函数的零点与方程的解（讲义）学生版 -2027届高三数学一轮复习

2.9函数的零点与方程的解

课标要求考情分析

◎考点考法：高考命题常以基本初等函

1.结合学过的函数图象，了解函数零数及其图象为载体，考查函数零点是否

点与方程解的关系.存在、存在的区间及个数，利用零点的

2.理解函数零点存在定理，并能简单存在情况求参数是高考热点，常以选择

应用.题或填空题的形式出现.

3.了解二分法求方程的近似解.◎核心素养：数学抽象、逻辑推理、直

观想象.

夯息固本主干知识整合'自主范•实

I体系构建I

函

数

的

零

函

点

数

的

零

点

与对于在区间［"」，］上图象连续不断11/(〃"⑹的函数B(x).通过不断地把它的零点

方

程所在区间一分为二,使所存区间的两个端点逐步逼近零点.进而得到零点近似值的

的定义方法叫做二分法

解―:---0---------------------------------------------------------------------------

⑴确定零点xM初始区间［",b］.验证<㈤•用)<o；

求函数零(2)求区间(*6)的4点c;定区间.找中点.

I点近似值(3)计算〃<•),并进一步确定零点所在的区间：中值计算两边看;

记

的步骤①益的此时MK).则r就是函数的零点；问号去,异号算.

②若/⑷•危)<0(此时(«.c)),则令6H;零点落在异号间;

ik

③若/(「)•/⑹《)(此时(c./>)),则令"h.周而加始怎么办"

(4)刊断是否达到精确度£：若1“-加<£.则得到零点近似值梢确度上来判断

“(或力；否则就复步骤(2)~(4)

牖恻结论］一

1.若连续不断的函数K6在定义域上是单调函数，则7U)至多有一个零点.

2.若y=y&)在闭区间［〃，句上的图象连续不断，且有贝a)/(b)V0,则函数y=/U),定有

零点.

3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点.

B獭自如一

1.下列函数图象与A轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()

ABCD

2

2.函数的零点所在区间是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,e)D.(e,3)

f+x—2,xWO,

3.函数yu)=,的零点个数为()

-1+lnx,,v>0

A.3B.2

C.7D.0

4.已知函数)，=/U)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表:

X123456

y124.433-7424.5-36.7-123.6

则函数y=yu)在区间［1,6］上的零点至少有个.

5.若函数人丫)=2加一工一1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是.

去优叱核心考点突破4米能培优

考点一函数零点所在区间的判定基础考点自练自悟

1.函数7U)=10g3x+x—2的零点所在的区间为()

A.(0,I)B.(I,2)

C.(2,3)D.(3,4)

2.(多选)函数4r)=e*—x—2在下列哪个区间内必有零点()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

3.已知函数人工)=10&亦+1一伙a>0,且aHl).当2VaV3V》V4时，函数人处的零点

的£(〃，〃+1),HGN+>则〃=.

练

函数零点所在区间的判断方法及适用情形

⑴定理法：利用函数零点存在定理进行判断.适用于容易判断区间端点值所对应函数

值的正负的情形.

(2)图象法：画出函数图象，通过观察图象与.r轴在给定区间上是否有交点来判断.适

用于容易画出函数图象的情形.

考点二函数零点个数的判定重难考点师生共研

W—1,xWO

例修(1)函数4r)={「二、’八的零点个数为()

3一2十Inx,x>0

A.5B.4

C.3D.2

(2)已知函数yu)是定义在R上的偶函数，且yu-2)=/u),当owxwi时，./u)=x,设

函数g(.x)=fix)—\og7lx\,则函数g(.r)的零点个数为()

A.6B.8

C.12D.14

导I学

函数零点个数的判断方法

(1)直接求零点：令{0=0,有几个解就有几个零点.

(2)零点存在定理：首先确定函数人幻在区间必，句上是连续不断的曲线，且(份VO,

再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.

(3)利用图象交点个数：作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.

F对点训练

i.函数yu)=3斗(唱人一1的零点个数为()

A.0B.1

C.2D.3

2.函数J(x)=:36—Pcosx的零点个数为.

考点三函数零点的应用多维探究发散思维

角度I根据零点的个数求参数

已知A£R，函数凡。=2:二'，当2=2时，不等式凡r)<0的解集是

x2—4x+3,x<z.

，若函数八r)恰有2个零点，则7的取值范围是.

角度2根据函数的零点范围求参数

已知函数次幻=1。82。+1)—《+〃?在区间(1，3］上有零点，则实数〃?的取值范围

为()

A.(-/0)

B.(-8,一孤(0,+8)

C.(—8,—|U(0,+00)

5

-

D.3

导学

利用函数零点求参数(范围)的方法

数形结先对解柠式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图

I合法

象，然后数形结合求解

F对点训练

1.函数人工)=2'+%—5的零点1,〃)，a£N*,则a=()

A.IR.2

C.3D.4

X2+2X,XWO,

2.己知函数yu)=《、若曲线y=/U)与直线y=如恰有2个公共点,

lln(l-x),0<x<i

则实数。的取值范围是

课时作业知能达标训练'？固梃生

A级基础过关

1.对于函数7U),若一一1求3)VO,则()

A.方程”r)=()一定有实数解

B.方程«r)=O一定无实数解

C.方程./U)=0一定有两实根

D.方程«v)=0可能无实数解

2.设函数的零点为功,则刈所在的区间是()

A.(-4,-2)B.(-2,-1)

C.(1,2)D.(2,4)

3.己知函数/(x)=k氏一2I+F与g(x)=4x,则两函数图象所有交点的横坐标之和为

()

A.0B.2

C.3D.4

4.已知e是自然对数的底数，关于x的方程eM2l=)有两个不同的解即，足3〈也)，则

()

A.A|<1>X2>3B.Xl>1>X2<3

C.xi>1,X2>3D.XIVI,X2<3

10g2(X—1),x>2,

5.(多选)设函数则以下结论正确的是()

2V—3,xW2,

A.人幻为R上的增函数

B.7U)有唯一零点xo，且l<roV2

C.若式加)=5,则m=33

D.人丫)的值域为R

x+a,xWa,

6.已知a>0,若函数yu)=有两个不同的零点，则a的取值范围为

InXi2,

7.若函数/(幻=^+戊2+云+。是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的

函数：Av)=.

8.已知函数./U)=/+&+c的两个零点为2,3.若函数g(x)=/(x)+〃氏的两个零点分别

在区间(1,2),(2,4)内，则实数〃?的取值范围为.

B级能力提升

9.定义在R上的奇函数7U)满足,信+1)=/2，则,")在［-3,3］上的零点个数至少为

()

A.6B.7

C.12D.13

\y［x-t,x20,

10.已知函数人¥)=1若7U)有两个零点为，X2(X|>X2)>则为一X2

I2(x+1)—x<0,

的最小值是()

A.1B.2

-3、15

C,4D.讳

11.已知x>0,函数兀i)=2，+x—5,g(x)=『+x—4,/?(x)=log2x+x—3的零点分别为

b,c,贝")

A.a<b<cB.a<c<h

C.b<a<cD.b<c<a

12.定义在R上的函数段)满足«—幻+兀0=0,犬一%)=用:+2),且当x£［0,1］时，段)

=/一9十x,则方程句。)一x+2=0所有的根之和为()

A.6B.12