陕西西安市曲江某中学2025-2026学年下学期中考一模数学试题（解析版）

九年级数学练习1

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.计算：-2-3二（）

A.1B.-5C.—6D.-1

【答案】B

【解析】

【详解】解：•・•有理数减法法则为：减去一个数等于加上这个数的相反数,

A-2-3=-2+（-3）=-5.

2.下列四个图形中，是中心对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义就可以选出答案.

【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、不是中心对称图形，不符合题意；

C、是中心对称图形，符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的

图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.

3.某人工智能研究实验室新推出一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达

175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（）

A.1.75x10"B.1.75xl03C.1750xl03D.1.75xl012

【答案】A

【解析】

【分析】根据科学记数法表示较大的数，表示形式为4X10〃，其中1〈同〈10,〃为整数.

【详解】解：由科学记数法,得175000000000=1.75x10”.

4.将三角板/3C按如图位置摆放，顶点力落在直线4上，顶点8落在直线上，若4〃/2，N'2=25。，

则/I的度数是（）

A.45°B.35°C.30°D.25°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了平行线的性质.正确理解题意是解题关键.由角的和差即可求出N3,再利用平行线的

性质可求出N3=N1即可.

【详解】解：如图，

vZCAB=60°,Z2=25°,

.-.23=60°-25°=35°,

口〃3

.".Z1=Z3=35°.

故选：B.

5.如图，已知在△NBC中，CO是力8边上的高线，8石平分NH8C,交CD于点E,8c=5,DE=2,则

△BCE的面积等于（）

BC

A.10B.7C.5D.4

【答案】C

【解析】

【详解】如图，过点E作以LL4C交8。于点E根据角平分线的性质可得QE=Q=2,所以的面

积等于1x8CxQ=』x5x2=5,

22

故选：C.

6.将直线y=2x+l向上平移3个单位长度得到的直线与坐标斛围成的三角形的面积为（）

A.；B.2C.8D.4

【答案】D

【解析】

【分析】灵活运用“上加下减”的平移规律求出平移后的直线解析式是解题的关键.根据平移规律得到平

移后直线的解析式，进而求出该直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求出与坐标轴围成的三

角形的面积.

【详解】解,•,将直线向上平移时，解析式遵循“上加下减”的规律，原直线解析式为歹=2工+1,向上平移

3个单位长度,

・•・平移后直线解析式为y=2x+l+3=2x+4,

当工=0时，y=4,即平移后直线与V轴交点为（0,4）；

当y=0时，2%+4=0,解得工=-2,即平移后直线与x轴交点为（一2,0）,

•••直线与坐标轴围成的三角形的两条直角边长分别为|-2|=2和4,

二•三角形面积为lx2x4=4.

2

7.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则NBFC为（）

A

13

E

A.75°B,60°C.55°D,45°

【答案】B

【解析】

【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出NBAE=150。，AB=AE,由等腰三角形的性质和内角

和得出NABE=NAEB=15。，再运用三角形的外角性质即可得出结果.

【详解】解：•・•四边形ABCD是正方形，

.\ZBAD=90°,AB=AD,ZBAF=45°,

:△ADE是等边三角形，

AZDAE=60°,AD=AE,

AZBAE=900+60°=150°,AB=AE,

.*.ZABE=ZAEB=y（I8O0-15O°）=15°,

:.ZBFC=NBAF+NABE=450+15°=60°；

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质：

熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.

8.已知二次函数y=a（x+1）（x-m）（a为非零常数，lVm<2）,当xV-1时，y随x的增大而增大，

说法正确的是（）

A.若图象经过点（0,1）,则-gvaVO

B.若x>-g时，则y随x的增大而增大

C.若（-2020,y。，（2020,y2）是函数图象上的两点，则力〈丫2

D.若图象上两点（；，y。，（；+n,y?）对一切正数n,总有yi>y2，则■|〈mV2

【答案】C

【解析】

【详解】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而

可以解答本题.

