2026年高考数学一轮练习：第八章 培优点10 极点、极线（附答案）

培优点10极点、极线

分值：70分

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.已知椭圆3+77=1（6/>/?>0）,点P（x（）,yo）,xo=acosa,yo=bsina,则直线/：写+簧=1与椭圆的位置

关系是（）

A.相交B.相切

C.相离D.以上皆有可能

2.已知点A（-2,3）在抛物线C：）2=2px的准线上，过点A的直线与抛物线C在第一象限相切于点8,记

抛物线C的焦点为F,则直线B/的斜率为（）

A.-B.-C.-D.-

2343

3.已知椭圆C的方程为手+。=1,过直线/：x=4上任意一点Q,作椭圆C的两条切线，切点分别为A,

43

B,则原点到直线A8距离的最大值为（）

A.lB.2C.3D.4

4.已知圆M：？+/-2x-2y-2=0,且直线/:2r+），+2=0,P为/上的动点，过点P作圆M的切线PA,

PB,切点为A,B,当阴最小时，直线44的方程为（）

A.2x-y-1=0B.Zv+y—1=0

C.2x—1=0D2t+y+l=0

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.已知直线I:ax+by-/=（）与圆C：x2-\-y2=r2,点A（a,b）,则下列说法正确的是（）

A.若点A在圆C上,则直线/与圆。相切

B.若点A在圆。内，则直线/与圆。相离

C.若点A在圆。外，则直线/与圆。相离

D.若点4在直线/上，则直线/与圆。相切

6.在平面直角坐标系中，由直线”=-4上任一点？向椭圆?+?=1作切线，切点分别为4,3,点A

在x轴的上方，贝|］（）

A.N4P8恒为锐角

B.当AB垂直于x轴时，直线AP的斜率为?

C.HPI的最小值为4

D.存在点P,使得（而+而）.65=0

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.过点P（-2,3）作圆C：/+。-2）2=4的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB的方程

为.

8.已知直线/：），=丘+2与圆C：。-1）2+），2=9交于4,8两点，过A,8分别作圆。的两条切线人和b,

直线八和/2交于点P,则线段PC长度的最小值是，线段PC最短时，四边形A4CB的面积

是.

四、解答题（共28分）

9.（13分）过抛物线f=4.y焦点”的直线交抛物线于4,B两点，过A,8两点分别作抛物线的切线，设其交

点为M.

（1）证明：丽•标为定值；（6分）

（2）设dMAB的面积为S,试求S的最小值.（7分）

10.（15分）设抛物线。：），=『的焦点为F,动点P在直线/:X一），-2=0上运动，过P作抛物线。的两条切

线勿，PB,且与抛物线C分别相切于A,8两点.

（1）求aAPB的重心G的轨迹方程；（6分）

(2)证明：NPFA=NPFB.(9分)

答案精析

1.B[由勺&驾密

=cos2«+sin2a=1,

知点P在椭圆上，所以点P与直线/是关十椭圆的一对极点、极线，所以直线/与椭圆相切.]

2.D|因为点A(-2,3)在准线上，

所以p=4,FQ,0),则抛物线方程是)?=8大，

过点A作直线与抛物线C在第四象限相切于另一点。，故直线BO即为点4关于C的极线，

其方程为3,y=4(x-2),

因为点4在抛物线的准线上，则焦点”在点A关于C的极线上，因此心产引

3.A【由题设，切点弦A8是点。关于。的极线，设点Q的坐标为(4,地),

则可知直线A8的方程为竺普=1,

43

即户等=1,显然直线A8过焦点(I,0),所以原点到直线A8距离的最大值为1.]

4.D[如图，OM：(x-iy+G，-1六4,点P是极点，直线A8是极点P关于。M的极线.

设P(m,n),则极线AB:

(ni-1)(x-1)+(/?-1)(y-1)-4=0,

由圆的对称性可知PMA.AB,

所以S四边形小

=2S^AM=\PA\\AM]=2\PA\

二2j|PM|2-4.

要使IPMH8I最小，

只需1PM最小，此时PMAJ,

因为kf=-2,所以kpM4,

又M(1,1),

所以直线PM：y=1(x-1)+1

1.1

=-2x+2-

与I：2x+y+2=0联立，代入P(m,〃)，

解得m=-\,n=0,

于是直线PM与/的交点为P(-l,0),

故直线AB的方程为G1-1)(x・1)+(0-1)(»1)-4=0,

即2叶"1=0.］

5.ABD［显然对于圆C,以A(a，与作为极点，那么极线就是I:ax+by-P=O,

若极点A在圆C上，则极线/为圆C的切线，故A正确；

若极点A在圆。内，则极线/与圆。相离，故B正确；

若极点A在圆C外，则极线/是圆。的切点弦，与圆。相交，故C错误；

若极点A在直线/上，这时极线恰好为切线，极点为切点，故D正确J

6.ABD［设A(x\,yi),B{xz,力),P(-4,in).

方法一易知椭圆在人处的切线方程为竽且,在2处的切残方程为冬吟二1,

4343

•・•点P在两条切线上，将P(-4，加代入两切线方程，得-M+等=1,F+等=1,

・•・直线AA的方程为f+写=1,

即3x-my+3=O.

方法二由题设，切点弦A8所在直线是点?关于椭圆的极线，则可知直线A8的方程为手喈

43

即34"少+3=0.

