平面与平面垂直（基础练）解析版

第八章立体几何初步

8.6.3平面与平面垂直（基础练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.下列命题正确的是（）

A.过平面外一点有无数条直线与这个平面垂直

B.过平面外一点有无数个平面与这个平面平行

C.过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直

D.过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行

【答案】C

【解析】过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，・・・A错;过平面外一点有且只有一

个平面与已知平面平行，・・・B错；•・•过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直,而过这

条直线的平面有无数个，，由平面与平面垂直的判定定理，知这无数个平面都与已知平面垂

直，・・・C正确;过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，・•・【）错，故选：C.

2.在边长为1的菱形ABC。中，ZABC=60°,把菱形沿对角线AC折起，使折起后

立，则二面角3-AC-O的余弦值为（）

2

A.-B.-C.迪I）.在

3232

【答案】B

【解析】取AC的中点为。，连接00,30,如下图所示

在等腰AACD和等腰AA8C中，DO1AC,BO±AC

由二面角的定义可知，NDOB为二面角B—AC—。的平面角

VDO=yjAD2-AO2=—,BO=ylAB2-AO2=—

22

/.ADOB为等边三角形，即/DOB=60°

则二面角5-AC-O的余弦值为!，故选：B

2

3.若平面a,B满足a_LB,anB=1,P£a,PQ1,下列命题为假命题的是（）

A.过点P垂直于平面a的直线平行于平面B

B.过点P垂直于直线1的直线在平面a内

C.过点P垂直于平面B的直线在平面a内

D.过点P且在平面a内垂直于1的直线必垂直于平面B

【答案】B

【解析】由于过点P垂直于平面a的直线必平行于平面B内垂直于交线的直线，因此也平行

于平面B,因此A正确.过点P垂直于直线1的直线有可能垂直于平面a,不一定在平面a

内，因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知，C,D正确.故选：B.

4.已知平面a,〃和直线！，则下列说法正确的是（）

A.若/〃〃方，则a〃/B.若〃/a,/u夕，则。〃力

C.若/_La,/u£,则。_L41）.若/则a_L力

【答案】C

【解析】对于选项A,若/〃a,////，则。//夕或相交，故A错误;

时于选项B,若〃/a,/u〃，则a〃/或相交，故B错误;

对于选项C,若则为面面垂直的判定定理，故C正确；

对于选项D,若则a〃P，故D错误;故选:C.

5.己知m,n是两条不重合的直线，a,B是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）

A.若〃?///，〃_La,a工/3,则6J_〃

B.若m_Lo,nLpy则a///?

C.若加//a,nlIp,a11p,则加〃〃

D.若a_L夕，口口力=用，〃u尸，根_|_〃，则〃_1_々

【答案】D

【解析】对于选项A,当机//£,nla,时，n,n有可能平行，故A错误；

对丁选项B,当〃z_La，〃，笈时，因为直线*n的位置未知，所以a,D不一定平行，

故B错误；

对于选项C,当w//a，,〃/4，。///时，m,n有可能异面，故C错误；

对于选项D,满足面面垂直的性质定理，故D正确；故选：D

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多

选不得分）

6.已知平面a,4，直线1,m,且有/_La,mu£,下列结论正确的有（）

A.若a〃6,则/_L〃?B.若〃/〃?，则。_L/

C.若a_L〃，则〃/,〃D.若/JLm，则a"B

【答案】AB

【解析】对于选项A,因为a〃4，/_La,所以/JL/,又〃zu尸，所以/_Lm,故A正

确；

对于选项B,因为〃/，〃，/_La,所以m_Lo,又mu。,所以aJL〃，故B正确；

对于选项C,因为a_L/T/_La，所以/马加可能平行或异面，故C错误；

对于选项D,因为/_L,〃，/_La,所以机//a或mua,所以a〃4不一定成立，故D错

误；故选：AB.

