全等三角形X模型-初中数学模型与解题方法专练（解析版）

12全等三角形X模型

一、单选题

1.在如图所示的两个全等三角形中，与EC是对应边，与是对应角，则以下结论中，错误的是

()

【答案】D

【详解】解：BC和EC是对应边，与NE是对应角，

：.AB=DE,AC=DC,=ZACB=ZDCE,

即选项A、B、C都正确，

根据△ABCg/sOEC不能推出ZACB=ZCDE,应是ZACB=ZDCE.

故选：D.

2.如图，在18C中，点E是AC的中点，点〃是边上一点，尸。〃交。石的延长线于点广.若3。=2,

CF=5,则人3的长是()

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【详解】解：因为点£是AC的中点，

所以4E=CE,

乂因为产。〃44,

得乙DA石二/尸。石，

因为ZAED=NCEF,

在AAOE和C庄中

NDAE=NFCE

AE=CE

NAED=/CEF

I

所以AOE0&C庄（ASA）,

则AD=C尸,

因为皮）=2,CF=5,

所以A8=AO+O8=3+80=5+2=7,

故选：C.

3.如图，要测量池塘两岸相对的两点A,4之间的距离，可以在池塘外取A4的垂线M上两点C,D,使

BC-CD,再画出〃尸的垂线/IK,使点E与A，。在同一条直线上，这时，可得△44C9△皿C,这时

测得的长就是的长.判定3cg△EOC最直接的依据是（）

A.HLB.SASC.ASAD.SSS

【答案】C

【详解】解:因为肺的垂线力石，4B的垂线8/，

所以ZABC=ZEDC=90°,

因为4C=CD,ZACB=/ECD（对顶角相等），

所以△八4c^△E/X?（ASA）,

故逃C.

4.如图，AO是“SC的中线，E,F分别是AO和AO延长线上的点，且。E=。「，连接防、CE.下

列说法：①CE=BF；②△A3。和.ACD面积相等；③所CE­④△BDFdCDE.其中正确的有

（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【详解】解：.A。是ABC的中线，

BD—CD,

2

在加?。尸和CI”,

BD=CD

NBDF=ZCDE,

DF=DE

：..BDF^CDE,故④正确

:.CE=BF,/F=4CED,故①正确，

:.BF//CE,故③正确，

;BD=CD,点力到80、C。的距离相等，

.•"3。和..AS面积相等，故②正确，

综上所述，正确的有4个，

故选D.

5.如图，已知人。是_/13。的中线，E,尸分别是AO和AO延长线上的点，且连接

CE.下列说法正确的是（）

®BD-CDx®SABD=SAOCi③ARDF/ACDE、®HFCEX®CE-AEX©ZBAD-ZCAD

A.⑤B.①③⑤⑥C.①②@@D.①④⑤⑥

【答案】C

【详解】解:①・・•4)是闻2的中线,

/.BD=CD,故①正确；

②：BD=CD,

・•・△AB。和A4DC为等底等高的三角形，故②正确；

③,:AD-AE=DF,

JDE=DF,

在A6D尸和二CZ)七中，

BD=CD

ZBDF=ZCDF,

DF=DE

；._BDF，CDE(SAS),故③正确；

@VABDF沿ACDE,

:./F=/DEC,

3

:.BFCE,故④正确；

⑤：△BDFmACDE,

：.BF=CE,故⑤错误；

©VAO是J3C的中线，

Z.BD=CD,和NC4。不一定相等，故⑥错误：

综上所述：①②③©正确.

故选:C.

6.如图，AD是./WC的中线，E,产分别是A。和AO延长线上的点，且DE=DF,连结班CE.下

列说法：①△A8O和1ACD面积相等；②N84O=NC4。；③aBDF—CDE；④BF//CE；⑤CE=AE.其

中正确的有（）

A.®®®B.①③④C.②③④D.①®@④

【答案】B

【详解】解：•・•AO是ABC的中线，

・•・BD=CD,

•••△人8。和..477）面积相等，故①正确；

•・•AZ）是的中线，

:・BD=CD,/区4。和NCA。不一定相等，故②错误；

在厂和AC。石中，

BD=CD

<NBDF=Z.CDE,

DF=DE

・•・BDF—CDE（SAS）,故③正确；

/F=/DEC,

：,BF//CE,故④正确；

没有条件可以证明CE=AE,故⑤不一定正确，

综上所述，正确的结论为：①③④，

故选:B.

