广东省深圳某学校2024-2025学年八年级下学期数学试卷（解析版）

南山区第二外国语学校（集团〉2024・2025学年度第二学期

八年级数学试卷

一，选择题（共8小题，每题3分，共24分）

1.数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案（不考虑文字说明）中，既是轴对称图形

又是中心对称图形的是（）

△可回收物

有害垃圾B.

C.厨余垃圾D.其他垃圾

【答案】A

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

【详解】解：A.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

B.既不是中心对称图形，也不是粕对称图形，故此选项不合题意：

C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意：

D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意：

故选：A.

【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

2.若。>力，则下列不等关系一定成立的是（）

,,,ab

A.a+c>b+cB.a-c<b-cC.ac>bcD.—>—

cc

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐项验证即可得到答案，熟记不等式性质是解决问题

的关键.

【详解】解：A、由不等式的性质可知，当。>力时，则〃+c>Hc,不等关系一定成立，符合题意；

B、由不等式的性质可知，当力时，则。一。>人一。，原不等关系不成立，不符合题意；

C、由不等式的性质可知，当a>b,且c>0时，则原不等关系不一定成立，不符合题意；

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D、由不等式的性质可知，当且。＞0时，则原不等关系不一定成立，不符合题意；

CC

故选：A.

3.下列由左到右的变形中属于因式分解的是()

A.24x2y=3x'SxyB.x2+2x+l=(x+l)2

C.x2-2x-3=x(x-2)-3D.(x+3)(x-3)=x2-9

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键：因此此题可根据因式分解进行排除选

项.

【详解】解：A、24/y=3x・8孙，不属于因式分解，故不符合题意；

B、X2+2X+1=(X+1)2,属于因式分解，故符合题意；

C、X2-2X-3=X(X-2)-3,不属于因式分解，故不符合题意；

D、(x+3)(x-3)=f_9,不属于因式分解，故不符合题意：

故选B.

4.如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角N。的大小，需将NO转化为与它相等的

角，则图中与NO相等的角是()

A.ZBEAB.ZDEBC.ZECJD./ADO

【答案】B

【解析】

【分析】根据直角三角形的性质可知：N。与/力。O互余，/DEB与/ADO互余,根据同角的余角相等

可得结论.

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【详解】由示意图可知：△DO力和D8E都是直角三角形，

.•.NO+400=90。，/DEB+N4DO=90。,

:"DEB=NO,

故选：B.

【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键.

5.将分式X中x,y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（）

A.不变B.是原来的6倍C.是原来的3倍D.是原来的2倍

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查分式的基本性质，将分式至匕中x,J，的值同时扩大为原来的2倍，则原分式则变成

x-y

3x2xx2y_3xy

——不上=2*」一,则分式的值是原来的2倍.

2x-2yx-y

【详解】解：将分式担■中x,u的值同时扩大为原来的2倍,

x-y.

3x2xx2y12H

则原分式变成

2x—2y2(.”力

.•.分式的值是原来的2倍，

故选：D.

6.校园湖边一角的形状如图所示，其中48,BC,CQ表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点尸修

建一个观赏亭，使点尸到三面墙的距离都相等，则点尸在（）

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A.线段4C、BD的交点B.SC、N28角平分线的交点

C.线段/8、8C垂直平分线的交点D.线段BC、CD垂直平分线的交点

【答案】B

【解析】

【分析】由角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断为D.

【详解】解：如图，/ABC、N8CQ角平分线的交点P,PK上AB，PL'BC,PMLCD,垂足分

别为K,L,M,则尸K=PL=PM，即点「到二面墙的距离相等；

故选：B

【点睛】本题考杳角平分线的性质定理；掌握角平分线的性质定理是解题的关键.

7.如图.在中.Z5=30°.AC的垂直平分线交44于点垂足为Q,3平分若

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理及等腰三角形的

性质，熟练掌握角平分线的性质及线段垂直平分线的性质是解答的关键.先根据线段垂直平分线的性质及

等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理得到//=90。，根据角平分线的性质得到力E=QE，利用

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含30度角的直角三角形的性质求得OE即可.