7.如图直角梯形A8CO中，AB//CD,AB上BC,BC=CD=-AB=l,E为43中

2

点.以力上为折痕把折起，使点A到达点尸的位置，且。。=道则（）

A.平面平面PCQB.PCtBD

与平面尸所成角的正切值为立

C.二面角「一。。一8的大小为工D.PCED

3

【答案】ABD

【解析】如图，连接EC3O,则七c=J5,乂PC=Ji，PE=1，

所以APEC中有P。2=尸石2+石。2,所以PEJ_EC.

对于选项A,由题意可得PE_LOE,又PE上EC，ECp\DE=E,EC,DEu平面CDE

所以平面CQE，所以PELBE，

又BE1DE、PECDE=E,PE,DEu平面POE，所以BE1平面POE，

因为BE"CD,所以CDJ_平面尸£花，

因为COu平面PC。，所以平面PE£）_L平面PC。，液A正确；

对于选项B,由A得PE_L平面COE,又BDtCE,由三垂线定理可得PC_L8。（平面

内一条线和射影垂直，就和斜线垂直），故B正确；

对于选项C,由A得CQ，平面PZ）E,根据二面角定义可得ZPDE就是二面角P-DC-B

7T

的平面角，易得NPDE=一,故C不正确；

4

对于选项D,由A得CO_L平面POE，所以/CPO就是斜线尸C与平面庄D所成的角，

易得PD=J5,tunZCPD=—=4==—^故D正确，故选：ABI）

PDJ22

8.如图，在三棱柱ABC—%⑸G中，CG，底面ABC,ACA.CB,点。是A3上的动

点.下列结论错然的是（）

A.ACLBQ

B.存在点O,使得AG〃平面C。4

C.不存在点。，使得平面COq_L平面A4MB

I).三棱铢4-CO用的体积是定值

【答案】C

【解析】如下图

由Cq_L底面ABC,知AC_LCG，又4CJ_CB，所以AC_L平面。3。石

故ACJ_BG，故A正确：

连接AC与8G交于M，取A3中点D,连接则MO//A0,MDu平面C。与

所以AG〃平面。。与，故B正确；

当CQ_L/18时，因为AA//CG，CG，底面A3。，所以CO_LAA，

=所以CO_L平面A4,g3,故平面j_平面441印8,故C不正确;

=

匕,-a叫匕•-%//)=QxSyjAliDxA=—S^KBA,〃，因为四边形\B^BA面积一定，

点D到平面AMR4的距离〃•定，所以三棱锥A-。。用的体枳是定值，故D正确.

故选:c

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一

空2分）

9.己知平面aj_平面0,直线1_L平面B,则直线1与平面a的位置关系为

【答案】平行或直线1在平面。内

【解析】平面a_L平面B，直线1_L平面B,直线1与平面a平行或直线1在平面a为

故答案为：平行或直线1在平面。内

10.如图，所在的平面，是。。的直径，。是。0上的一点，瓦厂分别是

点A在尸8,尸C上的射影.给出下列结论：

①A尸_1_08；②EF工PB、③AbJLAC；④4£_1_面尸3。.

其中正确命题的序号是.

【答案】①②③

【解析】BCA.AC,BCA.PA,那么BC_L平面P4C,

则AFLBC，

又Ab_LPC,则4/，平面P3C,可得A/J.PB,那么①③正确：同理②也正确,

易知④错误.故答案为：①②③

11.如图所示，四棱锥P-ABC。的底面48co是边长为1的菱形，NBCD=60°,E是

CO的中点，24_L底面ABCD,R4=2.

平面PBE与平面用3的位置关系是;平面尸AD和平面P8E所成的二面角的正弦

值.

【答案】垂直叵

5

【解析】连结3。.

因为四边形ABC。是菱形，NBC£>=60。，

・••△8CO是等边三角形，

•「E是CO的中点，・・・BE_LCO,・・・NE_LA3.

•・•PA_L平面A8CO,8Eu平面A3C。，・••弘J_8E，

又BAu平面BAB,AB\平面B44，PAr\AB=A,

，BE1平面248，

又BEu平面PBE,・•・平面PBE_L平面PAB.

