函数的概念与性质 全章十一大基础题型归纳（基础篇）-人教A版高中数学必修第一册（解析版）

专题3.6函数的概念与性质全章十一大基础题型归纳(基础篇)

【人教A版(2019)]

题型1上函数的定义域的求解_______________

1.(23-24高一下•广东湛江•期末)函数/(》)=泰+(3—%)°的定义域是()

A.[1,3)B.(3,+8)C.(1,3)U(3,4-00)D.[1,3)U(3,+8)

【解题思路】根据根式、分式以及零次方成立的条件分析求解.

【解答过程】令卮一23解得工>1且XW3,

(3一工工0

所以函数f0)=^=+(3-%)°的定义域是(1,3)U(3,+00).

故选：C.

2.(23-24高一上・江苏徐州•阶段练习)已知函数/■(%)定义域为[-1,2],则函数g(x)=^的定义域为().

A.&3]B.&+8)

C.C，2]D.康+8)

【解题思路】根据给定条件，利用复合函数的定义域的意义列式求解即得.

【解答过程】函数f(x)定义域为[-1,2],由函数g(%)=鲁有意义，得「彳”;“，解得;VXW3,

1IZX—JL>U/

所以函数仪外的定义域为G，3].

故选:A.

3.(24-25高一上•上海•课堂例题)求下列函数的定义域:

(l)y=(2%+3)°；

(2)y=Vx-1-V4-x+2；

【解题思路】(1)根据题意结合零次方底数不为0运算求解;

(2)根据题意结合根式的意义分析求解；

(3)根据题意结合分式的意义运算求解.

【解答过程】(1)要使函数有意义，需满足2%+3工0,

解得工工一右所以y=(2x+3)。的定义域为｛%k0一|卜

(2)要使函数有意义，需满足｛:二;旨：解得1WXW4.

所以函数y=Vx-1•y/4-x+2的定义域为｛xI1WxW4｝.

(3)要使函数有意义，需满足1+xHO,解得XH—1.

所以函数y=芸的定义域为｛%।%。-1).

4.(23-24高一.全国.课后作业)求抽象函数的定义域.

(1)已知函数f(x)=『7+VTT3,求函数+1)的定义域；

(2)已知函数/(3x+1)的定义域为〔一1,6],求/'(2%-5)的定义域.

【解题思路】(1)根据函数解析式可知可得出函数/(幻的定义域，再根据抽象函数的定义域

求法，即可求出函数/'(x+1)的定义域；

(2)根据题意，可知-1Vx工6,根据抽象函数的定义域求法,可求出函数/'(%)的定义域，从而得出/"(2%-5)

的定义域.

【解答过程】(1)解：由/(幻="1一x+G+3,

得解得：-3二以

，函数/(幻=小三?+VFTI的定义域为

由-3MX+141,得一4Mx40,

即函数f(x+1)的定义域为[-4,0].

(2)解：•・•函数/(3%+1)的定义域为(-1,6],

/.-I<x<6,则一2V3%+1W19,

即函数/(幻的定义域为(—2,19],

由一2V2x—5W19,得弓V%W12,

・・・/(2%-5)的定义域为侪14.

题型2卜函数的值域的求解O|

1.(23-24高一上•江苏南京•期中)下列函数中，值域是(0,+8)的是()

A.y=\!x2—2xB.y=G(0,4-co)

C・丫=忌77，"€'D.y=&

【解题思路】根据值域的定义结合函数解析式逐项分析判断.

【解答过程】对于选项A：当％=0时，y=0,即值域有0,故A错误；

对于选项B,因为室二1+小学1,即值域没有1,故B错误；

X+lX+1

对于选项C：函数的定义域为x£N,所以函数值域不连续，故C错误.

对于选项D：因为忱一1|的取值范围是(0,+8),所以函数的值域为(0,+8),故D正确.

故选：D.

2.(2024.湖南怀化.三模)己知函数/'(约=：。WXW2),则函数g(%)=2/(x)+/Q2)的值域为()

A.[3,2+272]B.63]C.[^,3]D.[|+V2,3]

【解题思路】由己知求得函数g(x)的定义域，换元后利用配方法求函数的值域.

【解答过程】•.•/-(%)=1(1<x<2),

由<X<42.

•••&)=2f(x)+f(x2)=^+^(l<x<V2).

令”久?W£W1),

二函数y=t2+2t=(t+I)2-1.

当t时,ymjn=1+V2;

'与t=l时，>max=3,

••・函数g(x)=2/(x)+/(M)的值域为E+四,3]

故选：D.