【详解】解：・・・BC的垂直平分线交48于点E,垂足为。,

，DE上BC,EB=EC,

•・,Z5=30°,

:.乙ECD=N8=30°,

•・・C£平分/4CB,

・•・乙4cB=24ECD=60°,

・•・N4=180。-N8-NACB=90°,

又/EOC=90。，CE平分NACB,

AAE=DE,

在RIZX3OE中，BE=2,ZB=30°,

:.DE=—BE=1,即AE=1，

2

故选：B.

8.如图，在等边cfe/8C中，点。在4C上，且/。=3,CO=6,点P是/1B上一动点,连接OP,将线

段。尸绕点。逆时针旋转60。得到线段OO.要使点。恰好落在3c上，则。尸的长是（）

A.3百B.2GC.—D.6

3

【答案】A

【解析】

［分析】由于将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,当点、D恰好落在BC上时，易得：OD=OP,

根据旋转的性质可以得到△力。尸2Z\C。。，由此可以求出力P的长.过P作尸〃_14c于"，根据含30

度角的直角三角形的性质求得力3可得〃与O重合，则利用勾股定理求解即可.

【详解】解:如图,将线段OP绕点O逆时针旋转60。得到线段OD，当点。恰好落在BC上时，OP=。。，

APOD=60°,

•・•4BC是等边三角形,

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/.ZA=ZC=60°,

・•・^AOP+/COD=/COD+ZCDO=120°,

・•・ZAOP=ZCDO

・•・AOP^CDO(AAS)

:・AP=CO=6.

过P作PH_L4C于〃，则45二90。，N4PH=3。。,

AH=—AP=3,又力0=3,

2

・•・〃与。重合，即N4O尸=90。，

•••OP=yjAP2-OA2=762-32=3G，

【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质、勾股定理、含30度角的直

角三角形的性质等知识，关键在于熟练运用基础知识.

二.填空题(共5小题，每题3分，共15分)

9.如果分式‘上L的值为0,那么。的值为_____.

2。一1

【答案】-1

【解析】

【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件：分子的值为零，分母得值不为零，

即可求解，掌握分式的值为零的条件是解题的关键.

【详解】解：•・,分式㈡；的值为()，

2a-\

.*.(74-1=0,且2。-1H0,

解得4二一1,

故答案为：—1.

10.已知等腰三角形的两条边长分别是8和3,则此等腰三角形的周长是.

【答案】19

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【解析】

【分析】将8和3分别作为腰分类讨论即可.

【详解】解：当8为腰时，三边为：8,8,3,

则周长为8+8+3=19,

当3为腰时,三边为:8,3,3,

根据三角形三边关系：3+3<8,

故不能构成二角形.

故答案为：19

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，相关知识点有：三角形三边关系，准确分类讨论是解题关键.

11.已知x+y=l,则;x?+xy+5y2的值是.

【答案】y

【解析】

【分析】利用完全平方公式化简，然后将x+y=l代入计算即可得出结果。

【详解】解：-x-+xy+-/

=^（x2+2xy^y2）

=g（x+y『

当工+y=l时，原式=Lx1?="!"。

22

故答案为：

【点睛】本题主要考杳了完全平方公式的应用和化简求值，能熟练运用完全平方公式是解题的关键。

12.如图，一次函数乂=x+A与％=质+3化工0）的图象相交于点P（l,2）,则关于“的不等式

x-vb>Ax+3的解集是.

【答案】x>1##1<x

【解析】

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【分析】观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式x+丘+3的解集.

【详解】解：观察函数图象可知：当x〉l时，一次函数必=x+b的图象在为=米+3的图象的上方,

・•・关于x的不等式x+b>依+3的解集是x〉l.

故答案为：%>1.

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解

题的关键.

13.如图，中，/C=90°,点。在边8C上，4D=ED,点、E在边4D上,且4EQ=45。,

若CD=5,4E=6,则力C的长为.

【答案】12

【解析】

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，添加辅助线构造

全等三角形是解答的关键.过8作8/F4）交4）延长线于H证明4CD咨引力（AAS）得到

DF=CD=5,AC=BF,证明是等腰直角三角形，得到4产=跖，设DE二x,在RtBFD中,

利用勾股定理求得x值即可解答.

