第2课时 正弦定理（提升练）原卷版

第六章平面向量及其应用

6.4.3第二课时正弦定理（提升练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.在4Abe中，角力，B,C的对边分别为a,b,c.已知A=45。，a=2,b=6,则8

为（）

A.60°B.60。或120。C.30°D.30。或150。

PQcAb

2.已知的三个角A，B,C的对边分别为〃，b,c,若=一，则该三角形

cosBa

的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三曲形

3.在A8C中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,若AA8C为锐角三角形，且满足

sin^（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是（）

A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A

4.在AA8c中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知tanA=‘，8sA=上叵，

21（）

若AA8C最长边为府，则最短边长为（）。

A、V2B、加C、石【）、25/2

5.在平面四边形A8C。中，NA=N4=NC=75°,BC=2,则A3的取值范围是（）。

C、（V6-V2,V6+V2）1）、（1,4）

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6.在中，若A=60。，BC=6AC=及，则角4的大小不可能为（）

A.30°B.45°

C.135°D.45°或135°

7.以下关于正弦定理或其变形正确的有（）

A.在中，a：b：c=sinA：sin4：sinC

B.在&49c中，若sin24=sin28,则a=Z?

C.在44%中，若sinA>sinB,则力>反若则sinA>sin8都成立

b+c

［）.在A板'中,

sinAsinB+sinC

8.在aA6c中，己知〃（：0$。+。0053=27?,且--—十—--=--—,则（）

tanAtanBsinC

A.、c2=abB.sin/A:sin:sinC=2:1:41

C.若a=4,贝然4处.=«D.8='

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9.在&48c中，A,3,C内角所对的边分别为。，b,c,已知匕=2且

t,cosB+Z;cosC=4<zsinBsinC,则。的最小值为_.

10.如图，eABC中，已知点〃在比边上，AD1AC,sin5=—,cosZADC=—>

33

CO=36，则△AOC的面积为；45的长是

11.在锐角AABC中，内角AB,C所对的边分别是出瓦c,若C=2B,则f的取值范围

b

是.

四、解答题：（本题共3小题，共45分。一解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

12.在SABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，其外接圆半径为1,

（c—2a）-cosB+b-cosC=0o

（D求角8的大小；

⑵求A44C周长的取值范围。

A+C

13.△力8。的内角力，B,C的对边分别为a,b,c,已知。sin-----=Z?sinA.

2

(1)求8；

(2)若△/因为锐角三角形，且el,求△/蛇面积的取值范围.

14.AABC的内角A&C的对边分别为已知asin^^—二/"inA.

2

(1)求A；

(2)若AA8C为锐角三角形，且c=l,求AA8C面积的取值范围.

A级必备知识基础练

1.［探究点一］在△ABC中，角A乃。的对边分别为。力工,且

3=45。。=60。/=四，则c等于()

A.-B.V3C.2D.V6

2

2.［探究点二］在5c中，角ARC的对边分别为a,b,c.若

〃=&力=仃,4=；则R=()

A.-B.-

63

C二或处D；或巴

6633

3」探究点四］在△A5C中,AB=2,BC=5,A4BC的面积为4,则

cosNABC等干（）

A.-B.±-

55

C.--D.i-

55

4.［探究点二］在△ABC中，若V^osinB=c-hcos4,则B=（）

A.-B.-

63

C;或巴D；或处

3366

5」探究点二］在△ABC中,〃=4遮力=12,A=；则此三角形（）

6

A.无解

B.有两解

C.有一解

D.解的个数不确定

6」探究点三］在5c中,a=6sin4则△ABC一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

7.［探究点一］在△45C中石二45。,。=60。,c=l,则最短边的长等

于.

8」探究点一］△ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,若cos

A=-,cos。=三则b=.

513

9.［探究点二、四］在△ABC中，内角48c所对的边分别为〃

已知A=6Q°,c=-a.

7

⑴求sin求的值;

⑵当a=7时，求△ABC的面积.

B级关键能力提升练

10.如图，在中，角C的平分线CD交边AB于点

=三4。二28,。。=3鱼,贝11BC=()

40”

A.3V3B.4

C.4V2D.6

11.在△ABC中,4=60。,4=旧,则”人■等于()

sin71+sinfi+sinC

A8爪口2亚

A.—D.

33

C.—D.2V3

3

12.在5c中，若sinC=2sinBcos8,且BU£力,则二的取值范

64b

围是()

A.(V2,V3)B.(V372)

C.(0,2)D.(V2,2)

13.(多选题)△ABC内角A,B,C的对边分别为〃，4c,已知

。=3/=2,sinB=sin2A£ABC是△ABC的面积，则()

A.sinB=—B.cos4二」

93

C.c=3D.SAABC=2V2

14.在△ABC中,8』乃C边上的高AD等于%。，且AO=1,则

43

AC=,sinABAC-.

15.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是。力c已知

b・c=-〃,2sinB=3sinC,△ABC的面积为—,则cos

44

A=,a=.

16.在△ABC中，已知屋tanA,试判断△A8C的形状.

17.已知△ABC的外接圆半径为R,内角所对的边分别为

且满足2R(sin2A-sin2C)=(V^Q・/?).sin民求△48C面积的

最大值.

18.△ABC的内角4,民。所对的边分别是。力c已知(2sin

A-V3sinB)2=4sin2C-sin2B.