解：•・•二次函数y=a(x+1)(x-m)(a为非零常数，lVmV2),当xV-1时，y随x的增大而增大,

・・・aVO,

若图象经过点(0,1),则l=a(。+1)(0-m),得l=-am,

Va<0,l<m<2,

/.-1<a<-y,故选项A错误；

二,二次函数y=a(x+1)(x-m)(a为非零常数，1<mV2),a<0,

・.•该图数的对称轴为直线，

・••当xV二手时，y随x的增大而增大，故选项B错误；

・••若(-2020,yi),(2020,y2)是函数图象上的两点，则y1〈y2，故选项C正确；

若图象上两点(;，yi),(；+n,y2)对一切正数n,总有\]>丫2，则mug,故选项D错误；

故选：C.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

9.要使式子疝不有意义，则。的取值范围是.

【答案】a>-\

【解析】

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数成为解

题的关键.

根据二次根式有意义的条列立不等式求解即可.

【详解】解：根据题意：f/+l>0,解得：a>-\.

故答案为：6Z>—1.

10.如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则/历1C=.

【答案】1320##132度

【解析】

【详解】解：•••正五边形的内角=180。・360。+5=108°,

正六边形的内角=180。-360。+6=120°,

:/BAC=36O°-108°-l20°=132°.

故答案为132。.

11.如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形：第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11

个圆点，第四幅图15个圆点，…，按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是个.

第一幅图第二幅图第三幅图第四幅图……

【答案】399

【解析】

【分析】根据图形总结规律:笫〃幅图中圆点的个数为4〃-1,即可得解.

【详解】解：由题意可知，第一幅图3个圆点，4x1—1=3,

第二幅图7个圆点，4x2-l=7

第三幅图11个圆点，4x3-1=11

第四幅图15个圆点，4x4-1=15,

•••

观察发现，第〃幅图中圆点的个数为4〃-1,

则第一百幅图中圆点的个数是4x100-1=399个.

12.如图，CO是。。的直径，是弦,ABLCD.若4OC=30。，则NBOC=

【答案】60°

【解析】

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，掌握以上性质是解题的关键.

先根据垂径定理得到ZBDC=ZADC=30°,再根据圆周角定理即可得到/BOC=60°.

【详解】解：连接8。，

D

nn

•'AC=BC

："BDC=/ADC=300,

：.NBOC=2NBDC=2x30°=60°,

故答案为：60°.

13.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形048c的顶点力、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点。在线段

8C上，且BD=3CD,函数y=V(x>0)的图象经过点。及矩形O45C的对称中心M,顺次连接点。、

。、若△OQM的面积为4.5,则〃的值为.

【解析】

【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，连接8”,由矩形的性质可得O、

8、M三点共线，且OB=2OM,则可得到2S△加加=9,据此求出8人,加即可得到答案.

【详解】解：如图，连接AM.

:点M为矩形04BC的对称中心，

：.O.8、M三点共线,且O夕—2OW,

S^BOD=2s△/）（）“=9,

•・•BD=3CD,

.c_J.c_1

djCOD_37DOB_J，

•・•点。在反比例函数的图象上,

:*-2s7COD~6，

故答案为：6.

14.如图，在矩形48co中，AB=5,BC=6,E是射线上一点，尸是射线BC上一点，且

BF=4AE，连接力歹，BE交于点、G,连接CG,当8G+CG的值最小时，V49G的面积为

【解析】

【分析】通过构造辅助线，先证得四边形/8NM、PBNG是矩形，再证得结合已知

条件求得A/G,GN的值，进而得到〃产的值，利用对称的性质得到*G=8G,BP=B'P=4,当点

B',G,C三点共线时，得出3G+GC有最小值，再证明△P〃GSZ\88'C,利用相似三角形的性质求得

PG的值，最后利用三角形面积公式即可求得结果.

【详解】解：如图，过点G作GN_L8C,延长NG交力。于点过点G作GP_L48,

则NMN8=4BPG=/APG=90°,

在矩形4BCO中，AD//BC,NDAB=/ABC=9。。,

・•・四边形/BMW、PBNG是矩形,

，乙AMN=90门,MN=AB=5,BP=GN,

VAD//BC,

・•・4AGESAFGB,

•/BF=4AE,

.AEMG1

**~BF~~GN~4,

:・MG+GN=NM=5,

.MG1

解得MG=1,

'*5-MG~4

・•・GN=MN-MG=BP=A,

作点8关于点P的对称点8',连接夕G,

:.B'G=BG,BP=B'P=4,

・•・BB'=8,

I3G+GC=B'G+GC>B'C,

，当点3',G,C三点共线时，8G+CG的值最小，此时最小值为"C,

•・•PGPBC,

・•・△P4'Gsz\"'C,

.PGB'P1

••----=-----=—,

BCBB'2

・•・PG=3,

••・「G'".PG」X5X3=@.

