｛（0,1）｝；④｛（4,〃）｝=｛（〃,〃）｝.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于①，0是集合｛0｝中的元素，即。£｛0｝,故正确；

对于②，空集是任何非空集合的真子集，故00｛0｝,故正确；

对于③，集合｛0,1｝中的元素为0,1，集合｛（0J）｝中的元素为（0,1）,故错误；

对于④，集合｛（。力）｝中的元素为（。/），集合｛（/"）｝中的元素为他M），故错误.故选：B

3.（2022•全国高三专题练习）若集合=Mwz],

24

N=\xx=k~+—,keZ>,jjiij（）

42

A.M=NB.MjNC.N三MD.McN=0

【答案】B

【解析】=AEZ时，2左一1取得所有奇数，

244

^7"

八一十—=（攵+2）・一，ZwZ时，k+2取得整数因此MqN.故选：B.

424

【题型二确定集合的子集、真子集】

必备技巧求集合子集、其子集的3个步骤

例4（2022•沙坪坝重庆一中高一月考）已知集合人=,|d<2,X£Z},则A的真子集

共有（）个

A.3B.4C.6D.7

【答案】D

【解析】因为A={Mx2〈2/eZ}={-l,（M},所以其真子集个数为23-1=7.故选：D.

例5（2022•河南信阳高中高一期末）已知集合4=卜犷一%=°}，

B={XG7V|X2-5X<0},则满足条件的集合M的个数为（）

A.7B.8C.15D.16

【答案】C

【解析】4={目/7=0}={0,1},Z?={xG/V|x2-5x<0}={0,1,2,3,4,5）,

AGM些B,则集合”中一定包含元素0、1,

.•.满足条件的集合M有：{0,1},{0J2},{0,1,3},{0,1,4},{0,1,5},{0,1,2,3},{0,1,2,4）.

{0,125},{0,1,3,4},{0,1,3,5},{0,1,4,5},{0,1,2,3,4},{0,1,2,3,5},{0,1,2,4,5},

{0,1,3,4,5},共15个.

故选：c

【题型精练】

1.（2022.浙江高一课时练习）满足{〃}qM呈{a,A,c,d}的集合M共有（）.

A.6个B.7个C.8个D.15个

【答案】B

【解析】集合例中必含元素。，且为{。,dc,d}的真子集，可按元素个数分类依次写出集

合M为{〃},{&〃},{a,c},{〃/},{a,〃,c},{〃也共7个.故选：B.

2.（2022•山东青岛二中期中）集合

A={-2,-11}出={4,6,8},加={冗|%=々+/"?£员工三3},则集合用的真子集的个数是

A.1个B.3个C.4个D.7个

【答案】B

【解析】由题意，集合4={-2,-1,1}乃二{4,6,8},XEA

则M={x\x=a+byxeA,beB}=[4,6},

所以集合M的真子集的个数为22—1=3个，故选B.

3.（2022•陕西西安市高一期末）满足{l}qAq{l,2,3）的集合力的个数是（）

A.2B.3C.4D.8

【答案】C

【解析】由题意，可得满足{l}qAq{l,2,3}的集合/为：{1},{1,2},{1,3},{1,2,3）,

共4个.

故选C.

【题型三两集合相等问题】

例6（2022•浙江高一期中）下列集合与集合人={2,3}相等的是（）

A.{（2,3）}B.|（x,yl|x=2,y=3}

C.-5x+6=O|D.{x=2,y=3}

【答案】C

【解析】集合A表示数字2和3的集合.

对于A：集合中的元素代表点（2,3）,与集合A不同，A错误：

对于B：集合中的元素代表点（2,3）,与集合A不同，B错误；

对于C：由丁―51+6=0得：/=2或x=3,与集合A元素相同，C正确；

对于D：表示两个代数式的集合，与集合A不同，D错误.

故选：C.

