2026年高考数学一轮复习讲义：等比数列（附答案）

§6.3等比数列

【课标要求】1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列前〃项和公式，

理解等比数列的通项公式与前〃项和公式的关系3能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相

应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.

•落实主干知识・

I.等比数列有关的概念

(1)定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，

那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母式夕H0)表示.

(2)等比中项：如果在。与匕中间播入一个数G,使小G,力成数列，那么叫做。与人

的等比中项，此口寸，G2=.

2.等比数列的通项公式及前〃项和公式

(1)若等比数列｛%｝的首项为公比为小则其通项公式为.

(2)等比数列通项公式的推广：

(3)等比数列的前〃项和公式：当q=1时，，Sn=na\i当时，S尸=.

3.等比数列的常用性质

(1)若〃?+n=p+q,则,其中m,n,p,特别地，若2卬=〃?+〃，则

其中m,〃，卬WN".

(2)以,ak.m，02m，…仍是等比数列,公比为伏，/£N*).

(3)若数列｛〃”｝,｛乩｝是两个项数相同的等比数列，则数列(仇/〃｝,｛〃。，“儿｝和｛毅｝也是等比数列S，p,

户0).

1则等比数列｛而递.

0,10'则等比数列｛小｝递—

qVI

4.等比数列前〃项和的常用性质

若等比数列｛m｝的前〃项和为S”，则S”,仍成等比数列(公比q=-\且〃

为偶数除外)，其公比为夕〃.

S自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打或"X”)

(1)等比数列的公比g是一个常数，它可以是任意实数.()

（2）三个数ath，。成等比数列的充要条件是〃=ac（）

（3）数列｛m｝为等比数列，则S4,S&&,S12-S8成等比数列.（)

（4）对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积.（）

2.（2025・临汾模拟）在等比数列｛〃”｝中，。产1,34,则6等于（）

A.2B.-2C.±2D.2V2

3.（多选）设数列｛小｝是各项均为正数的等比数列，则（）

A.43,力成等比数列B.（Q3是等比数列

C.｛1g%｝是等比数列D.｛2｝是等比数列

4.在等比数歹ij｛a”｝中，。i=3,a।+〃3+%=21,则ai+ag=.

国微点提醒

解题时关注三个关键点

⑴当严0,且qW1时，S.=hk/（20）是｛斯｝是等比数列的充要条件,此时；鲁.

l-q

⑵由刖二g斯,q芋0,并不能立即断言｛为｝为等比数列,还要验证mWO.

（3）在运用等比数列的前〃项和公式时，必须注意对q=\与qWl分类讨论，防止因忽略q=\这一特殊情形

而导致解题失误.

j----------------------------------------探究核心题型---------------------------1

题型一等比数列基本量的运算

例1（1）（2023•全国甲卷）设等比数列｛册｝的各项均为正数，前〃项和为S”，若。尸1,S5=5S3-4,则S4等

于（）

A.-B.-

88

C.15D.40

（2）我国明代的数学家、音乐理论家朱载埴创立的十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二

平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数,

如表所示，其中0,"2,…，S3表示这些半音的频率，它们满足log2（等广=l（i=l，2,…，12）.若某

一半音与小的频率之比为次，贝!该半音为（）

频率a\〃26as。7。100203

半音CC*DEF尸GG"ABC（八度）

AFB.G

cdD.A

思维升华等比数列基本量的运算的解题策略

(1)等比数列中有五个量0,〃，夕，斯，S”，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解.

(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.

(3)运用等比数列的前〃项和公式时，一定要讨论公比g=l的情形，否则会漏解或增解.

跟踪训练1(1)已知等比数列｛%｝的前〃项和为S〃，如-4,8,则小等于()

Ssf

A.16B.8C.6D.2

(2)(2024・嘉兴模拟)设数列｛%｝的前〃项和为S，等比数列｛仇｝的前〃项和为4,若仁=-1,乩=8岳,(1-

2")<=〃(〃+1)乙，则Cln=.

题型二等比数列的判定与证明

例2(1)(多选)已知数列｛%｝的前〃项和为S”下列说法正确的是()

A.若则a,b,c成等比数列

B.若｛/｝为等差数列,则｛2而｝为等比数列

C.若S〃=3〃-l,则数列｛④｝为等比数列

D.若ai=1,6/2=2,3a〃+尸a”+2a”+2(〃£N"),则｛an+1-a”｝为等比数列

⑵(2024・福州模拟)己知数列｛小｝的首项。产|,且满足出+尸//

5Zdfi'T1

①求证：数列长-2｝为等比数列；

②若_L+2_+工+…+工<2025,求满足条件的最大正整数几

C1a2a3an

思维升华等比数列的四种常用判定方法

(I)定义法：若马_=夕(夕为非零常数，且心2,〃£N"),则｛a“｝是等比数列.

an-l

(2)等比中项法：若在数列｛小｝中，0Ho且W+i=aM,+2(〃£N"),则伍“｝是等比数列.