延长A力、比:相交于点尸，连结尸尸，过点A作于"，

由（I）知平面P4E_L'F而RW，所以A”_L平面PAE.PFu平面PBE,则A"_LPF,

在RS48/中，因为NK4尸=60。，所以A/=245=2=4P.

在等腰心△尸Ab中，取尸产的中点G,连接AG,

则AGJ_p/，连结〃G.AG0|A"=A，AGu平面AG",AHu平面AGH,

所以尸尸，平面4G”,所以

所以ZAGH是平面以。和平面P4E所成的二面角的平面角（锐角）

在等腰心△ABb中，AG=—AP=y/2^

2

7D,人口APABAPAB22新

在孜△PAB中，AH=--------=-.=-==—!—

PBy/AP2+AB2加5

2出

所以，在心中，.八八口AH~T~V10,

sinZ.AGH=--=7-=

AGV25

故平面PAD和平面P8E所成的二面角的正弦值为巫.

5

故答案为：垂直叵

5

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤。）

12.如图，在三棱柱ABC-ABG中，侧棱垂直于底面,AB_LBC,E、F分别是AC、BC的中点.

（1）求证:平面ABE_L平面BBCG;

（2）求证:CF〃平面ABE.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】证明（1）在三棱柱ABC-AB3中，

YBBi底面ABC,ABB.IAB,又AB±BC,BBiClBOB,・・.AB_平面BIBCCI,又ABu平面ABE,・••平

面ABE_L平面B.BCCu

⑵取AB的中点G,连接EG,FG.

•・・E、F、G分别是AC、BC、AB的中点,

AFG/7AC,且FG=2AC,EC^CU

•••AC〃AC,且AOAC,

・・・FG〃E3,且FG=EG,

・•・四边形FGEG是平行四边形,

ACiF#EG,又EGc平面ABE,CFQ平面ABE,...CF〃平面ABE.

13.如图，在直三棱柱A8C—A4G中，AC=CG，AC1BC,。为3G中点，AC,

与AC交于点O.

（1）求证：。。〃平面4耳£；

（2）求证；平面平面A〃C.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）如下图所示，连接qc.

在三棱柱ABC—A4G中，BBJ/CCi且BB】=CG，则四边形BBGC为平行四边形，

。为8G的中点，则。为BC的中点，同理可知，点。为的中点，.•.0。〃4耳，

・・・。£）仁平面48。1，A4u平面A4G，因此，oo〃平面A4G：

（2）在直三棱柱A8C-A4G中，CC1，平面A3C,且AA,=CQ，

所以四边形AA.C.C为平行四边形，

•・・AC=CG，所以，平行四边形AAGC为菱形，则4GJ_AC，

・・・CC11平面ABC,BCu平面ABC,..BCLCG，

・・・8C_LAC，ACnCG=C,.•.8CJ_平面A4G。，

♦.♦ACQBC=C,?.AC】_L平面ABC,

AGu平面AG3,因此，平面AG5_L平面A/C.

14.已知在四凌锥。一ABC。中，ADIIBC,ABA.AD,AP±AD^AP=AB=BC=2,

PC=4.

（1）求证：平面依CJL平面ABP；

（2）求直线CP与平面43CD所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）且.

4

【解析】（1）因为A3_LAD,AP±AD^AB\AP=A,所以4OJ_平面ABP.

又ADHBC，所以6。，平面452.

又BCu平面FBC，所以平面依CJ_平面A6P.

（2）解法一：由（I）知8C_L平面A3P，又PBu平面P44，所以BC上PB.

在Rf^PBC中,BC=2,PC=4,所以8P=j42-22=2日

在八43尸中，

4+4-12

由余弦定理得cosNPAB=AB?+"02一此==--,所以NBAP=—.

2ABAP823

过点A作A£_LA3，交BP于点E，则NE4P=W-W=m，

326

AP

且AE=PE=二一=®,

c。-3

6

因为D4_L面A3P,AEu平面A5P,所以ZM_LAE,

又48cAD=A，所以AE_L平面ABC。.