(1)求角C的大小；

⑵若b=l,c=yH,求cos(B-C)的值.

c级学科素养创新练

19.(多选题)锐角△ABC中，三个内角分别是4,民C,且A>B,则

下列说法正确的是()

A.sinA>sinBB.cosA<cosB

C.sinA>cosBD.sinB>cosA

20.在△ABC中是边BC上的点,AO平分的

面积是△AOC的面积的2倍.

⑴求？

sinC

⑵若AD=},DC=-^BD和AC的长.

2

参考答案

l.B&/XABC中,・・・8=45°,C=60o，=鱼，

由正弦定理」彳=M，得上。=.解得c=H.故选B.

s\nBsinCsin450sin600

/2

2.D在丛ABC中,由正弦定理/4^-^^m区二史则：与夏：率

sinzlsinFaV22

因为ct=&』)=用、A£,所以加inA<a<b,

又0<8<兀,所以8二三或8咚.故选D.

3.B由S=^ABBCsinZABCM4=：x2x5sinNA8c解得sinNA3C=g从而cosZABC=±|

4.A因为VJasin8=c-/?cosA,由正弦定理得gsinAsin3=sinC-sinBcosA.

因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin及所以VSsinAsinB=sinAcosB.

因为A£(0m),所以sinA#),所以tan8=4,而8为三角舫的内角，故8=；.故选A.

3o

5.B在△ABC中,。=46力=124=三则加inA=12x[=6,可得Z?sin4va<〃,可得此三角形有

6L

两解.故选B.

6.B由已知，得品二力二焉，所以sinB=1，所以8=90。,故/XABC一定是直角三角形.

7.暂由三角形内角和定理，得A=75°.由三角形的边角关系，得8所对的边〃为最短边.由

［忠L

t芬4It。bc均？csinB1X-TV6

正弦定理一^=b=—~=.

sinBsinesinev33

T

8.^1在△ABC中，由cosAcos8=焉,可得sinA=1,sin8=9

JL。。JLO。AO

sin5=sin(A+Q=sinAcosC+cosAsinC=—,

65

又。=1,故由正弦定理得力二誓=2

smH13

9.解(I)在△ABC中，因为A=600,c="所以由正弦定理，得sinC=—=：x坐=竽.

7a7214

(2)因为。=7,所以c=,x7=3.

由余弦定理a2=b2+(r-2bccosA,得72=b2+32-2Z>x3xg,解得/?=8或〃=-5(舍).

所以AA8c的面积S=1z?csinA=1x8x3x^=6V3.

10.D在△4CQ中，根据正弦定理得sin/4OC=嚓竺=<警2=

CD3v22

因为NAQC<A,所以ZAPC=7，

4

所以乙AC。』手一；=色

所以24。8义则N8==所以AB=AC=2y13.

66

在△ABC中,由余弦定理得所以8c=6.故选

D.

11.B由所2届nA”2Rsin32Rsin0得而黯薪尔=2V39

sin/lsin6003'

12.A由正弦定理及已知得：=吗=2碗8r叱2cos8.又!<8吟余弦函数在此范围内是

bsinBsinB64

减函数，故"<cosB<^,.<e(V2,V3).

LLb

13.ACD因为sinB=sin2A,所以sin5=2sinAcosA,即b=2acosA.

又。=3力=2,所以cosA=sinA二*,sin3二警.

又所以cosB=^.

cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsin/?=|=cos4,所以c=a=3.

S„ABc=bcs\nA=1x2x3x孥=2式.古攵选ACD.

14.V5与建如图.由4D=1.B三，知8。=1,

104

flzb^c

又AD=^BC=BD,；.BC=3,DC=2,AC=y/1T=底

由正弦定理知,sinN84c=粤"=碎=噌.

ACV510

15.44在△ABC中，..ZsinBRsinC,

4

13c

/.2b=3c,又b-c=-a,a=2c,h=—.

14

29c222

由余弦定理可得cosA”羡；—43c2---又力U(0,R),sinA=A/1-COS2/4—^

又△ABC的面积为争，

4

.1,..3>/T5l3V153属颔过c.

..-/?csin4二一即pn：；x-cxcvx—=—解得c=2..,a=41.

242244

16.解由已知，得决当二户警又由正弦定理附sin24当=而28当和当=吗，

cosBcosAcosBcosAcosBcosA

所以sinAcosA=sinBcosa即sin2A=sin23.所以2A=2B或2A+28=180°,所以A=3或

A+8=90\即△ABC是等腰三角形或直甭三角形.

17.解由正弦定理，得a2-c2=(y/2a-b)b,

即a2+b2-(r=y[2ab.

由余弦定理，得cosC=处空=要=与

VCe(o,7r),.\C=J

.*.S=1iz/?sinC=1x2RsinA2Rsin8.苧

=V2/?2sinAsinI3=yj2R2s'\nA(苧cosA+苧sin/1)

=/?2(sinAcosA+sin^A)

次能由24+率)

=/?2ysin(24-^)+1.

・.・A£(0,引,・・・2A中

.•・sin(2g)，,S<0,"R2,

・•・AABC面积的最大值为军火.

18.解(1)由(2sinA-V5sin5)2=4sin2C-sin2B化简,

得sin2A+sin