3.(23-24高一上•浙江杭州•期中)求下列函数的值域：

X2-4X+4/、1、

(»=1a>i)

(2)y=3x-VxTl

(3)f(x)=3x+1+(x<I)

【解题思路】(1)(3)根据题意结合基本不等式求值域；

(2)换元令t=77不INO,结合二次函数求值域.

【解答过程】(1)因为％>1,贝卜一1>0,

当且仅当％-1=工，即％=2时，等号成立,

所以函数的值域为[0,+8）.

(2)令t=Qx+1>0,则x=t2—1»

可得y=3(d—1)-t=3t2—t-3=3(t—》—

当y；时，等号成立,

所以函数的值域为卜*,+8）.

(3)因为贝1」2—3%>0,

可得一/⑸=一⑶+1+六)=(2-3%)+&一322.2—3》).号

-3=3,

当且仅当2-3%=&,即％=-：时，等号成立，

即/（切工一3,所以函数的值域为（-8,-3].

4.（23-24高一上・江苏苏州•阶段练习）求下列函数的值域：

⑴川）=黑，…（-1,+8）

（2）/（x）=x+V3-2x+1

【解题思路】（1）由/（幻=工+1+卷7-1。+1>°）结合基本不等式得出值域；

（2）由换元法结合二次函数的性质得出值域.

【解答过程】（1）解：/'a）=x+i+W-ia+i>o），故/（022同777^-1=1.

当且仅当％=0时“=”成立，/（均值域为[1,+8）.

（2）设£=，3-2%N0,则%二^一提

f（x）=：g+t+1=_§+£+；g（t），t20

对称轴为£=1,由二次函数的性质可知g（t）<g（l）=3,故/。）值域为（-8,3].

k同一函数的判断

1.（23-24高一上・江苏徐州•阶段练习）下列表示是同一个函数的是（）.

A./(x)=|x|4-\2x+1|与g(z)=3x4-1

B./(x)=Vx—1-7x+1与g(x)=vx2—1

C./(x)=|x|与g(x)=x

23

D./«=|3-^|+1^)=(^-；^3

【解题思路】利用相同函数的意义，逐项判断即得.

【解答过程】对于A,函数g(x)的值域是R,而函数f(x)的值不可能为负数，A不是；

对于B,函数/(x)中，{：；：：，解得“21，即八幻的定义域为口,+8),

函数g(x)中，x2-1>0,解得工4一1或xNl,即g(x)的定义域为(-8,1]u[1,+8),B不是;

对于C,函数/(%)的值域为[0,+8),函数g(x)的值域是R,C不是；

对于D,/(x)=|3-x|+1={%~，函数/(%)与gQ)是相同函数，D是.

故选：D.

2.(24-25高一上•上海•课后作业)下列四组函数中，同组的两个函数足相同函数的足()

x+l,xN—1

B.y=|x+1|与y=

—x—1,x<—1

C.y=1与y=(%4-1)

D.y=与y=(Vx)

【解题思路】根据两个函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解.

【解答过程】对于A,7二窜的定义域为{汇|不。一1},而丫=工-1的定义域为氐定义域不相同，故不是同

一函数，A错误，

对于B,y=|%+l|与y=二的定义域均为K且对应关系相同，故为相同函数，B正确，

对于c,y=a+1)°的定义域为卜以不—1},而y=1的定义域为R,定义域不相同，故不是相同函数,C错误,

对于D,y=泞的定义域为R,与y=(〃?的定义域为{x|xN0},定义域不相同，故不是相同函数,D错误,

故选：B.

3.(23-24高一•全国•课后作业)判断卜列各组函数是否为同一个函数：

⑴/(%)=?，g(x)=%；

(2)/(x)=g(x)=x2-1；

(3)/(%)=y/x^,g(x)=x.

【解题思路】当一组函数定义域与对应关系均相同时即为同一函数,以此为依据进行判断即可

【解答过程】(1)因为f(%)的定义域为{x|xH0},而g(x)的定义域为此所以f(%)与g(x)不是同一个函数:

(2)因为f(x)与g(x)的定义域均为凡所以定义域相同，

又/(%)=^71="J；?；：*，=x2-l=g(x),所以/(x)与g(x)是同一个函数；

(3)因为/(x)与g(x)的定义域均为此所以定义域相同，

又/(x)=yjx^=\x\x=g(x),所以/(无)与g(x)不是同一个函数.