如图，过点。作PH〃4上交84的延长线于点“，连接C",

则PH_1_平面448，所以ZHCP为直线CP与平面A区8所成的角.

因为PH//AE，BE=2EP，AE=^，所以P”=3AE=3X拽=百.

3223

在RMCPH中,CP=4,所以sin/"CP二丝二立，

PC4

故直线CP与平面ABC。所成角的正弦值为正

4

A级必备知识基础练

1」探究点一］如图所示，在三棱锥P-ABC中，氏_L平面"C,NMC=90。,则二面角人创-C的大

小为（）

A.90°B.60c

C.45°D.30。

2」探究点三］在长方体A8CQ-4SGG的棱4B上任取一点£作EF1A}B}于点F,则EF与平

面的关系是（）

A.平行

B.EFu平面AIBCIQI

C.相交但不垂直

D.垂直

3」探究点三］设a,p为不重合的平面,，小〃为不重合的直线厕下列命题正确的是（）

A.若则m//a

B.若〃厕n_a

C.若a〃"，则

D.若〃_La,〃_L夕,〃?_1_及则mA-a

4」探究点三］如图所示/IC。为空间四点，在△ABC中AB=2,AC=8C=&，等边三角形ADB

以AB为轴运动,当平面AOBJ_平面ABC时CO=.

5」探究点三］如图,在空间四边形ABCD中，平面平面8CD,/8AQ=90。,且48=4。,则

AD与平面BCD所成的角是.

6」探究点三］如图，在三棱锥P-ABC中，平面R1CJ■平面ABC,且/B4C=90。,以="8=2,则

PB=.

P

7」探究点三］三楂锥V-ABC中，平面平面ABC^VAB为等边三角形4C_L8c且

AC=BC=^,O,M分别为AByA的中点.

(1)求证:V8〃平面MOC;

(2)求证:平面MOC_L平面VAB;

(3)求点B到平面MOC的距离.

8」探究点一、二］如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,N8CD=60\E

是CD的中点，阴底面ABCD,PA=^.

⑴求证:平面。3£_1_平面PAB\

(2)求二面角4-8E-P的大小.

B级关键能力提升练

9.如图所示,三棱锥P-A8C的底面在平面a内，且ACJ_PC,平面以C_L平面PBC,点P,A,B是定

点,则动点C的轨迹是()

A.一条线段

B.一条直线

C.一个圆

D.一个圆，但要去掉两个点

10.（多选题）设m,n是两条不同的直线,a/是两个不同的平面，给出如下命题,其中正确的是

（）

A.若a_LAanj=加,〃Ucc,〃_!_〃?,则nl.fi

B.若Q_L•，且〃〃，则/n±«

C.若则inf/a

D.若Q_LQ，机〃则mA.p

11.如图，在斜三棱柱48CA86中,NB4090o,BG_LAC,则过点G作G"_L平面A8C垂足

为H,则“必在（）

A.直线A8上

B.直线BC上

C.直线AC上

D.AA5C的内部

12.（多选题）如图，在四棱锥P-A/3CO中，底面ABCD为菱形,ND4/A60。,侧面PAD为正三角形,

且平面玄。_L平面ABC7）,则下列说法正确的是（）

A.在棱人。上存在点M,使人。_1_平面PMB

B.异面直线AD与PB所成的角为90°

C.二面角P-BC-A的大小为45°

D.3Q_L平面PAC

13.如图A氏CQ为空间四点，在△/14c中,44=2/C=8C=&,等边三角形AQ8以44为轴运动,

当平面4Q/3J_平面ABC时,CD二.

14.如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2,ZABC=ZDBC=120°,E,F,G

分别为AC,QC/。的中点.

⑴求证:E/LL平面BCG;

(2)求三棱锥D-BCG的体积.

15.图1是由矩形人力EBRZXABC和菱形8尸GC组成的一个平面图形，其中相=I,8E="=2,

N/BC=60。.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重:合，连接OG,如图2.