【详解】解：过8作8/_1.力。交力。延长线于凡则NC=ZF=90。，

在月CQ和△9管中，

ZC=ZF

<NADC=NBDF,

AD=BD

・•・ACD^BFD(AAS),

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/.DF=CD=5,AC=BF,

,；4BED=45。,ZF=90°,

・•・FEB是等腰直角三角形，

ABF=EF,

设DE=x,则8/=E/=5+x,BD=AD=6+x,

在RtBFD中,由8/）2=o尸2户2得（6+x『=5?+（5+工『，

解得x=7,

：,AC=BF=5+7=\2,

故答案为：12.

三，解答题（共7小题，共61分）

14.（1）因式分解：x2-x+^-

4

3

（2）因式分解：a-a

4（x+l）<6x4-8

（3）解不等式组：x-6，并在数轴上表示该不等式组的解集.

x-4<-------

3

-5-4-3-2-10123456

【答案】（1）［、_g）；（2）。（。+1）（。-1）；（3）-2<x<3,数轴表示见解析

【解析】

【分析】本题考查因式分解、解一元一次不等式组、数轴上表示不等式组的解集，正确求解是解答的关键.

（1）利用完全平方公式分解因式即可；

（2）先提公因式a,再利用平方差公式分解因式即可；

（3）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上，

注意实心空心问题.

【详解】解：⑴x2-x+：

4

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(2)a3-a

=a^a2-1）

=Q（Q+1）（4-1）；

4（x+l）<6x+8©

（3）,了一6小，

x-4<-----②

3

解不等式①，得x2—2,

解不等式②，得x<3,

・•・不等式组的解集为-23<3,

解集表示在数轴上如图：

15先化简（岩一7^77卜芸？然后从3。一三个数中选一个你喜欢且使原式有意义的

数代入求值.

【答案】当x=0或x=2时，原分式无意义；当％=-1时，原式二g.

【解析】

【分析】经计算后发现当x=0或x=2时，原分式中的分母为。，故原分式无意义，故只能选择-1代入,

按照先化简再求值的步骤，即可解题.

【详解】原式二:」~~\x+2

x（x-2）（x-2yx(x+2)(x-2)

(x+2)(x-2)-x(x-l)

xx(x-2),

x(x-2『

(x+2)(x-2)-x(x-l)

----------------，

x—2

A2-4-x2+x

=--------，

x-2

-4+x

~x-2

•.♦不=±2或0时，原分式无意义,

/.x=-1,

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当了=一1时，原式=—;--=-.

-1-23

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键.

16.已知，如图，户是/403平分线上的一点，PCLOA,PD10B,垂足分别为C,D.求证:

(1)OC=OD；

(2)。。是CO的垂直平分线.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】本题考资全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练革握角平分线

的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键.

(1)先根据角平分线的性质得到PC=PQ,再证明RtPCO^RtPDO(HL),利用全等三角形的对应

边相等即可证得结论；

(2)利用线段垂直平分线的判定可得结论.

【小问1详解】

证明：•・•尸是/力。8平分线上的一点，PCLOA,PD1.0B：

:.PC=PD,/PC0=/PD0=9M,又OP=OP,

：.RtPCO^RtPQO(HL),

・•・OC=OD；

【小问2详解】

证明；，：OC=OD,PC=PD,

・••点0、P在线段co的垂直平分线上，

即。p是。。的垂直平分线；

17.如图，平面直角坐标系中，出/8C的三个顶点分别是力(-3,2),5(-1,4),C(0,2).

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(1)将出/14C以点o为旋转中心旋转180°,回出旋转后对应的△44G；

(2)平移cfeNBC,若点A的对应点4的坐标为(-5,-2),则点6的对应点与坐标是；

(3)若将与C绕某一点旋转可以得到层。2；则旋转中心。'的坐标为.

(4)在x轴上有一点P,使得PO'+PC的值最小，则点尸的坐标为.

【答案】(1)见解析(2)(-3,0)

⑶(-1,-2)

(1)

(4)——,0

I2J

【解析】

【分析】本题考资了作图一作图形的旋转、图形的平移、最短路线问题、待定系数法求一次函数解析式，

熟练掌握旋转的性质,平移的性质是关键.

