三角函数的概念（原卷）

5.2三角函数的概念

模块一：基础知识...................................................2

考点一：任意角三角函数的定义....................................2

考点二：三角函数的定义域和函数值的符号..........................2

考点三：诱导公式一..............................................3

考点四：三角函数线..............................................3

模块二：题型分类...................................................3

题型一：单位留定义法求三角函数值...............................3

题型二：山终边或终边上点求三角函数值............................4

题型三：由三角函数值求终边上的点或参数..........................5

题型四：三角函数值在各象限的符号...............................5

题型五：画三角函数线............................................6

题型六：三角函数线的应用........................................7

模块三：综合巩固...................................................8

5.2三角函数的概念

模块一：基础知识

y\

考点一：任意角三角函数的定义

1、单位圆定义法：

如缸设a是一个任意角，。,它的终边0P与单位圆相交于点尸(x/)

①正弦函数：把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数,记作Sina,即y=sina

②余弦函数：把点P的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosa,即x=cosa

③正切函数：把点P的纵坐标与横坐标的比值上叫做a的正切，记作tana,即上=tana(xw0)

xx

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数

2、终边上任意一点定义法：

在再a终边上任取一点P(x,v),设原点到P(x,y)点的距离为、

.的》\

〃二|。尸

0x

①正弦函数：sincr=-

-I

x

②余弦函数：COS6Z=-

③正切函数：tan<7=—(x0)

X

考点二：三角函数的定义域和函数值的符号

L三角函数的定义域

三角函数定义域

sina{«|aGR}

cosa{a\a^R}

tana{aATT+Z

2.三角函数值在各象限的符号

由于角的终边上任意一点尸(工小)到原点的距离，♦是正值，根据三角函数的定义，知

①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；

②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；

③正切函数值的符号是由xj的符号共同决定的，即xj，同号为正，异号为负.

因此，正弦函数(sin。)、余弦函数(COSQ)、正切函数(tana)的值在各个象限内的符号如图所示.

考点三：诱导公式一

1.语言表示:终边相同的角的同•三角函数的值相等.

2.式子表示：

©sin(a+2^^)=sin6if

②cos(a+2k兀)=cosa

③tan(a+2〃4)=tana其中％wZ.

考点四：三角函数线

设a角的终边与单位圆相交点P；④由点。向x轴做垂线，垂足为点〃；⑤由点4作单位圆的切线与

终边相交于点7。如下图所示：

在.RtAOPM中：

.\PM\\PM\\PM\

\OP\r1

|PM|为正弦线，长度为正弦值。

\OM\\OM\\OM\......

cosa=------1=------L=-------L=()M

\OP\r1

|OM|为余弦线，长度为余弦值。

,\AT\\AT\\AT\,

在H/AO/r中：tana=\—}=^——l=

IOA|r1

|HT|为正切线，长度为正切值。

模块二：题型分类

题型一：单位圆定义法求三角函数值

1.已知角。的终边与单位圆交于点P(-弓,半)，则sinacosa=()

A.BB..巫C.D,"

3333

2.已知角。的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点尸一手，加

X

则sina=()

A.一立B.正C.一也D.述

5555

3.在平面直角坐标系xQr中，角6的顶点与原点。重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边0P交单位

圆。于点尸,贝ijtan，的值为

3

D.

4

4.设角a的终边与单位圆的交点坐标为

A'，BfD.1

5.已知角。的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合,若。的终边与圆心在原点的单位圆交于

力仁,〃，，且。为第四象限角，则sina=()

3344

A.B.C.D.

555

题型二：由终边或终边上点求三角函数值

1.已知角a终边经过点P(2,l),贝ijsina=()

A.1B.gC.竽D.2

2.已知角。的终边落在直线J，=2_r上，则sina的值为()

D.土迈

5

3.(多选)已知角。的终边经过点。(-4/%3砌(〃?/0),则2sina+cosa的值可能为()

4.若月的终边所在射线经过点P(1.2),则Sin/=,tan/?=

题型三：由三角函数值求终边上的点或参数

I.若角a的终边上有一点P(-2,?n)，且sina=—*,则m=()

A.4B.±4C.-1D.±1

2.已知角a的终边上有一点尸(认6),且cosa=g^，则实数，〃取值为—

1

3.已知角。的终边上一点尸卜〃,7句,且cosa=近〃,求/〃值.