4.(23-24高一.全国•课后作业)下列各组中的两个函数是否为同一个函数？

(1)/(x)=Vx7,g(x)=(Vx)2；

(2)/(x)=x2,g(x)=(x4-1)?；

(3)/(r)=//(r)=r-1：

(4)/(x)=x+pg(£)=t+卜

【解题思路】(1)由定义域不同，对应法则也不同判断；

(2)由对应法则不同判断；

(3)由两函数定义域不同判断；

(4)由定义域都为(-8,0)U(0,+8),且对应法则也相同，判断是同一函数，

【解答过程】(1)函数/'(%)=后=氏|的定义域为凡函数g(x)=(q)2定义域为［0,+oo),

定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数：

(2)•.•函数/•(%)=/,ga)=Q+i)2对应法则不同，即解析式不同，

两个函数不是同一函数，函数/'(%)与g(x)不是同一函数；

(3)v/(x)=夕卜g(x)=x-1由于/(%)的定义域为{x|xH-1},

g。)的定义域为R，两函数定义域不同，两个函数不是同一函数；

(4)函数/(x)=x+1与g(t)=t+g的定义域都为(一oo,0)U((),+oo),

且对应法则也相同，是同一函数.

题型4函数单调性的判断及单调区间的求解

I.(2024高三.全国.专题练习)设函数/(0在R上为增函数，则下列结论正确的是()

A.y=74在R上为减函数

B.y=|/•(x)|在R上为增函数

C.丫=一六在R上为增函数

D.丫=一人外在氏上为减函数

【解题思路】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项.

【解答过程】对于A选项，若/G)=x,则y=/=3,在R上不是减函数，故A错误；

lf(x)l|x|

对于B选项，若/(%)=%,My=|/(x)|=|xb在R上不是增函数，故B错误；

对于C选项，若/(%)=%,则y=一卷=一%在R上不是增函数，故C错误；

对于D选项,函数/(%)在R上为增函数,则对于任意的必,必eR,设%]<不，必有fGi)</(g)，即/(%)-

/fe)<0,

对于y=-/(%)，则有%-力=[-/Ui)]-[-/(x2)]=-[fM-/(x2)]>o

则y=—/(%)在R上为减函数，故D正确.

故选：D.

2.(23-24高一上・江苏徐州•阶段练习)函数/(幻=一右的单调增区间是().

X-Z

A.(2,4-00)B.(—oo,2)

C.(-2,2)D.(-8,2).(2,”)

【解题思路】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可.

【解答过程】函数八%)=一专的定义域为卜以丰2},

又/(%)=-+的图象是由y=-：向右平移2个单位而来，

y=—3的单调递增区间为(一8,0),(0,+oo),

所以/(%)=一_\的单调递增区间为(2,+8),(—8,2).

X—2

故选：D.

3.(23-24高一上•河北邯郸・期中)已知函数f(x)=ax-^(a,beR)t图象经过点(2》且/(I)=

(1)求a,b的值；

(2)用定义法证明函数y=f(x)在区间(一1,+8)上单调递增.

【解题思路】(1)根据条件得到方程组，可求出答案；

(2)VX1，%26(-1，+8),且/(Xl)-/(X2)=X1---三-X2+二7变形判断符号可得结论・

2ca-b---=s-

针：，

a------=-

11+12

解%二:

(2)由(1)可知f(x)=x—W，

Vx1(x26(-1,+8),且与<X2,

...........1111

/(勺)-f(x2}=xr--------X2+----T=Xi1-X2+----T-------

八“八"1%]+12物+12X2+1X1+l

1

=X-i-X+石-%2=(必—DU+I，

2(*2+1)(必+】)(必+1)(必+1)

因为必<X?,所以％]-％2V°，

又力-E（T,+8）,所以1+E中

1

所以（无1-%2）口+；]<0,即/（%）—/（不）<0,所以〃与）〈/（小），

(必+1)(*1+1)

所以函数y=/（x）在区间（—1,+8）上单调递增.

4.（23-24高一上•江苏南京•阶段练习）已知函数/（幻=|x|+\2x-3|.

（1）画出函数y=f（x）的图象;

（2）写出函数的单调减区间;

（3）用定义证明函数，（外在售,+8）为增函数.

【解题思路】（1）根据分段函数的解析式，即可求解其函数图象,

（2）由单调性的定义，结合图象即可求解，

（3）利用单调性的定义，即可求证.

，一3%4-3,x<0

3

【解答过程】（1）函数/■（%）—（3—无,0工无工之大致图象如图所示:

3x-3,x>1

O3

-X

2

(2)由(1)图可知函数的单调减区间为(-8,习：

(3)证明：设石,必e柢，+8),X1〈0,

则/Gi)—f(八)=(3%1-3)-(3X2-3)=3(匕-%2)，

•・X，%2£||，+8),与<%2，

••XjX2<0,••3(xj%2)<0?