(3)通项公式法：若数列｛为｝的通项公式可写成a“二c//(c,q均为非零常数，,则｛a“｝是等比数列.

(4)前〃项和公式法：若数列｛斯｝的前〃项和S尸心"火攵为常数，且AW0,q会0,1),则伍”｝是等比数列.

跟踪训练2(2024•昆明模拟)已知数列｛a“｝满足a”(a”.i+3a〃+i)=4C"+](〃22,〃WN.)，且。尸1,

4

（l）i正明：数列｛六一a｝是等比数列；

⑵求他〃｝的通项公式.

题型三等比数列的性质

命题点1项的性质

例3（2023•全国乙卷）己知｛〃”｝为等比数列，so必=。3。6,。必0=-8,则。7=.

■微拓展--------------------------------------------------------------------------------------

下标和相等的等差（比）性质的推广

（1）若数列｛斯｝为等比数列，且/川+办2+…+机行攵1+心+，一+々〃，则。叫。＜?•….a7nn=a〃1a%以飞.

（2）若数列｛小｝为等差数列，且加1+恤+…+久等1+22+…+%〃，贝宿叫+。血2+…+0"%="％+o%+…+Q〃7T

命题点2和的性质

例4⑴设S”是等比数列｛如｝的前〃项和，若S?=2,。3+如=6,则当等于（）

A.2B.-C.3D.—

44

（2）已知等比数列｛小｝有2〃+1项，。产1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则“等于（）

A.2B.3C.4D.5

思维升华（1）在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若〃叶片p+g,

则4浦产的劣“，可以减少运算量，提高解题速度.

（2）在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注

意设而不求思想的运用.

跟踪训练3（1）（多选）下列说法正确的是（）

A.若等比数列｛为｝的前〃项和S”=2"/+/,则/=-1

B.若｛〃”｝为等比数列，且。2。7+。3。6=6,则…。8=81

C若数列｛斯｝为等比数列，S”为其前〃项和，则S〃，s2n-snfS3”S”，…成等比数列

D.项数为奇数的等比数列｛〃〃｝,a=2,S奇=登，S阴=2,则公比

32162

(2)(多选)设等比数列｛m｝的公比为q，其前〃项和为S”，前〃项积为7；,且满足条件

cil024a2025>1»(。2024-1)(。2025-1)<。，则卜列结论正确的是()

A.｛a〃｝为递减数列

B.S?024+1<S?025

CT2O24是数歹iJ｛7；｝中的最大项

D.北(M9>1

答案精析

落实主干知识

1.(1)2同一个公比(2)等比Gab

ai-a^q

2.⑴M5

i-q

3.(1)%必产即羯al>tan=a^(2)0”

⑷增减

4.S2“-S”S31rs2n

自主诊断

1.⑴X(2)X⑶X(4)4

2.A3.ABD4.72

探究核心题型

例1(1)C[方法一若该数列的公比夕-1,代入SjHS3M中，

有5=5X3-4,不成立，所以夕W1.

,+，1-Q5_、/]—q3

由丁*=5X「」-4,

l-o1-q

化简得/57+4=0,

所以『二1(舍)或qj,

因为此数列各项均为正数，

所以片2,所以s尸耍=15.

1-q

方法二由题知l+g+/+/+g4

=5(l+q+/)-4,

即/+g4=4g+4g2,

即"+夕2-4伏4=0,

即年2)(夕+1)(4+2)=0.

由题知00,所以行2.

所以$4=1+2+4+8=151

⑵B[依题意可知小＞0(〃=1,2,…，13).

由于171,02，…，03满足log2(^ti)=1(/=1,2,—,12),

则改广=2,所以等小痣,

所以数列0,s，…，03为等比数歹U,公比4=1次，

O#对应的频率为出，所求半音与ZT的频率之比为次=(|正＞，

所以所求半音对应的频率为or(]m)4=*,即对应的半音为G.]

跟踪训练1(I)D[设等比数列｛〃“｝的公比为夕，

由泠=8,

S5-J2

即08+07+%=[3(劭+/4+〈3)=8

%+。4+。3。5+。4+。3'

可得炉=8,即q=2,

又34,所以〃尸詈=2.]