二、填空题

4

7.如图所示，A4',83'表示两根长度相同的木条，若。是A4'，38'的中点，经测量AB=9cm,则容济的

内径49为cm.

【详解】解：＜44'=班'，。是A4’,附'的中点，

：.OA=OB=OB,=OA,=-AA,=-BB',

22

又：ZAOB=ZAOB',

:.VAOB^VAOQ(SAS),

AB=4?=9cm,

故答案为：9.

8.如图，。是人8上一点，。/交AC于E，DE=EF,FC//AB,若BD=1,CF=3,贝|JAB=

【答案】4

【详解】解：.FC//AB,

:,ZA=ZACFyNF=NADF,

又;DE=EF,

AADE色ACFEIAAS),

：.CF=AD=3,

:.AB=AD+BD=4,

故答案为：4.

9.如图，已知A。是二ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于广,AC=BF,ZDAC=24°,4EBC=32°,

则/AC6=_________

5

【答案】100°

【详解】解：如图，延长,仞到M使得〃法49,连接则如图所示:

后

在△MV和△如中，

DM=DA

</BDM=ZCDA,

BD=CD

・•・△加j丝△aw(SAS),

:・B后AOBF,N俯N加俏24°,NO/DBM,

•:B六AC,

:.2BM,

・・・乙生/必沪24°,

・•・/./叱180°-NHN期沪132°,

•・•/破田32°,

：・4DB拒乙MBF/EB®100°,

：・/C=/DB后1000,

故答案为：100°.

10.如图，在二ACZ)中，ZC4D=90°,AC=4,4。=6,AB■CD,E是CD上一点,BE交AD于点、F

若A3=OE,则图中阴影部分的面积为.

【答案】12

【详解】解：TABCD,

・•・ABAD=AD.

在aBA产和_££>F中,

6

ZBFA=NEFD

/BAD=ND,

AB=DE

:」BAF且二EDF(AAS),

••S加=SEDF，

・•・图中阴影部分面积=%边形回防+5的=543=：4。4)=34乂6=12.

故答案为：12.

11.为迎接全国第十四届运动会，我校举行“缓堵保畅，安全出行，小手拉大手活动”每天值班老师和部

分学生在校门两边站岗执勤(线段CD所在区域).如图，AB//OH//CD,AC与4/)相交于。，ODLCD

于点。，OD=OB,已知A8=320米，请根据上述信息求出执勤区域CD的长度是.

__________g人行道、

二

行车道—>』离带飞

crDAfiifi

【答案】320米

【详解】解：・・,AB〃a),

:.4)CD=NOAB,

在oOCD和^OAB中，

ZOCD=ZOAB

ZCOD=NAOB,

OD=OB

・•・VOCD^VCMB(AAS),

・•・CO=AA=320米，

故答案为：320米.

12.在测最一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“力型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA=OD,O8=OC,

测得43=8cm,E/=10cm,则圆形容器的壁厚是cm.

AB

EgF

【答案】1

【详解】解：,：OA=OD,ZAOB=NDOC,OB=OC,

7

・•・AAO83△DOC(SAS),

・•・CO=AB=8cm,

VEF=10cm,

・•・圆形容器的壁厚是：!(FF-CD)=1.

故答案为：1.

三、解答题

13.产为等边△/出。的边/心上一点，0为8。延长线上一点，且为=8，连图交力。边于〃.

(1)证明：PD=DQ.

(2)如图2,过夕作用_1力。于£,若脑=6,求必的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)属=3.

【详解】(1)如图1所示，点P^PF"BC交AC于点F.

•••△力比’是等边三角形，

•••△/斤也是等边三角形，AFPeA产CQ.

'：PF//BC,：,APFD=ADCQ,

/PDF=/QDC

在和△Q〃C中，•NDFP=，QCD,

PF=QC

：,^PDF^/\QDC(AAS),

：.PD=DQ,

(2)如图2所示，过P悴PF〃BC交AC千F.

■:PFHBJ△/1先是等边三角形，

：.^PFD=ZQCD,△/!勿是等边三角形，

：,AP=PF=AF.

'：PELAC,：.A^EF.

,:A六PF,AP=CQ,：.PF=CQ,

/PDF=/QDC

在△形〃和△仇力中，«NDFP=，QCD,

PF=QC

:.\PF哙XQCD(AAS),

8

:.科工CD.

.:止EF,:历FFA济CD,

:・AEmDE==AC.