/./(Xi)<f(x2),

・•・/(%)=\x\+|2x-3|在',+8)上为增函数.

题型5数的最值问题。|

I.(2024高二下.湖南•学业考试)已知函数/(幻=%+：(%>0),则/•(幻的最小值是()

A.2B.3C.6D.10

【解题思路】方法一：运用基本不等式可求得最小值.

方法二：求出函数f(%)在(0,+8)上的单调性，根据单调性判断函数的最值.

【解答过程】方法一：当%>0时，fM=x+l>2=

所以/(%)=%+g(x>0)得最小值是6.

方法二：因为函数/'(》)=x+^(%>0)在(0,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，

所以/(')min=f(3)=3+3=6.

故选:C.

2.(23-24高一上.四川眉山・期中)已知函数、=若,%£(1,词的最小值为8.则实数m的值是()

A.-1B.1C.2D.3

【解题思路】将原函数'=黄分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可.

【解答过程】由y=W=这半=3+吃，

/x-1x-1X-1

而函数y=三在(0,+8)上单调递减，所以函数y=3+三在(0,+8)上单调递减，

又其在(l,m]上的最小值为8,

所以Vmin=ylx=m=3+高=8,解得?n=2.

故选：C.

3.(23-24高一上•宁夏吴忠・期中)己知/'(%)=登

⑴根据单调性的定义证明函数/(%)在区间(2,+8)上是减函数

(2)若函数g(x)=超,XW[3,a](a>3)的最大值与最小值之差为1,求实数a的值

【解题思路】(1)VX1,X2€(2,十8)且与<X2,利用作差法证明/"(/)>f@2)即可;

(2)由(1)求出函数的最值，再根据题意即可得解.

(解答过程1(1)x2e(2,+8)且%i<x2，

则/(%】)一人小)=泞一X泞-2=(工1J-：2”)(0-2))，

2

因为V%i，%2€(2,4~°°)»所以%-2>0,%2—2>0,

又因为所以％

因此/。1)一/(%2)>0，/(%1)>汽N)，

所以〃为在(2,+8)是减函数；

(2)由(1)可知,g(x)是减函数，

所以。=3时，g(x)取得最大值为g(3)=7,

X=Q时，g(x)取得最小值为g(a)=",

因为最大值与最小值之差为I,

所以7-笞=1,解得Q=f.

a-24

4.(23-24高一上•浙江杭州•期中)己知函数f(x)=|x-a|-9aGR)

(1)当a=l时，求/(%)的单调递增区间(只需判定单调区间，不需要证明)：

(2)设/(%)在区间(0,2]上最大值为g(a),求y=g(a)的解析式.

【解题思路】(1)当Q=1时，将函数/(%)写为分段函数的形式，结合y=x：的单调性，写出

函数的单调递增区间.

(2)对a分成。工2,。工0,0<。<2三种情况，结合函数/'(X)的解析式，讨论函数的最大值，由此求得g(a)

的解析式.

x———1,%>1

【解答过程】(1)当Q=1时，/(X)=|X-1|--=/，

x1—+-J,x<1且4牛0

当”>1时，易得/(%)=%-：一1单调递增；

当X41时，/(幻=1一1+3，

因为对勾函数y=%+:在(-8,-1),(1,+8)上单调递增，在(一1.0),(0,1)上单调递减，

所以外外在(一1,0),(0,1)上单调递漕，

又当％=1时，1一:1=1一(1+3,所以/X%)在(0,+8)上单调递增，

综上,f(%)的单调递增区间为(-1,0),(0,+oo).

(2)因为x6(0,2],

当6工2时，x<a,则f(x)=-%—[+a=a—(X+：),

根据对勾函数的单调性可知/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减，

所以g(a)=f(x)max=fW=a-2；

当a<0时,x>a,则/(x)=x-3-a,显然/(x)在(0,2]上单调递增，

所以g(a)=/(x)max=/⑵=；a：

x---a,a<x<2

/1、，

Ia―^x--j,0<x<a

当a<%W2时，fix')=x-：-a单调递增，故f(x)max=/(2)>f(a)，

当0<xWa时，/(x)=Q—(x+3),

若aMl时，则/(x)max=/(a)；若时，则f(%)max=f(D=a-2;

所以当QMl时，g(a)=f(2)=,—a：

若lVaV2时，g(a)=max{/(l),/(2)),又/'(1)=a-2,f(2)=1-a,

当a—22—Q,即:4aV2时，g(a)=/(l),

/q

当a—2vg-a,即IVQV：时，g(a)=/(2)；

(a-2,a>\

综上，g(a)=\37.