Z-XAD\J222

三、解答题(共12小题，计78分，解答应写出过程)

15.计算：VTsx-y/3--^j+|V6-3

【答案】：

2

【解析】

【详解】解：原式二30xVJ」+3-指

19

=3瓜—y/b+—

2

=2-76+—.

2

-4x>l

16.解不等式组：《"八

x-5<2(x-l)

【答案】一3<“工一!

4

【解析】

-4x21①

【详解】解:

x-5<2（x-l）@

解不等式①得

解不等式②得：x>-3,

不等式组的解集为-3<xV.

4

..x~-x(21

17.化简：—------+------1.

X2+2X+1\X+\J

Y

【答案】一—一

X+1

【解析】

【分析】本题考查了分式的混合运算，先通分括号内，再运算括号内的减法，然后把除法化为乘法，最后

运算乘法，化简，即可作答.

【详解】解:1

/+2x+「\x+\

「(1)/2x+1]

(x+l)21x+1x+\)

.r(x-l)2-x-l

=(x+l)2"x+1

j)「+]

(x+1)21-x

X

~~x+T,

1&如图，在V/8C中，NBAC=2NC,请用尺规作图法在边BC上找一点力，使得

△,4。8s△C/18.(保留作图痕迹，不写作法)

【答案】见解析.

【解析】

【分析】作N84C的角平分线，进而与8C相交于点。，即可得出答案.

【详解】解：如图所示：。点即为所求.

A

19.如图，在矩形48CD中，点E,F在BC上,且力E=力厂.求证：BE=CF.

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定：由矩形的性质可得

/B=NC=90°,AB=DC,然后利用HL判定可得B,然后根据线段的和差

即可解答.

【详解】证明：为矩形,

：.ZB=^C=90°,AB=DC.

•:AE=DF,

RtVJZ?F^RtV£）CF（HL）.

・•・BE=CF.

20.国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套、其中2025年3月14日（国际圆周

率H）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚.数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时

也尝试进行了邮票的设计.如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶

嵌”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片4卡片8,卡片C；卡片。四张卡片作为邮票的图案部

分.卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）.

刘徽割圆术莫比乌斯环带埃舍尔的平面镶嵌黄金分割螺旋线

（1）小文从中随机抽取一张，抽到“埃舍尔的平面镶嵌”的概率是;

（2）小文从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘

徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率.

【答案】（1）7

4

1

（2）-

6

【解析】

【分析】（1）根据概率公式求解即可：

（2）列表或画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解

即可.

【小问1详解】

解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“埃舍尔的平面镶嵌”的结果有1种,

・••推到“埃舍尔的平面镶嵌”的概率为。.

4

【小问2详解】

解：画树状图如下:

开始

ABCD

/N/N/T\/1\

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到卡片4和。的有2种，

•••所求的概率为工即:.

126

21.如图，某中学数学活动小组同学在学习了“利用三角函数测高”后，想要测量小河对岸一幢建筑物

的高度，他们先在斜坡上的。处：测得建筑物顶端〃的仰角为30。，且。处离地面的高度。E为5m,然

后在斜坡的坡底力处测得建筑物顶端8的仰角是60。，已知8c14C,点区4c在同一水平线上，斜坡

的坡度为1:7,求这幢建筑物的高度.（结果保留根号）

B

15+356

【答案】

【解析】

【分析】本题主要考杳的是解直角三角形的实际应用，属于中等难度的题型.通过做辅助线构造直角三角

形是解题的关键.过点。作于点〃，设这幢建筑物3c的高度为xm,则=（工—5）m,根

据RtADHB和RtAJC^的三角函数值得出答案.