2

V/^6,.••循3.

14.阅读下面的题目及分析过程.已知：如图点E是BC的中点，点A在0E上，且钻=Z）C

说明：ZBAE=ND

分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质.观察本题中说明的两个角，

它们既不在同一个三角形中，而且们所在两个三角形也不全等.因此，要说明NBAE=〃，必须添加适当

的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下：

如图①过点C作C///A4,交OE的延长线于点尸.

如图②延长至点M,使例£=。£,连接8W.

（1）请从以上两种辅助线中选择•种完成上题的说理过程.

（2）在解决上述问题的过程中，你用到了哪种数学思想？请写出一个..

（3）反思应用：

如图，点8是4E的中点，BCLBD于点B.

请类比（I）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段AC+/）已与C。之间的大小关系，并说

明理由.

9

【答案】(1)采用第一种方法，证明见解析(2)转化思想(3)ACWE>CD,证明见解析

【详解】(1)采用第一种方法，过点。作交。月的延长线于点尸.

•・•CF//AB

・•・AB=4ECF,NBAE=ZCFE

又E点是BC中点，

AEE=CE

/.△ABE^AFCE(AAS)

43AE=/F,AB=CF,A,E,F在同一直线上，

,:AB=DC

・•・ZD=ZF

ZJiAE=ND；

(2)此题用到了转化思想；

故答案为：转化思想；

(3)如图，过点、E作EF//AC,同(1)理得到△ABCgZXEBF,

・・・AC=EF,BC=BF

连接DF

■:BCtBD

•二△CDF是等腰三角形

・"D=DF,

在aDEF中，EF+DE>DF

故AC+DE'CD.

15.如图所示：。是等边三角形，。、E■分别是AB及4c延长线上的一点，且BD=CE,连接OE交BC

10

于点M.

求让：MD=ME

【答案】见详解

【详解】过点D作DE〃AC,交BC于点E,

•・•/8C是等边三角形，

・・・NB=NACB=60°,

VEE#AC,

AZDEB=ZACB=60°,ZMDE=ZMEC,

・•・4BDE是等边三角形,

JED二DE,

,:BD=CE,

.\EE=CE,

XVZEMD=ZCME,

AZEMD=ACME,

:.MD=ME.

16.【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,1A8C中，若48=8,AC=6,求8c边上的中线力。

的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AZ）到点E,^DE=AD，请根据

小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△AOC也△口"的理由是.

（2）求得AD的取值范围是______.

11

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所

求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,在必8C中，点。是3C的中点，点M在人B边上，点N在AC边上，若DM工DN,求证：

BM+CN>MN.

【答案】(1)SAS；(2)1<4D<7；(3)见解析

【详解】(1)解：•・・在AADC和AEDB中，

AD=DE

<ZADC=ZBDE,

BD=CD

AAADC^AEDB(SAS),

故答案为：SAS；

⑵解:•・•由(1)知：AADC^AEDB,

/.BE=AC=6,AE=2AD,

•・•在△ABE中，AB=8,由三角形三边关系定理得：8-6<2AD<8+6,

A1<AD<7,

故答案为：1VADV7.

(3)证明：延长NO至点E,使DE=DN,连接储、ME,

如图所示：

•・•点。是8。的中点，:・BD=CD.

在工4"。和△CN。中，

DE=DN

•/BDE=4CDN,

BD=CD

；・BEDm&CND（SAS）,

，BE=CN,

■:DM工DN,DE=DN,

，ME=MN,

在ABEM中,由三角形的三边关系得：BM+BE>ME,

・•・BM+CN>MN.

17.问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,△4%中，若/以=4,AC=3,求5。

边上的中线/!〃的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长独到点£,使应'=

力〃，则得到△/1〃丝△及物小明证明△应侬〃用到的判定定理是：—（用字母表示）；

问题解决；小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等二角形,

把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.请写出小明解决问题的完整过程；

拓展应用：以△力比的边仍力C为边向外作△力应'和徼AB=AE,AC=AD,NBAE=NCAD=9Q°,M是

比中点，连接/IMDE.当相/=3时，求庞的长.

【答案】问题背景：%S：问题解决：完整过程见解析；拓展应用：DE=6.