••・直线A8恒过定点(-1,0),

\'\AB\<4,且以椭圆的长轴为直径的圆的方程为*+>2=4,

该圆与直线入=4相离，

・・・N4P8恒为锐角，故A正确；

对于B,当A8垂直于x轴时，

由对称性可知P（-4,（））,

将P（-4,0）代入竽武入,

43

可得里军二1,

4

可得用二1,

代入椭圆方程可得），尸|,

••.A（T,|），

工心片看不耳，故B正确；

对于C,由B可得当A3垂直于x轴时，

14PH（-1+4）2+（|-0）2考＜4,

故C错误；

对于D，（而+词）•函=（港+而）•（而-而）=而2一万2

・・•椭圆在A3,v）处的切线方程为争第=1,与直线4-4联立方程可得找一4,上％）,

・・・|P4|=J（/+4）2+（为一若）2,

叱同轲■

若|PA|=|PO|,

则J（4+4）2+（%-^）2

$6+（啜）2,

化简整理得好+2¥|+无-6=0,

又点4在椭圆上，

・••旺+2xi+3（l-）-6=0,

，犹+8汨-12=0,

/Q-8+M64+4X12

解得X]=---------------------

-8+4上

一2

=-4+2V7e(0,2),

故存在点P,使得(可+而)•万5=0,故D正确」

7.2x-.y+6=0

解析切点弦A5所在的直线就是点(-2,3)关于圆C的极线，其方程为-2什(3-2)()，-2)=4,

即2x-y+6=0.

9V518v5

8o——

解析如图，设P(〃?,〃)，则切点弦A8所在直线的方程即点P关于圆C的极线方程，

为(〃?-l)(x-l)+〃y=9,

这与直线/:y=lcx+2是同一条直线，由于/：y=kjc+2过点(0,2),

故点(0,2)在切点弦A8上，

因此(处1)(04)+2〃=9,

即m-2n+8=0.

由此知，点P的轨迹方程是『2)叶8=0,记为h.

于是|PC］的最小值就是点C(1,0)到直线b：x-2.y+8=0的距离,

因此IPCImi产需二竽.

V1+45

线段PC最短时，PCLh,

故必有l//l3,kg,

所以/：y=1x+2,即x-2v+4=0,

于是弦心距d金嫂二通，

V5

由勾股定理，得依阴=25行=4.

由圆的对称性可知A8_LPC,

所以S四边形咏昌|PC|X|A8|

2x还X4=3.

255

9.方法一(1)证明抛物线f=4)，的焦点尸的坐标为(0,1).

设直线A8：y=kx+\,A(x\,yi),我刈，")(汨工］2).

联立”丁L

\x—4y,

消去y可得f-4kt-4=0,

贝I］X］-¥X2=4k,X|X2=-4.

对抛物线方程y=*2,求导得)三少，则过抛物线上A,8两点的切线方程分别是

4Z

y=|xi(x-xi)+yi,

)斗2任-切+)2

即)=》工—后，

£T,

厂3M［好.

联立，解出两条切线的交点M的坐标为(笠竽)=(2A,-1).

所以询=(2%,-2),

因为直线AB的一个方向向量。=(1,k),

~FM-a=2k-2k=0,

所以命•宿二0.

⑵解弦长忸用二门中用-刈

=V1+/C27(X1+X2)2~4-%1%2

二4(1+炉).

由⑴知FMA.AB,点M到直线18的距离为尸M=2，l+H,

所以S=^AB\\FM\

=4(1+Ar)Vl+k2.

令/=Vl+fc2(r^l),贝ijS=4r%21),

因为S="在［1,+8)上单调递增，所以当/=1,即4=o时，S的最小值为4.

方法二⑴证明显然，点M的极线为AB,故可设点例(必,-1),再设4不，yi),B(X2,,4,B三

点对应的极线方程分别为＞,=-1,xi.r=2(yi+y),X2X=2(y2+v),

由于A,8,尸三点共线，故相应的三条极线共点于M(xo,-1)，将产・1代入后面两个极线方程得

=2仇-1),

lx2x0=2佻-1)，

两式相减得(k-M)xo=2(yi.).

又丽=(xo,-2),

AB=(X2-X],Di),

故丽•希

=x()(xy-x\)-2(3b-y।)=0.

(2)解设A/?的方程为广爪+1,与点M关于抛物线的极线方程xox=2(y-1)对比可知点M(2k,-1),

|FM|=2V1+k2,

把产区+1代入f=4)，并由弦长公式得|A阴=4(1+必)，

由(1)知FMLAB,

所以S=^AB\\FM\

=4(I+Ar)Vl+k2,

显然，当上0时，S取最小值为4.

10.⑴解设切点A,8的坐标分别为(松,瑶)和但，%i)(xi^xo),

所以切线AP的方程为2入w.v-W=0,切线8尸的方程为2x\x-y-xl=0,

由于尸既在AP上,又在8P上,

2xx-y-%o=°-

所以oPP

"ixp-yP-xf=0,

丫_%+Xl

解得xp_­r

yp=xQxlt

即尸(空，XoXi),

所以AAPB的重心G的横坐标

Xo+Xl+Xp

历二=xp,

3

yc=

33

Go+X])2-4卷-yp

33

所以冲=-3)，G+4就，由点P在直线！上运动，从而得到重心G的轨迹方