《一a.”]

题型6

1.(23-24高一上•北京•期中)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,+8)上是减函数的是()

A.y=|x|B.y=x3C.y=x2D.y=-3x

【解题思路】利用基本初等函数的奇偶性和单调性逐项判断，可得出合适的选项.

【解答过程】对于A选项,设fG)=|M，该函数的定义域为R,/(-x)=|-x|=/(x),

所以，函数y=|%|为偶函数，且当4>0时，y=x,即函数y=田在(0,+8)上是增函数，A不满足要求;

对于B选项，函数y=/为奇函数，一且该函数在(0,十8)上为增函数，B不满足要求；

对于C选项，函数y=/为偶函数，且该函数在(0+8)上为增函数，C不满足要求；

对于D选项，函数y=—3%为奇函数，且该函数在(0,+8)上为减函数，D满足要求.

故选：D.

2.(2024•西藏•模拟预测)若函数/(x)=x—W，则下列函数中为奇函数的是()

A./(x+1)-2B./(%-1)-2C.f[x-1)+2D./(x+1)+2

【解题思路】变形得到f(x)=x+l+W-2,从而得到/1)+2=x+：为奇函数，其他选项不合要求.

【解答过程】因为/(%)=x-^-=x+1-―7-l=x+l+-^--2,

3•JLX•JL人•JL

所以/(%—1)4-2=%+p

由于g(x)="+(定义域为(-8,0)U(0,4-00),

又g(r)=_%_：=_g(x)，

故g(x)=x+：为奇函数，故/(%-1)+2为奇函数，

其他选项均不合要求.

故选:C.

3.(2024高二上•新疆•学业考试)设函数/(%)=3|%-a|+|QX-l|,其中a£R.

(1)若a=1,求/'(k)的最小值；

(2)若a=0,判断/(%)的奇偶性，并说明理由.

【解题思路】(1)代入后根据函数单调性即可得到最小值；

(2)计算出/•(-%)和/'(T)的关系即可判断.

【解答过程】(1)当Q=1时，/-(x)=3|x-l|+|x-l|=4|x-l|,

当x<1时，/(X)=4(1-x)=-4x+4,此时f(%)单调递减;

当x>1时，f(x)=4(x-1)=4J-4,此时单调递增，

所以/GOmin=fW=0.

(2)当Q=o时，/(X)=3M4-1,其定义域为R,

关于原点对称,且/(-%)=3\-x\+1=3|x|+1=/(x),

则/(%)为偶函数.

4.(2024高三.全国.专题练习)已知函数y=f(%)的定义域为R,并且满足+y)=/(外+/(y),

(1)求人0)的值；

(2)判断函数的奇偶性并证明.

【解题思路】(1)利用赋值法即可得到函数的特殊值；

(2)利用奇偶性的定义，结合赋值思想即可得出判断.

【解答过程】(I)令％=y=0,则/(0)=/(0)+/(0),.・•/(())=0；

(2)/(%)是奇函数,证明如下:

令),=-x,得/(0)=/(%)+/(-r)=0,

•••f(-X)=-/(x),

故函数/•(%)是R上的奇函数.

【解题思路】根据函数奇偶性和单调性即可求解.

(解答过程】因为f(%)=x3—\xG(—co,0)U(0,x)=—x3+：=—fM，

所以/(%)为奇函数，

当《>0时，］为减函数，/为增函数，故/(%)为增函数，故B选项正确.

故选:B.

2.(2024・安徽合肥•三模)函数/'(公=宁的图象大致是()

【解题思路】根据函数奇偶性、在(2,+8)上的单调性、函数值/(I)的正负情况依次判断和排除ABC,即可

得解.

【解答过程】由题/(外定义域为(-8,0)1^(0,+8)关于原点对称，且八一外二112止1二一曰二一/(%),

-XX

故f(x)是奇函数,故A错；

当x>2时，/(x)=:一』=%

7XXX

又y=x是增函数，y=-;在(2,+8)上是增函数，

故/(%)=%-:在(2,+8)上是增函数，故BC错：

故选：D.

3.<23-24高一上•陕西榆林•阶段练习)设函数f(*)=2|x|+x-2.