【详解】解：如解图，过点。作。H_LB。于点〃，

则四边形。"CE是矩形，

DH=EC,DE=HC=5,

•・•斜坡的坡度为1:7,

EA=IDE=7x5=35m.

设这幢建筑物BC的高度为.E,则以7=(x-5)m,

在中，ZBDH=30°.

tan30°')

:.AC=EC-EA=43(X-5)-35,

在RdCB中，/历IC=60。，

Y

tan60°=-=_H——=6

,y3(x-5)-35

解得.中,

答：这幢建筑物BC的高度为15+35@

m•

2

22.2026马年春晚四骏吉祥物惊艳亮相！骐骐、骥骥、驰驰、骋骋每匹都有文物基因，从西周驹尊到汉代

铜奔马，千年文化密码藏于细节，让吉祥物既兼具历史美感，又充满时代气象.某商场销售该吉祥物玩

具，经调查发现，销售量歹（件）是销售单价x（元）的一次函数.当销售单价为50元时，平均每天可销

售30件；当销售单价为45元时，平均每天可销售40件.

（1）求y与x之间的函数关系式;

（2）当吉祥物的销售单价为多少元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件？

【答案】⑴y=-2x+130

（2）当吉祥物的销售单价为38元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件.

【解析】

【分析】（1）根据题目给出销售量歹是销售单价x的一次函数，且提供了两组对应数据•，可设函数表达式为

y=kx+b,代入数据解出力和力，从而得到函数关系式；

（2）在已知销售量》二54的情况下，代入函数式解出对应的x值，即销售单价.

【小问1详解】

解：设销售量V与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b(k^0),

根据题意，当x=50时，y=30；当.”45时，y=40.

30=50〃+8

代人得

40=45%+6

k=-2

解得

力=130'

・R与x之间的函数关系式为y=-2x+130；

【小问2详解】

解：已知歹二54,代入函数式得：54=-2x+130,

解得x=38,

答：当吉祥物的销售单价为38元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件.

23.为了解树德实验中学八年级学生本学期阅读的名著数量，小阳同学随机调查了该校八年级。名学生，根

据统计结果，绘制出如下的统计图①和图②.

请根据相关信息，解答下列问题：

(1)。的值为,图①中/"的值为,并补全图②；

(2)这些学生本学期阅读名著数量的中位数为：

(3)根据样本数据，若八年级共有学生1000人，学校为本学期阅读名著不少于8本的学生颁发“阅读之

星”勋章，估计该校获“阅读之星”勋章的学生人数.

【答案】(1)40,25,见解析

(2)7(3)325

【解析】

【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，算术平均数，中位数，正确掌握上述知

识点是解题的关键.

(1)由阅读量为7本的人数除以所占百分比可得抽查人数；求出阅读量为5本，9本所占百分比，再用］

减去阅读量为5木、6木、7本、9本所占百分比即可；结合扇形统计图得到阅读量为6本、8本的人数,

再补全条形图即可；

（2）按中位数的定义即可得出结论；

（3）用总人数乘以阅读量为8本、9本所占百分比即可.

【小问1详解】

）解：由条件可知，阅读量为7本的有15人，占37.5%,

总人数为a=15+37.5%=401人），

43

.•.〃;％=1-37.5%-20%——xlOO%——x100%=25%,

4040

•••=25，

学生本学期阅读书籍6本的有40：<20%=8（人），

学生本学期阅读书籍8本的有40>25%=10（人），

补全统计图②，如图所示，

故答案为：40,25：

【小问2详解】

解：学生本学期阅读书籍数量从小到大排列第20个数和第21个数均为7,

这些学生本学期阅读书籍数量的中位数为7；

故答案为：7；

【小问3详解】

解：由题意得：1000x^2=325（人），

40

答：该校获得“阅读之星”勋章的学生大约有325人.

24.如图，四边形内接于e。，N历1。=90。，点七在的延长线，且DE是e。的切线.

A

D

（1）求证：/DEC=/BAC；

（2）若4C〃DE,当彳8=8,e。的半径为2行，求QE的长.