【详解】问题背景：如图1,延长初到点£,使庞=49,连接阳

13

A

V

E

图1

•・•/〃是△?!戊的中线，

:・BD=CD,

在△力〃。和△及后中，

AD=ED

<ZCDA=ZBDE,

CD=BD

，△力比丝△拉加CSAS),

故答案为：5/15;

问题解决：如图1,延长力〃到点后使。£=月〃，连接BE,

•・•/〃是△力比、的中线，

：,BD=CD,

-在区ADCQREDB中,

AD=ED

・ZCDA=NBDE,

CD-BD

・•・△力〃四△板(SAS),

:.BE=AC,

在△力原'中，AB・BEVAEVAmBE,

■:£B=k力。=3,

•••4-3V4<4+3,即1V/JX7,

•:蚌AD,

:.AD=\AE,

・•・；〈力〃〈巳

拓展应用：如图2,延长九夕至UA；使得业V=/l机连接笈V,

由问题背景知，△阳热也必(SIS),

：,BN=AC,/CAM=/BNM,

：.AC//BN.

'：AC=AD,

:脚=AD,

*：AC//BN,

・•・/阳3砒三180°,

'：ABAE=^CAD=^a,

・・・/%创/刈〃=180",

・•・2ABmZ.EAD,

在△/彷”和△£4〃中，

AB=EA

<NABN=ZEAD,

BN=AD

:ZB溶l\EM)(SAS),

：.AN=DE,

•：MN=AM,

：,DE=AN=2AM,

■:AM=3,

：・DE—6.

18.如图，在△/1欧中，〃是回边上的一点，/是/”的中点，过点力作回的平行线交班'的延长线于E

且，彷=〃£连接东

15

⑴求证：〃是比的中点；

（2）如果/应=4C,试猜测四边形力比尸的形状，并证明你的结论.

【答案】（1）见解析：（2）四边形月仇*是矩形，理由见解析

【详解】⑴证明：•・•〃是力〃的中点，

:、归DE.

,:杼HB3

:.m=/BDE,/AF拄4DBE.

在△/!叫和△颂中，

NFAE=/BDE

-NAFE=4DBE,

AE=DE

.•・△/!巫也△颂（AAS）.

：.AF=BD.

.:上DC,

即：〃是比的中点；

（2）解：四边形A9”是矩形；

证明：'：AF=DC,AF//DC,

・•・四边形/以方是平行四边形.

■:小AC,BD=DC,

・"〃J_"7,即2/1喊90°.

・•・平行四边形/I叱是矩形.

19.【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1,4ABe中，若A8=8,AC=6,求8C边上的中线4。的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2,延长A。到点发使。E=AO,连接电.请

根据小明的方法思考：

（1）如图2,由己知和作图能得到匕△互出的理由是.

16

A.SSSB.SASC.AASI).ASA

(2)如图2,4。长的取值范围是.

A.6<AO<8B.6<AD<8C.1<AD<7D.I<AD<7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和

所求证的结论转化到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图3,A。是的中线，BE交AC于点必交AO于凡且AE=EF.求证：AC=BF.

【答案】(1)B(2)C(3)见解析

【详解】解：(1)如图2,延长AO到点区使连接8E.

•••4。为8c的中线，

:.BD=CD,

又•：AD=DE,ZADC=/BDE,

・•・AADC丝AEDB(SAS),

故答案为：B:

(2)解：•:△ADCBAEDB,

/.AC=BE=6,

在中，AB-BEvAEvABtBE,

・・・8-6v2AOv8+6,

・•・\<AD<7,

故答案为：C；

(3)证明：延长人。到点M使人。=OM,连接8W,

A。是ABC中线，

:,CD=BD,

•・•在△ADC和中，

17

•ZADC=/MDB,

AD=HD

・•・△ADC^AMZ)^(SAS),

；・BM=AC,NC4O=NW,

♦：AE=EF,

AACAD=ZAFE,

■:ZAFE=NBFD,

・•・NBFD=NM,

・•・BF=BM,

：.AC=BF.

A

/N

民DC

•・•

••••

••/••

%

20.如图，点尸为等边△/配的边/山上一点，0为加延长线上一点，A六CQ、PQ交AC于D,

工

BCQ

(1)求证：旌〃。；

⑵过尸作血力。于£,若叱4,求应'的长.