-

4

3

2

1

I

Q234X

T

-T2

⑴将函数八外写成分段函数的形式并回出其图象；

(2)写出函数/(无)的单调区间和值域.

【解题思路】(1)去掉绝对值符号将函数写成分段函数，再画出函数图象;

(2)结合函数图象得到函数的单调区间与最小值，即可求出函数的值域.

【解答过程】(1)因为|幻=(Yv^°n,

I-X,X<U

所以9=2闭+工一2=之二爱空,

所以/co的图象如下所示：

4

3

2

(2)由(1)中函数图象可知，/(均的单调递增区间为［0,+8),单调递减区间为(-8,0),

又/(0)=-2,所以/(%)的值域为［-2,+8).

4.(23-24高一上•湖北武汉•阶段练习)已知y=f(x)为二次函数，且满足：对称轴为％=1J(O)=-3J(3)=

(1)求函数/(%)的解析式，并求y=/(%)图象的顶点坐标：

(2)在给出的平面直角坐标系中画出y=|f(%)|的图象，并直接写出函数y=|/(无)|的单调增区间.

【解题思路】(1)设出二次函数解析式，根据条件得到方程组：解得解析式，再计算顶点即可.

(2)确定函数解析式，画出函数图象，根据图象得到单调区间.

b4

X=---=1

2aa=1

【解答过程】(1)设函数为/•(%)=。/+加+式。工0),所以/-(0)=C=—3,解得b=-2,

/(3)=9a+3b+c=0c=-3

所以/(无)=%2一2%-3,所以/(1)二一4,所以顶点坐标为(1,-4).

x2—2x—3,x6(—oo,-l)U(3,4-oo)

(2)y=\fW\=\X2-2X-3\=

—+2x+3,xE[—1,3]

题型8求幕函数的函数值、解析式

1.(23-24高二下.重庆.期末)已知幕函数/(%)的图象过点(3,目，则/(2)=()

A.-4B.-3C.-D.3

4

【解题思路】先用待定系数法求出幕函数解析式/(均=%-2,然后直接求出f(2)即可.

【解答过程】设辕函数/G)="a，代入点(3,。，

得3=3。，解得a=-2,

所以=

则/(2)=2-2=%

故选：C.

2.(23-24高一下•辽宁本溪•开学考试)已知幕函数/(%)的图象过点(43)，则()

A.fM=^xB./(x)=x~2C./(x)=x-1D./(x)=^x2

【解题思路】设辕函数/•(%)=产，将点的坐标代入即可.

【解答过程】设基函数/'(x)=xa,将点(4,)代入”X。得4。=£所以Q=W

所以帚函数的解析式为/(比)=x4.

故选:B.

3.(23-24高一下•辽宁•阶段练习)已知寻函数/(%)=(m2-2m-2)炉-加2的图象与坐标轴无交点

(1)求/(%)的解析式;

⑵解不等式f(x+1)>f(x-2).

【解题思路】(1)利用箱函数的定义，结合图象特征求出m即得.

(2)由塞函数的单调性结合奇偶性求解不等式.

【解答过程】(1)由/Xx)是幕函数，得nt?—2m—2=1,解得m=3或m=-1,

由/(幻的图象与坐标轴无交点，得5-血2V0,则m=3,

所以/(幻的解析式是/(幻=%-4.

(2)显然函数/(%)二%一4是偶函数，且在(0,+8)上单调递减，

不等式/(x+1)>f(x-2)<=>f(\x+1|)>f(\x-2|),

因此0<|x+1|V|%—2|,解得％且无工一1,

所以原不等式的解集为{幻％<3且第丰-1}.

4.(23-24高一上•湖北•期末)已知辕函数/•(%)=(2m2-eR)为偶函数.

⑴求函数外幻的解析式；

(2)解关于x的不等式/(%)-(1+a)x+a<0(aeR).

【解题思路】(1)根据基函数定义求出m的值，由偶函数性质求出符合题意的得到解析式；

(2)由一元二次不等式的解法对a分a>1,a=1,a<1三种倩况讨论得到不等式的解集.

【解答过程】(1)由题意，因为/'(X)为某函数，

所以2m2-m=1,解得m=1或m=

当m=l时，/(x)=x2,定义域为R,关于原点对称，

显然/X-切=〃切成立，故人>)为偶函数，符合题意;

当？n=—:时，/(x)=x2=G，

此时/(%)的定义域为［0,+8),不关于原点对称，

故/(%)不是偶函数，不符合题意.

故函数/'(%)=/.

(2)因为f(x)=/,则不等式等价于一(1+Q)x+Q工0,即(x—l)(x—Q)W0.