【答案】（1）证明见解析

⑵2逐

【解析】

【分析】（1）由切线的性质和圆周角定理的推论可证明出N4OE=90。，4CQ=90。，从而即可证明

/DEC=/BDC.再由同弧所对圆周角相等，即可推出NBDC=N84C,即证明NOEC=力C.

（2）由平行的性质可证明/C=N6OE=90c,即根据垂径定理可推出/IS=6C=8.在RiZ\6CO

中，利用勾股定理可求出CQ的长.又易证人BCD"ABDE,即得变=必，代入数据，即可求出

BDDE

。上的长.

【小问1详解】

证明•；OE是eO的切线.

・•・4BDE=90。,

/DBE+/DEC=90"

•••8。为直径，

:.N8CO=90°,

・•・4CBD+NBDC=90°,即4DBE+ZBDC=90°,

:.KDEC=4BDC.

•・•RC=RC，

：.4BDC=/BAC,

・•・4DEC=ZBAC.

【小问2详解】

解：如图，设4C与8。交于点F.

A

VAC//DE,

・•・/BFC=/BDE=9H

・•・BD1AC

•・•BO是e。直径，

・•・BQ垂直平分/C,

AAB=BC=S,

•・・e。半径为2逐，

8。=46.

・••在RtZXBCQ中，CD=ylBD?-BC”=4.

在4BCD和\/BDE中,

NBCD=NBDE=90。

ACBD=ADBE

・•・4BCD〜ABDE,

BCCD,84

:.---=----,即ln-7==~~Z»

BDDE4V5DE

・•・DE=2。

【点睛】本题为圆的综合题.考查切线的性质，圆周角定理的推论，平行线的性质，垂径定理，勾股定理

以及相似三角形的判定和性质，综合性强.利用数形结合的思想是解答本题的关键.

25.如图，熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，占代一种烘烤和取暖的用具.将熏笼开口朝卜放在水平桌面上，

其截面为抛物线形，如图2.测得熏笼的跨度为8()厘米，高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，

水平线为x轴建立平面直角坐标系.

图1

(1)求抛物线的表达式;

(2)现有一-批长8厘米，高6厘米的熏炉套盒要放进熏笼内一起运输，当把熏炉套盒完全放在正中间进

行叠放时，这•列最多能叠放几个套盒？

【答案】(1)y=~(x-40)\32

(2)这一列最多能叠放5个套盒

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质.正确进行计算是解题关键.

(1)根据题意得到抛物线的顶点为(40,32),设抛物线的解析式为：y=〃(x-40)2+32.经过原点

(0,0),即可求出。=一需，得到抛物线的解析式；

(2)由题意得熏炉套盒最左侧在x轴的横坐标为x=36,将x=36代入，可解得》=31.68厘米，即可

求出答案.

【小问1详解】

解：•••熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，

••・可知抛物线的顶点为(40,32),

设抛物线的解析式为：y=a(x—40)2十32,

根据图象可知抛物线经过原点(0，。)，

.•.4(0-40)2+32=0,

解得：a二-」，

50

•.・抛物线的解析式为：y=~(x-40)2+32；

【小问2详解】

解：由题意得：熏炉套盒最左侧在工轴的横坐标为x=40—8+2=36,将x=36代入，

可解得：y=31.68厘米,

•••31.68+6=5.28

这一列最多能叠放5个套盒.

26.问题提出

（1）如图①，尸是半径为5的e。上一点，直线〃，是e。外一条直线，于点。，圆心。到直线加

的距离为7,则线段/口的最小值为；

问题探究

（2）如图②，尸是正方形力3CZ）内一点，且尸C=90。，若4B=6,求/F的最小值；

问题解决

（3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活，某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形

ABCD,其中N4=120。，NB=NC=90。，祕=3千米，8C=6G千米，观光园的设计者想在园中找

一点P,使得点P与点力、B、。、。所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与

规划，从实用和美观的角度他们逐要求在V8PC的区域内N8PC=120。，且△4PO区域的面积最小，

试问在四边形力8。。内是否存在这样的点使得N8PC=120。，且△力的面积最小？若存在，请

你在图中画出点。的位置，并求出△4PO的最小面积；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）2

⑵*-3

（3）位置见解析，2773-36