(1)作出力、B、C三点关于原点的中心对称点4、4、c,,并依次连接即可；

(2)由4点及其对应点的坐标可确定平移，根据平移即可确定点8的对应点坐标；

(3)分别连接442、3与相交于点则此点就是旋转中心，由中点公式即可求得旋转中心的坐标：

(4)连接O'C交x轴于尸，则尸。'+尸C=O'C,此时尸O'+PC最小，故点尸即为所求，利用待定系数

法求出直线CO的解析式，即可求得点P的坐标.

【小问1详解】

解：如图，力、B、C三点关于原点的中心对称点m、B、、G的坐标分别为(3,-2)、。,-4)、(0,-2),依次

连接这三点得到旋转后对应的△44G；

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・••平移为向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，

:•点、B的对应点坐标（一3,0）,

故答案为：（-3,0）；

【小问3详解】

解：分别连接44、片与相交于点。，则o'点就是旋转中心，其坐标为（—1,—2）；

故答案为：（一1,一2）；

【小问4详解】

解：如图，连接O'C交X轴于P，则尸。'+PC=O'C,此时PO'+尸。最小，故点尸即为所求:

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设直线CO'的解析式为y=kx+b,

h=2

将。'（一1,一2）、C（0,2）代入，得:

-k+b=-2

k=4

解得:

b=2

即y=4x+2；

令y=4x+2=0,得x=—g,

・•・点尸的坐标为（一g,o）.

故答案为：一5，°），

18.某商店准备购进一批冰箱和空调，每台冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城购进6台冰箱和

10台空调刚好花费28000元.

（1）求每台冰箱与空调的进价分别是多少？

（2）已知冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，现商城准备购进这两种家电共100

台，要求购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，则该商店购进冰箱、空调各多少台才能获得最大利润？最

大利润为多少？

【答案】（1）每台空调进价为1600元，每台电冰箱进价为2000元

（2）当购进冰箱25台，空调75台获利最大，最大利润为13750元

【解析】

【分析】（1）根据每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商店购进6台冰箱和10台空调刚好花费

28C00元，可以列出相应的方程，从而可以解答本题：

（2）设购进电冰箱x台，则购进空调（10（）-）台，根据：总利润=冰箱每台利润X冰箱数量+空调每台利润

X空调数量，列出函数解析式，结合x的范围和一次函数的性质可知最值情况.

【小问I详解】

设每台冰箱进价为x元，空调每台进价为为G-400）元，根据题意得，

6X4-10（x-400）=28000

解得，x=2000

/,x-400=2000-400=1600（元）

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答：每台空调进价为1600元，每台电冰箱进价为2000元

【小问2详解】

设购进冰箱x台，由题意可得，

y=(2100-2000)x+(1750-1600)x(l()0-x)=-5().v+15000,

•・•购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，

100—A<3X»解得，x>25,

•・“为正整数，7=-50,vI15000,-50<0,

・•・)；随x的增大而减小，

，当x=25时，)，取得最大值，此时J，=-50X25+15000=13750(元)，100-x=75,

答：当购进冰箱25台，空调75台获利最大，最大利润为13750元.

【点睛】本题主要考查一元一次方程和一次函数的应用，根据题意确定相等关系并据此列出方程和函数解

析式是解题的关键.

19.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：解一元二次不等式/一4〉0.

vx2-4=(x+2)(x-2),

/.X2-4>0»可化为(X+2)(X-2)>0.

由有理数的乘法法则”两数相乘，同号得正”，

x+2>0[x+2<0

得①<…，②<一-

x-2>0[x-2<0

解不等式组①，得x>2,解不等式组②，得工<-2,

.•.卜+2)(工-2)>0的解集为X〉2或工<一2,即一元二次不等式一一4>0的解集为x〉2或x<—2.

(1)一元二次不等式一一16>0的解集为；

(2)解一元二次不等式2--5%<0；

7v+1

(3)类比一元二次不等式的解法，直接写出分式不等式一^<0的解集为____.

x-5

【答案】(1)%>4或工〈一4

(2)0<x<-

2

(3)——<x<5

2

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【解析】

【分析】本题考查解一元二次不等式，理解题干例题求解方法并灵活运算，利用“降次”思想求解是解答

的关键.