当a>1时，<x<a,不等式的解集为｛%I1<X<a｝；

当a=l时，有％=1,不等式的解集为｛xl无=1｝；

当aVI时，有aWxWl,不等式的解集为｛无IQ4X41｝.

综上，当a>l时，不等式的解集为｛XI1W%Wa｝；当a=l时，不等式的解集为｛%IX=1｝：当aVl时,

不等式的解集为｛"aW%W1｝.

题型9寻函数的定义域、值域问题

1.(23-24高一上.安徽合肥.期末)已知哥函数/(%)=/的图象过点(&多，则下列说法中正确的是()

A.定义域为&|工00｝B.值域为R

C.偶函数D.减函数

【解题思路】结合第函数性质逐项判断即可得.

【解答过程】因为寻函数/"(外二产的图象过点(&，¥)，所以(鱼片=子,

所以。=一1,所以/(%)="T=：

对A、B：因为/(X)=%T=3定义域为｛x|%H0｝,值域为｛y|y±O),

故A正确、B错误；

对C：/且定义域为口优工0｝,故/(%)为奇函数，故C错误;

对D：/'(久)=：在区间(―8,0),(0,+8)上单调递减，

由/(一2)=-1</⑴=1可知/Q)在定义域上不是减函数，故D错误.

故选:A.

2.(23-24裔一上•湖北襄阳•期末)下列函数中，值域为(0,+8)的是()

A.f(x)=VxB./(x)=x+i(r>0)

C./(X)=D./(x)=l-i(x>l)

【解题思路】根据函数的定义域、’曷函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判

断即可.

【解答过程】由已知f(x)=正值域为[0,+8),故A错误；

vx>0,/(%)=x+^>2=2,无=1时，等号成立，所以/(%)=%+>0)的值或是[2,+8),

B错误;

/•(乃=焉因为定义域为％£(-1,+8),VT+l>0,函数值域为(0,+8),故C正确；

/(X)=1—：(x>1),€(0,1),—6(―1,0)»所以/(%)E(0,1),故D错误.

故选：C.

3.(23-24高一下.上海宝山.期末)已知幕函数y=/(无)的图像经过点(41).

(1)求此事函数的表达式和定义域；

⑵若/(a+1)Wf(4-2a),求实数Q的取值范围.

【解题思路】(1)根据塞函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域；

(2)结合函数单调性与定义域要求计算即可得.

【解答过程】(I)设/(无)=》叫则有4爪=也解得根二一点

故/(x)=xT,B|J/(x)=%4=A,则其定义域为(0,+8);

(2)由/•(%)=》%，则/(%)在(0,+8)上单调递减，

a+1>0a>-1

故有4-2a>0即aV2,即1工aV2.

a+1>4—2aa>1

4.(23-24高一上•陕西商洛•期中)己知幕函数/(%)=广而_2m+3(_2<m<2,mEZ)满足：

①/(x)在(0,十8)上为增函数，

②对VxGR,都有/'(一无)-/(x)=0,

求同时满足①②的第函数/(%)的解析式，并求出工€[1,4]时，f(%)的值域.

【解题思路】利用寻函数的性质及题设条件可确定外幻表达式，进而确定其在指定区间上的值域.

【解答过程】因为/(%)在(0,+8)上为增函数，所以一瓶2一2血+3>0,解得一3VmVl,

又一2VznV2,mEZ,所以，m=-1或m=0.

又因为/(一%)=/(%)，所以/(x)是偶函数，所以一小2-2m+3为偶数.

当771=-1时,—771—2?九+3=4满足题意；当m=0时，—m?—27九+3=3不满足题意,

所以/a)=%3

又因为"%)=*4在［1,4］上递增,所以为爪min=f(1)=1，又因max=f(4)=256,

故［1,4］时,f(x)的值域是［1,256］.

题型10k;^函数模型的应用

1.(2024高一.全国.专题练习)某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低().1元，销售

量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为()

A.0.5元B.0.8元

C.1元D.1.1元

【解题思路】由题意设杂志的价格降低了x个0.1元，即可确定降价后的价格以及卖出的数量，可得总箱售

收入的表达式，解不等式即可求得x的范围，由此可得答案.

【解答过程】设杂志的价格降低了『个0.1元，

则此时价格为(1.20-XX0.1)元，卖出(12+较)万本,

设总销售收入为)，万元，

则y=(1.20-0.1x)(12+4%)=-0.4/+3.6%+14.4,(xGN*),

要使y220,即一0.4/+3.6x+14.4N20,即%2一9%+1440,解得24％W7,

当;t=7时，价格最低，为1.20-57=0.5(元).