4

4

4.已知角，的终边经过点尸(-8〃53),且cosO=—w，则实数小的值是()

B.—

A.T32

c9T9

C.』或」D-袁或方

3

5.已知角a的终边经过点(2a+l,a-2),且cosa=、，则实数”.

题型四：三角函数值在各象限的符号

1.已知sinJ<0,tan。V0,则角6的终边位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.“sin。V0”是“。为第三象限角”的(

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.求Jl-2sin5cos5=()

A.sin5-cos5B.-sin5-cos5

C.cos5-sin5D.sin5+cos5

2sinxcosx

所有可能取值的集合为

•71-cos2x4\-sin2x

5.已知点P(cos。,-tan。)是第三象限的点，则。的终边位于()

A.第一•象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6点.P(tan2022°,cos20220)位于第象限.

题型五：画三角函数线

1.利用单位圆分别写出符合下列条件的角«的集合:

1

(1)sina=-；

2

cosa=----；

2

(3)tana=-J3■

2.不等式COSX在区间［-肛句上的解集为.

3.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合:

(l)sinx>Kcos>；

(2)tanx>-l.

4.使sinxVcosx成立的x的一个变化区间是()

5.已知ae0,y,则sina+cosa的取值范围是_____

乙）

题型六：三角函数线的应用

1.己知A是AJ8C的一个内角，Etan^-V3>0,则sin/l的取值范围是（）

2.(1)设,试证明：s\na<a<tana：

(2)若试比较/sin/?与a-sine的大小.

3.如图，已知点A是单位圆与工轴的交点，角口的终边与单位圆的交点为P,尸A/_Lx轴于“，过点A作

单位圆的切线交角a的终边于7,则角。的正弦线、余弦线、E切线分别是（）

A.丽，万，砺

B.OM>诉，万

C.折，万，两

D•声，两，万

4.利用三角函数线，确定满足不等式Wcos”<正的夕取值范围.

22

模块三：综合巩固

1.已知角。的终边过点。（片2）,且cosa二一4,求sina及tana的值.

2.（多选）已知角。的终边上有一点P（a,2a）,若。<0,则（）

A.sin/9=--B.sin^=-^^

55

C.tan0=：D.tan<9=2

2

3.角。的终边经过点（—2,3）,则sin，=（）

A'o

A.——用B.——屈C.—V13D.

131313

4.角。的终边经过点P（4,/））且sina二-±则力的值为（）

A.3B.-3C.±3D.5

5.（多选）已知cosO=-；,则。可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

6.（多选）若。是第四象限角，则点小》孑制吟在第（）象限.

\乙乙）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.已知点尸（4,一3〃?）角a的终边上，且sina=（,求机，cosa,tana.

c»sincr八tana八r”口，、

8.若--->0,--------<0,则。是（）

tanacosa

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

9.已知P（sinl.cos2）.则点尸所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.角。的终边上一点尸的坐标为（JJ/）,且sina=7"w0）,则tana=（）

A.iy/2B.+y/6C.y/2D.^6

n

11,若|cos"=cos£,|tan6>|="tan^,则万的终边在（）

A.第一、三象限

B.第二、四象限

C.第一、三象限或在x轴的半负半轴上

D.第二、四象限或在x轴上

12,sinsin2•sin3•sin4的符号为（）

A.正B.0C.负D.无法确定

13在平面直角坐标系中，薪，而，凉；面是圆/+_/=1上的四段弧（如图），点夕在其中一段上，角。

以。x为始边，O夕为终边，若lana<cosa<sina,则尸所在的圆弧是

14.质点P和。在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发/的角速度

为3rad/s,起点为射线y=-6x（x2。）与圆的交点；。的角速度为5rad/s,起点为圆与x轴正半轴交点，

则当质点。与尸第二次相遇时，。的