⑴证明:图2中的4CG。四点共面,且平面/WCL平面BCGE;

(2)求图2中的四边形ACGD的面积.

16.如图，在三棱锥P-ABC中,PB_L平面ABCAABC是直角三角形，/人8。=90。/8=房=2,/

FB=45°Q,E/分别为ACAB.BC的中点.

(1)求证:以口_2。；

(2)求直线尸尸与平面尸8。所成的角的正弦值;

(3)求二面角E-PF-B的平面角的正切值.

C级学科素养创新练

17.如图，在四棱锥P-ARCD中，平面PACI平面ARC。.且PAIAC,%=4Q=2,四边形满

足BC〃八。/8J_AO/8=8C=I,尸为侧棱PC上的任意一点.

⑴求证:平面4FQ_L平面PAB.

(2)是否存在点E使得直线AF与平面PCD垂直?若存在，写出证明过程并求出线段PF的长;

若不存在,请说明理由.

参考答案

l.A平而平面ABC,

・・・8AJ_/KCAJ_办，

因此/8AC即为二面角8-B4-C的平面角.

又NBAC=90。,故选A.

2.D在长方体ABCD-AB\C\D\中，平面4A88_1_平面A\B\C\D\且平面平面

48|。。尸4即又EFu平面4A88i,MJ_AiBi,・・・M_L平面48iGG,D正确.

3.D当mc.a时,〃?_1_4,。_1_夕也可以成立，所以A选项错误;若aCl夕=〃,显然〃ua,这时

〃?ua,〃u/V〃_L〃也可以成立，所以B选项错误;当m//n也显然a邛、mA_a,n〃口成立，所以

C选项错误;因为〃_L小m_1_夕，所以〃?〃儿又因为〃_La，所以"?J_a，所以D选项正确.故选D.

4.2取AB的中点石，连凄DECE.因为AADB是等边三角形，所以OEJ_A8.当平面ADB

_L平面ABC时，因为平面A。8n平面ABC=A及且。及LA8,所以OE_L平面A8C,故DE1.

CE.

D

\A

由已知可得DE=H,EC=1,在RtAZ9EC中,

JDE2+CE2

CD==2.

5.45°

过A作AO_L8O于点。,

•・•平面A8O_L平面BCD,

・・・AOJ_平面BCO,则NADO即为A。与平面BCD所成的角.

ZB/4D=90°,AB=AD,

/.ZADO=45°.

6.6•・•平面网CJ■平面ABC,平面%C与平面ABC的燹线为AC,N%C=90°,R\u平面

PAC,

._L平面ABC,

又A8u平面ABCS-PALAB,

.JPA2AB2=J12+22=甚

7.⑴证明：O,M分别为的中点,・•・OM//VB.

又VBQ平面MOCOMu平面MOC,

・•・V3〃平面MOC.

⑵证明:AC=8co为AB的中点,・・・0C_L48.

又平面平面ABC,平面EABn平面A8C=48,且OCu平面ABC,

・・・0。_1_平面以法又OCu平面MOC,

，平面MOC_L平面VAB.

(3)解连接MBWO,过M作MO_LA用垂足为D,图略，设"为点B到平面MOC的距离,/?为

点M到平面BOC的距离.

11

V,MBOC=VB-MOC,:PSxBOcXh毋SmocXh：

•・•平面饮8_L平面A8CW0J_A8,・・.VOJ_平面ABC.

又△3W为等边三角形/C_L8c且4C=8c=/,。为AB中点,，W9=避.

13

又“。_14及“为E4中点,・・・MO/VO=/?=2

1111

,**SL.BOC—^1x1=2,54的"二2'1x1J,

・・・力=2,即点B到平面MOC的距离为2.

8.⑴证明如图所示，连接BO,由底面ABC。是菱形且NBC£>=60。知,△BCO是等边三南形.

因为E是C。的中点，所以BELCD.

又因为A8〃CD所以8E_L/W.

又因为以J_平面AACDBEu平面ABCD,

所以附_L8E.而PAHAB=A,

因此BEJL平面PAB.