【答案】(1)详见解析;(2)/浦=2

【详解】(1)证明：如图，过点尸作ZW8C,则/〃/元N0,

/V

BCQ

•••△力•为等边三角形，

18

•••△加少是等边三角形，

:,上PF,

又TA六CQ,

:,P六CQ,

NDPF=ZQ

在△勿力和△以r中，ZPDF=ZQDC,

PF=CQ

:.\DP2/\DQC(AAS),

：・D%DQ；

(2)•・•△丹〃为等边三角形，PELAC,

可得AE=EF,

由(1)知，ADPF^XDQC

:.FD=CD,

'：AC=力〃'+EF+FIRCD,

:・AC=2EF+2FD=2(EF+FD)=2ED,

'：AC=BC=A,

A2^9=4,

：.ED=2.

21.如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

已知：如图，£是笈的中点，点力在龙上，RNBAE^/CDE.求证：AB=CD.

分析；证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要

证,4代切，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明.

【答案】见解析

【详解】证明：方法一：如图1，作价上血交麻的延长线于点凡CGLDE于点、G.

：,42NCG及90。,

4BEF=Z.GEC

在△叱和△。曲中，2BFE=NCGE,

BE=CE

，△府7%△颂’(AAS),

19

:.眸CG,

//=NQGC=90'

在小ABF和ADCG中，＜/BAE=/CDE,

BF=CG

:.△AB2XDCG(AAS),

：.AB=CD,

方法二：如图2,作〃〃/应交班的延长线于点片

:.乙百乙BAE.

又V4BA芹4D,

・•・"/〃，

:.gCD,

NF=NBAE

在△力断和△氏第中，ZAEB=ZFEC,

BE=CE

・\△力庞(AAS),

:"WCF,

:.止CD.

⑵

22.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1,在一ABC中，AB=8,AC=6,D是BC

的中点，求BC边上的中线AI）的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,消补充完整证明”一ADC£

二EDB”的推理过程.

⑴求证：ADCM.EDB

证明：延长AD到点E,使DE=AD

在“ADC和二EDB中AD=ED（已作），

ZADC=/EDB（_____）,

CD=BD（中点定义），

20

.•.AADC名二EDB（_____）,

（2）探究得出AD的取值范围是_____；

【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已

知条件和所求证的结论集合到同•个三角形中.

【问题解决】

（3）如图2,LABOP，/B=90,AB=2,AD是一ABC的中线，CE1BC,CE=4,且/ADE=90,求

AE的长.

【答案】（1）见解析；（2）1<AD<7；（3）AE=6.

【分析】（1）延长AD到点E,使DE=AD,根据SAS定理证明AADC04EDB：

（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；

（3）延长AI）交EC的延长线于F,证明△ABDg/XFCD,根据全等三角形的性质解答.

【详解】⑴延长AD到点E,使DE=AD,

在_ADC和.EDB中，

AD=ED（已作），

NADC=/EDB（对顶角相等），

CD=BD（中点定义），

1ADC0EDB（SAS）,

故答案为对顶角相等，SAS；

⑵ADCg“EDB,

BE=AC=6,

8-6<AE<8+6,

1<AD<7,

21

故答案为1<AD<7；

(3)延长AD交EC的延长线于F,

VAB1BC,EF_LBC,

/.ZABD=^FCD,

在“ABD和.FCD中，

ZABD=ZFCD

<BD=CD,

NADB=NFDC

.•..ABD丝FCD,

/.CF=AB=2,AD=DF,

/ADE=90，

/.AE=EF,

.•EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6,

AE=6.

23.(1)【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①，在△ABC中，AD是AABC的中线，若AB=10,AC=8,求AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方

法思考：

I.由已知和作图能得到△ADCWAEDB,依据是.

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

H.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和

所求证的结论集中到同一个三角形之中.

(2)【学会运用】

如图②，AD是ZXABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,/BAONBCA,求证：AE=2AD.

【答案】(1)I.B；II.1VADV9；(2)证明见解析.

22

BD=CD

【详解】解：(1)I.在AADC和Z\EDB中，/BDE=NCDA,

DE=AD

/.△ADC^AEDB(SAS),

故选B；

II.VAADC^AEDB,

AEE=AC,

VAB-BE<AE<AB+BE,

AAB-AC<AE<AB+AC,即2VAEV18,

A1<AD<9,

故答案为1VADV9；

(2)延长AD至M,使DM=AD,

〈AD是AABC的中线，

AED=CD,

BD=CD

在和△MCI)中，,NAO8=NMDC,

AD=DM

AAABD^AMCD(SAS),

AMC=AB,ZB=ZMCD,

VAB=CE,

ACM=CE,

VZBAC=ZBCA,

ZB+ZBAC=NACB+ZMCD,即ZACE=ZACM,

AC=AC

在AACE和aACM中，,NACE=NACM,

CM=CE

：.AACM^AACE(SAS),

.*.AE=AM,

VAM=2AD,

AAE=2AD.