(1)根据题干求解方法，结合因式分解求解即可；

(2)根据题干求解方法，结合因式分解求解即可；

(3)根据除法符号问题，将分式不等式化为一元一次不等式组求解即可

【小问1详解】

解：vx2-16=(x+4)(x-4),

X2-16>0»可化为(X+4)(X-4)>0.

由有理数的乘法法则”两数相乘，同号得正”，

x+4>0fjc+4<0

得①…，②/-

x-4>0[x-4<0A

解不等式组①，得x>4,解不等式组②，得、<-4,

.•.(1+4)(工-4)>0的解集为工>4或工〈一4,

即一元二次不等式f—16〉0的解集为x〉4或xv-4.

【小问2详解】

解：丁？;？-5X=X(2X-5),

•**2X2-5X<0»可化为X(2X-5)<0.

由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，

x>0fx<0

得①4,②《

-⑵-5<0-[2x-5>0

解不等式组①，得解不等式组②，得x无解，

2

・•・x(2x-5)<()的解集为0<x<|,

即一元二次不等式2/一5x<0的解集为0<x<'I•

【小问3详解】

解：由有理数的除法符号法则”两数相除，异号得负”，

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2x+\>02x+1<

得①

x-5<0x-5>

解不等式组①，得-，<x<5,解不等式组②，得x无解,

2

.♦.不等式生止<0的解集为一_L<X<5.

x-52

20.【阅读材料】

(1)如图1,在等腰直角三角形,43C中，ZC^=90°,4B=4C,点、D,E在边8c上，且CE=4,

BD=6,连接/。，AE，若/D4E=45。,求QE的长：

小明是这样想的：如图2,把绕点A顺时针旋转90。，点。与点8重合，得到△,钻尸.连接。尸，

则可以得到直角三角形8。尸，利用勾股定理可以求出DF的长，又易证,从而求。E的

长；

小亮是这样想的：如图3,把△月3。和△4CE分别沿和月E所在直线折叠，得到△/即和

从而得到直角三角形0E”，利用勾股定理可以求出。七的长：

根据小明或小亮的做法，可以求得。£=：

【拓展延伸】

(2)如图4,在等边出48C中，点。，E在边BCE且BD=CE=3,连接力。，AE,若NDAE=30。,

求出48c的边长；

【解决问题】

(3)在某公园的水平空地上,四条道路围成四边形4Ao,已知C£)=C4=100米,ZD=60°.

ZJ5C=120°,ZBCD=150°.道路40,48上有两个景点，分别记作M,N(如图5所示)，测得

0M=100米，3N=(50JJ-50)米.若在M,N之间修一条直路，请直接写出走路线A/—N比走路

线M-A-N少走多少米？

【答案】⑴2汨；(2)6+38：⑶(200+100@m

【解析】

【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等:

(1)小明的做法，根据题忖所给的思路进行求解即可；小亮的做法，根据题目所给的思路进行求解即可；

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(2)证EAF沿£*O(SAS),得七尸二。石，过点尸作尸GJ_8C,交8c的延长线于点G,然后由含30°

角的直角三角形的性质得CG=-,则EG=EC+CG==，FG=—，利用勾股定理求出反，即可

222

解决问题；

(3)延长。C,AB交于H,证明NH=90。，解Rt"8。得到C"=5()Gm,BH=50m，则

04=(100+50百)m,再解Rt力Q”得到4)=(200+100石)》47=(1005+150m),则

/1M=JZ)-Z)M=(100x/3+100)m,AN=4H-BN-BH=(150+5。5);过点M作MG_L4H于

G,求出NZ=90。-NQ=30。，则4G=・cos4=(150+5()6)m,可得4G=4N,求出

MN=MG=AM.sin4=(50+50⑹m,则AM+AN-W=(200+10()G)m即走路线A/-N比走

路线M-4-N少走(200+1004)m.

【详解】解：(1)小明的做法：・・・45=4C,NB4C=90。,

・•・/B=N4CB=45。；

•••△4C£绕点/逆时针旋转90。，得到△43,

:・CE=BF=