例7（2022•河北石家庄市高一期末）已知集合A=+4={0』一仇1},（a,

b

bsR）,若4=3，则。+2Z>=（）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】D

【解析】•・•集合A={0,G+/?；},8={0,1—。』},且A=8，

d+/?=1—/?,—=1,或tz+Z?=l,0=l—/?,

bb

先考虑〃+〃=1一8,9=1，解得。=/?=’,

b3

f22

此时A=j0,§/r8=<0,5，lr满足题意,

a+2b=\:

再考虑〃+h=1,9=1-人，解得。=0,〃=l,

b

此时A={O,1,O},B={O,O,1},不满足题意,

综上，。+2/?=1故选：D

【题型精练】

1.(2022•广东潮州高一期中)下列各组集合中，表示同一集合的是()

A.M={(3,2)),N={(2,3)}B.M={2,3},N={3,2}

C.M={(x,y)|x+y=1),N={y|x+y=l}D.M={1,2},N={(1,2)}

【答案】B

【解析】A选项中，M={(3,2)},N={(2,3)},集合M、N都是点集，但集合M里的

元素是点(3,2),集合N里的元素是点(2,3),所以集合M、N不是同一集合；

B选项中，集合M、N都是数集，并且它们的元素都相同，所以时同一集合：

C选项中，集合〃是点集、集合N是数集，所以集合A/、N不是同一集合：

D选项中，集合M是数集、集合N是点集，集合M、N不是同一集合.故选：B.

2.(2022•江苏省天一中学期中)设则集合

22

P={X|(A--1)(A-«)=O},G={X|(X+I)(X-/?)=O},若尸=Q,则()

A.0B.2C.-2I).]

【答案】C

【解析】由题意，得「二(口।，Q={-：।，

•・・P=Q,・••仅当。=-L8=l时符合题意，故〃一6二—2.故选：C.

3.(2022•全国高一课时练习)已知互异实数〃〃200,集合{6,〃}={//,/},则相斗〃=

【答案】-1

(解析】互异实数”2*〃，集合{6,〃}={nr,/},

**•m=m2,n=//，或〃=加？，m=n2,inn^0.m^n.

由m=rn2,n=n2,mn^O,W〃，无解.

由〃=,〃?=n2,tnnw0,加工〃.可得）—6=nr-n2>解得m+n=—\.

故答案为：-1.

【题型四已知集合关系求参】

必备技巧利用集合关系求参数的关注点

（I）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，

还要注意验证端点值，做到准确无误.一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表

示.

（2）此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集.

例8（2022•盘锦市第二高级中学月考）已知集合人={-1,3,2/n-l},集合B={3,〃於}.

若则实数相等于（）

A.i1B.-1C.1D.0

【答案】C

【解析】集合A={-1,3,2m-1（,集合B={3,，/}.

若苗GA,则疗eA，且小工3,又丁〃/20,，二一1无解，

・,・苏=2切-1,解得母=1，经检验符合元素的互异性，故选：C.

例9（2022•辉县市第二高级中学高一月考）已知集合4={#一2<工<5},

B={x\m+\<x<2m-\}t若BqA,则实数用的取值范围是—.

【答案】（70,3]

【解析】根据题意得：当5=0时，w+l>2/n-bBPni<2.

m+1<2）n-1

当8工0时，<〃z+12-2,解得2〈mW3.综上，加43.故答案为：

1m-1<5

例10（2022•济南一中月考）设集合A={X£R,+4X=O},

/?x2+2（W4-1）X4-6Z2-1=0,6Z€,若求实数a的值.

【答案】aW-l或a=l.

【解析】•・•/={（）,—4},庞4于是可分为以下几种情况.

（1）当月=8时，B=[0,一4},

-2(6/4-1)=-4

・♦・由根与系数的关系，得解得a=l.

a2-\=0

(2)当时，又可分为两种情况.

①当BW0时，即0={0•或//={-4},

当*=0时，有a=±l；

当x=-4时，有a=7或a=l.

又由d=4(a+l)2—4(a2—1)=0,

解得a=-l,此时Q{01满足条件；

②当8=0时，/=4(a+l)2—4(，-1)<0,

解得水一1.