23

24.如图，等边三角形力比、中，£是线段4。上一点，尸是比‘延长线上一点.连接BE,月长点G是线段放,

的中点，BN//AC,“与延长线交于点正

N

(1)若N物网=15。，求NA"

(2)若AE=CF,求证：2AG=AF.

【答案】(1)45°；(2)见解析

【详解】解：⑴•・•△力8C是等选三角形，

：・NABC=NACB=60°,

•:RC"BN,

：.4NBC=/ACB=6T,

:.£ABN=/ABC+NNBC=120°,

・••在△力即中，

乙2180°-ZABN-ZM'V=180°-120°-15°=45°；

(2)'：AC//

：・2N=/GAE,4NBG=々AEG,

又•,•点G是线段国的中点，

:・BG=EG,

:.△NBMAAEG(44$),

・"G=AGAE=BN,

*：AE=CF,

:.BN=CF,

•••/月360°,

/.ZJ6F=180°-Z/1C^=120°,

:.£ABN=NACF,

乂.：AB=AC,

•••△/I研也△〃F(571S),

・•・加=4V,

24

•:AG=NG=3AN,

：./F=2AG,

25.【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,△/1比中，若力8=12,AC=8,求医边上的中线力〃

的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长49到公使DE=AD,连接应：请根据小明的方法

思考:

图2

(1)由已知和作图能得到△力叱△瓦班依据是,

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)由“三角形的三边关系”可求得力〃的取值范围是

解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的己知条件和所

求证的结论集合到同一个三角形中.

【仞步运用】

如图2,力〃是△/历C的中线，BE交AC于E,交川9于R且AE=EF.若EF=3,EC=2,求线段跖的长.

［灵活运用】

如图3,在△力8。中，ZJ=90°,〃为比中点，DELDF,如交力8于点£,DF交AC于点、F,连接牙；试猜

想线段比；CF、"‘三者之间的等量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)B：(2)2V/Z?<10；【初步运用】"三5：【灵活运用】BE+CE=EF,理由见解析

【详解】解：(1)在△力戊:和必中,

BD=CD

ZBDE=ZCDA,

ED=AD

.,.△ADC^AEDB(SAS),

故选B；

(2)VAADC^AEDB,

.\EB=AC=8,

在△ABE中,

AB-BE<AE<AB+BE,

A2<AD<10,

25

故答案为

【初步运用】延长/〃到也使〃=〃伙连接则

'：AE=EF.EF=3,

：./.C=5f

是△/历。中线，

・•・CD=BD,

•.•在△/1〃。和△」侬中，

BD=CD

ZBDM=ZCDA,

DM=DA

：,BM=AC,/CAD=/M,

*：/.E=EF,

：.乙CAg4AFE,

•：<AFE=/BFD,

：.£BFD=NCAD=NM,

:・RF=BM=AC,

即即=5；

【灵活运用】线段服CF、房之间的等量关系为：BF+CF=EL

证明：如图3,延长功到点G,使〃G=劭，连结用GC,

，：EDIDF,

:・EF=GF,

•・•〃是比的中点，

:.RD=CD,

在△汉应和中，

ED二GD

ZBDE=ZCDG,

、BD=CD

:.ABD曜ACDG(SAS),

:・RE=CG,

•・•/1=90°,

:"m/ACB=90°,

■:\BD叫XCDG,EF=GF,

:,BE=CG,4B=4GCD,

26

:ZGCIR/ACB=9Q°,即NGC厂=90°,

・・・Rt△的1中，C户+GC=G户,

，哈C/=EE

26.已知以8C、△/）&?都是等边三角形.

⑴如图1,求证：AP=BD；

⑵如图2,点P在、ABC内,例为AC的中点，连接PM、PA.PB,若。4_LPM,nPB=2PM.

①求证：BP工BD；

②判断PC与总的数量关系并证明.

【答案】⑴见解析；⑵①见解析；②PC=2PA.证明见解析

【详解】（1）证明：一口。，△C。夕都是等边三角形，

:.CB=CAfCD=CP,ZACB=/DC?=60。，

ZACB+ZACD=ZDCP+ZACD,

即2BCD=ZACP.

在△8CQ和ZiAC9中，