(2)2〃

解析设等比数列｛》｝的公比为4,

由Z＞5=8/?2,贝U/=8,解得q=2,

又瓦二-1,所以瓦尸-2"」，

所以T„=(~1W~2n)=\-2n,

1—2

代入(1-2")£=〃5+1)心，

解得S,』5+l),

当n=\时,aj=Si=2,

当“22,〃£N"时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-n(n-1)=2/i,

。尸2满足上式,所以。“=2〃,〃£N".

例2⑴BCD[对于A,当〃二加。:0时，庐:双，此时a",c不成等比数列，故A错误；

对于B,若｛知｝为等差数列，设其公差为d,则此时有答二2。』-。"二2">0,所以数列｛2。“｝为等比数列，

故B正确；

对于C,若S〃=3〃C,则。产$=2,

斯=5”-工-产3〃-1-(3"-1)=3"-39=23川(〃22),

。尸2显然满足小=2・3〃/，所以数列〔为｝为等比数列，故C正确；

对于D,因为3an^i=an+2an+2,

所以2(。〃+2s+1)-(即19)=0,

而。尸1,6=2,

因此数列｛斯+i•%｝是首项为1,公比为之的等比数列，故D正确.]

(2)①证明由即+尸：7^片，

2an+l

得上=1+3」，

Qn+i2an

则:2矶十一2),

Qn+i2\anJ

又ai],：2二步。，

5al2

所以数列｛a-2｝是以T为首项，3为公比的等比数列.

②解由①可得3=(丁，

所以")”+2.

则工二十…」

a2an

"G+H抖…+*)+2〃

用字+2〃=1-导2〃,

由工+2」+…+^~<2025,

aia2a3an

得1二+2〃<2025,

271

即2〃费<2024,

又函数产2〃3为增函数，

£•

所以满足2〃-奈2024的最大正整数为1012.

跟踪训练2（1）证明•••a”Mi+3a”+i）=4〃”.g+i（〃22,

・13_4

••------1----------,

即+ian

Qn+ian脸-土；）>

又工-2=4-1=3/0,

azJ

・••数列1二一一2］是首项为3,公比为3的等比数列.

Sn+ian）

⑵解由（1）得二一」=3乂3"」=3〃，

即+1an

・•・当〃22时，（工一工）+（^----^卜…+（工一工）

=3小1+34+…+3匚3（1-3吁1）

1-3

=-3-"-3,即a——n1-——1=--3-”-3,

2'加2

.13n-313n-3,

a”2al2

_3n-l

又0=1也满足上式，，数列｛4｝的通项公式为4尸启.

3“一1

例3-2

解析方法一｛斯｝为等比数列，

«4«5=«3«6,•'•el,

又〃2。<妆10=。7。7。7,

3

・•・1X(-8)=(a7),

/.m=-2.

方法二设｛小｝的公比为q(qWO),

则42aM5=。3。6=。2夕的9,显然斯W0,

则OK/,即。炉引，贝|］。q=1,

V«9«IO=-8,则aq%“=-8,

则才5=(，)3=8=(・2)3,

则炉=-2,则ai=a\qcf=(f=-2.

微拓展

典例33

解析S产幽誓=16,

，。|+。8=4,

yV69+«1+«8=3«6,«6=3,

故$1=1106=33.

例4(1)D［由题意得S2=2,S4-SI=6,S4=S2+6=8,且等比数列｛分｝的公比q#-l,

贝|JS2,S4-S2,S6-S4成等上匕数列，

2

故(Sd-S2)=57(56-S4),

2

即6=2(S6-8),

解得$6=26,故回篝］

(2)B［因为等比数列｛诙｝有2〃+1项，则奇数项有〃+1项，偶数项有〃项,设公比为q,

得到奇数项的和为1+/+/+・・・+/〃=］+虱q+炉+寸+・..+『〃-1)=85,

偶数项的和为q+ql夕"+…+夕2，内=42,整体代入得q=2,

所以前2〃+1项的和为号?=85+42=127,解得〃=3.］

1—2

跟踪训练3(l)BD［对于A,因为S*2〃/+/=/+；X2”，由等比数列的前〃项和公式S产要出=鲁-鲁/,

21-q1-q1-q

知W，所以A错误；

对于B,由Gs+a3a6=6,得到。2。7=。3。6=3,所以wo2a3…>8=(。2a7)4=81,故B正确;

对于C,当行-1,〃为偶数时，S/0,显然Sn,SwSn,S3”5〃，…不成等比数列，所