又因为8Eu平面P8E,所以平面P8E_L平面PAB.

⑵解由(1)知,8E_L平面用8,P8u平而PAB,

所以PBLBE.大网为ABLBE,

所以NP84是二面角A-8E-P的平面角.

在Rt/\PAB中,tanNP84=“，NPB4=60°,故二面角A-BE-P的大小是60°.

9.D;平面用C_L平面PBC/C_LPC,平面以CD平而P8C=PJ4Cu平面PAC,：.AC±

平面PBC.

又BCu平面PBCy：,AClBC.：.ZACB=90°.

；・动点、C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.

10.AC根据平面与平面垂直的性质知A正确;B中川还可能在a内或,〃〃”或〃z与a

斜交,B不正确;C中,a_L4〃?_L/?,，Ma时，只可能有〃?〃a,C正确;D中川与“的位置关系可

能是m//p或〃曰或〃？与相交,D不正确.故选AC.

11.A因为BC\LACAB1AC.BQC\AB=B.

所以AC_L平面AI3Q.

因为ACu平面ABC,所以平面A8C_L平面ABCs.

又因为平面A8CCI平面AI3G=AB,

所以过点Ci再作G”_L平面A8C,则HGAB,

即〃在直线A8上.

12.ABC如图，对于A,取A。的中点M连接尸侧面PAD为正三角形，

・・・PMJ_4D又底面ABCD是菱形,ND48=6()o,・・・A48。是等边三的形，，AD_LBM,又

PMCBM=M、PM、BMu平田PMB,

平面PMB,故A正确；

对于B「・・AO_L平面P8M・MD_LP8,即异面直线AD与P8所成的角为90。,故B正确；

对于C,丁平面PBCC平面ABCD=BC,BC〃AD,

・・・8CJ_平面PBM、：,BC工PB、BC上BM,

直逗

・•・ZPBM是二面角P-BC-A的平面角，设A8=1,则BM=2,PM=2,

PM

在RtZ\PBM中,tanNP/W=8M=i,即NP8M=45。,故二面角P-BC-A的大小为45°,故C正

确；

对于D,因为8。与鬼不垂直，所以与平面%C不垂直，故D错误.

13.2取AB的中点£连接DE,CE,

因为△AQ8是等边三角形，所以DELAB

D

当平面ADI31.平面ABC时,

因为平面AO8n平面ABC=AB,

所以。七_1_平面ABC.

可知DELCE.

,用入，y/DE2+CE2

由已知可得DE=VWEC=I,在RtADEC中,CD==2.

14.(1)证明・.・AB二BC=BO=2,ZABC=ZDBC=120°,

:.ZWC❷△O8C,：.AC=DC.

•・•G为AD的中点,・•・CG_LAD

同理8G_LAD

•・・CGnBG=G,CG,8Gu平面BCG,

・・・AOJ_平面BCG

又E,F分别是AC,CD的中点,

•••E/〃AO,・・・E/J_平面BCG.

(2)解在平面A8C内，作AO_LCB,交CB的延长线于点0.

所在平面互相垂直，平面A8CA平面8C0=BC,且AOu平面ABC,

・・・ACJL平面BCD.

・・・G为4。的中点,

.••点G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.

\/3

在△AOB中/O=4B・sin60°=^.-.//=2.

22

△8C。的面积5ABco=^CJ?DsinZD/?C=x2x2xsin120°=V^.

iLx

••Vo.BCG=yGBCD=S^BCD，h3

15.⑴证明由已知得AD〃BE、CG〃BE的以AO〃CG,故AD,CG确定一个平面，从而

A,C,G,O四点共面.

由已知得故AB上平面BCGE.

又因为ABu平面ABC,所以平面A8C_L平面BCGE.

(2)解取CG的中点M连接EM,DM.因为平面BCGE,所以DE_L平面BCGE,

故DELCG.

由已知,四边形ACGE是菱形，且/E8C=600得EM_LCG,故