故选:A.

2.(23-24高一上•湖南益阳・期末)某企业一个月生产某种商品”力件时的生产成本为CQ)=x2+4%+16(万

元)，每件商品售价为28元，假设每月所生产的产品能全部售完.当月所获得的总利润用w(x)(万元)表

示，用逊表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是()

X

A.当生产12万件时，当月能获得最大总利润144万元

B.当生产12万件时，当月能获得最大总利润160万元

C.当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为24元

D.当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元

【解题思路】求出w(x)的表达式，利用二次函数的基本性质可求得w(x)的最大值及其对应的工的值，求出手

的表达式，利用基本不等式可求得留2的最大侑及其对应的工的俏，即可出结论.

【解答过程】由题意可得w（x）=28x—（?（%）=—x24-24%—16=—（%—12）2+128,

故当％=12时，w（x）取得最大值128,

盘=^^=24-6+竺）工24-2平=16,

XX\X/yJX

当且仅当％=4时，等号成立，

因此，当生产12万件时，当月能获得最大总利润128万元，

当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元.

故选：D.

3.（23-24高一上.河北石家庄.期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，某

制冷杯成了畅销商品.某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产

产品的数最无关）：20万元；②生产所需材料成本：（10%+总）万元，x（单位：万套）为每月生产产品的

套数.

（1）该企业每月产量不为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少？

（2）若每月生产％万套产品，每万套售价为：（30+万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定

计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于625万元？

【解题思路】（1）根据题意，可知平均每套所需的成本费用为y=§+合+10,再利用基本不等式即可求

出结果：

（2）由题意可知月利润P=1+20%-20,解一元二次不等式1+20x—202520即可求出结果.

20zO

【解答过程】（1）设平均每套的成本为y元，

由题有'=巴吧蜷=丑+合+1022的+10=12,

'xx20yjx20

当且仅当空=左，即％=20时，取等号，

X20

所以企业每月产量20万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元.

（2）设月利润为P万元，

则有p=X（3O+^）-10x--20=^+20x-20,

由题知葛+20%一20N625，整理得到7+400%—430x30之0，解得八30,

所以，该企业每月生产不小于30万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于625万元.

4.（23-24高一下•湖北•开学考试）某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备，经估算该设备每年可

为甜品店提供12万元的总收入，已知使用％年aeN")所需的总维护费用为/+2%万元.

⑴该甜品店第几年开始盈利？

(2)若干年后，该甜品店计划以2万的价格卖出设备，有以下两种方案：

①当年平均盈利最大时卖出；

②当盈利总额达到最大时卖出；

试问哪一方案较为划算？说明理由.

【解题思路】(I)表达出为年后所得总利润、=一%2+10工-21,解不等式，求出答案；

(2)设方案①的年平均利润为wQ),表达出w(x)=—(%+§)+10,由对勾函数单调性求出最大值，再求

出方案②的总利润，比较后得到结论.

【解答过程】(1)设该甜品店工生后所得总利润为y万元，

则)，=12x-(x2+2x)-21=-x2+10x-21,

若开始盈利即y>0,

・・・一/+10%-21>0,解得3Vx<7,

・••第四年开始盈利.

(2)方案①：设年平均利润为w(x),

则w(x)=(=一1+§)+10,

由对勾函数性质可得W(X)在XG(0,⑸)上单调递增，XG(同,+m)上为单调递减.

又XWN',4<5,

%=4时，w(4)=4年总利润为3万元，

4

%=5时，w(5)=g,5年总利润为4万元，故选择第5年卖出，

方案②：y=-X2+10x-21=~(x-5)2+4,'max=4,

即x=5时总利润最大为4万元，

故选择方案一或方案二是一样的，最终都是在无=5即第5年总利润达到最大值4万元,

加上卖设备的2万元，一共6万元利润.

题型111分段函数模型的应用

1.(23-24高二下•北京朝阳•期末)某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药£(0<t<12)小时后每亳

升皿液中的含药量y(亳克)与时间t(小时)之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含

药量不少于4亳克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（）

八一毫克）

:）

R5i2«小时）

A.4小时B.5小时C.6小时D.7小时

【脩题思路】首先求出函数解析式，再令yz4求出相应的£的取值范围，即可得解.

【解答过程】当0W£W3时，则厂界二23

当3V£412时，设函数为、=比+6,

2

将（3,6）,（12,0）代入可得二老甘/解得"二一三，所以y=—“+8,