2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷02【天津专用测试范围：人教A版必修第二册第6~8章】（全解全析）

高一数学下学期期中模拟卷02（天津专用）

全解全析

（考试时间：100分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题尺一并交回。

4.测试范围：人教A版必修第二册第六章〜第八章。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知向量2二（3,2）,6=（-6,x）,若之/区，则实数x=（）

A.-9B.-4C.4D.9

【答案】B

【详解】由题设及。/B，则9=5,可得、=-4.

2.如图所示，力中，刀-元+丽等于（）

A.BCB.DAC.CBD.丽

【答案】C

【详解】从题图上可看出而=团，

/.AB-BC+CD=AB-Ab+Cb=bB+CD=CD-¥bB=CB,^DB+CD=CB.

故选：C.

3.如图，的斜二测直观图是，其中O'H=OB'=2夜,/4'O》'=9（y,则△力50

试卷第1页，共14页

的面积是（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】D

【详解】过B‘作B'C'UOW交y轴于点C,可得/B'C'O'=45°,

因为/"。3'=90,所以△O‘8'C'为等腰直角三角形，所以0夕'=。'。'=2五，

根据斜二测画法，可得△048,如图所示，则。1=28，。。=4五，

4.已知三个不同的平面。，P，7和三条不同的直线〃?，〃，/,下列命题中为假命题的是

()

A.若mHn,tnLa则〃_La

B.若〃1〃〃，mlla,则〃//a

C.若an〃=”？，〃ua,IuB,〃/〃，则〃J/〃/〃

D.若a//fl,则£•!•7

【答案】B

【详解】因为“?〃“，加la,所以〃_La,A正确；

若〃“/〃，〃?〃（/,贝!J〃//a或“ua,B不正确；

因为〃/〃，n<Z0,Iu0,所以〃//,

因为afl〃=力，〃ua,〃//4，根据线而平行的性质定理，所以〃//机，又〃/〃，所以

〃//〃///,C正确;

因为aly,a///?,所以尸ly,D正确.

故选：B

试卷第2页，共14页

5.在△/NC中，内角4,B,。的对边分别为“，b,%若力=3,c=2,cosJ=1,则

边。二（）

A.5B.V7C.4D.3

【答案】D

［详解］,••6=3,c=2,cos4=；,

/.a2=b2+c2-2bccosA=9+4-2x3x2x—=9,

3

,/a>0,:.a=3.

故选：D.

6.图1是薄泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正

四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4,体积之比

为3:1,且该儿何体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（）

图1图2

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【详解】因为正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3:1,

所以正四棱柱和正四棱锥的高相等，设为人如图,

则OB=OD\=OP=R,

则其外接球的半径为R）病后百［而G==

试卷第3页，共14页

解得h=2,所以火=3.

7.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.阳马

P-ABCD^,若平面48。力，RPD=CD=2AD=2,则异面直线尸。与8。所成角

「而D,巫

55

【答案】C

【详解】由题意,将尸-18CO补全为如下图所示的长方体，口PEUBD,

所以异面直线PC与8。所成角，即为尸CPE所成角乙。尸£,

所以cosNCPE=PC-”E--CE-8+5-5_V10

2PCPE2x25/2x65

所以异面直线PC与BD所成角的余弦值为巫.

5

故选：C

8.已知圆锥的底面半径为2,高为4拒.点M是该圆锥某条母线的中点，若一质点从点M

出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点例，则该质点运动的最短路径长为（）

A.兀B.27rC.3百D.6

【答案】C

【详解】由题意得圆锥的母线长/="4后『+22=6,即侧面展开图扇形的半径为6,

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因为底面半径为2,则底面周长为以，即侧面展开图扇形的弧长为4兀，

则扇形圆心角的弧度|回="=勺，母线上的点展开后为扇形上的

63

则|M%|为该质点运动的最短路径，10Ml=|OM」=；x6=3,

解得3G.

9.为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个

半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上

沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（）

A,2(5+3、B.%5+3扬兀加c2(5+3石)7icn?D.

3

8(5+3拘兀

【答案】B

【详解】分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示:

A0

正视图俯视图

正视图中小球球心3,半球球心。与切点力构成直角三角形，则有。4?+川展=。?2,

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俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形，

正方形的中心到球心的距离0人］与正视图中的04相等，

设半球半径为R,已知小球半径厂=1,

所以N=立，4B=1,08=6，〃=08+/・=6+1.

所以半球面形状的容器的容积是口=13内=1±"百十仆'=4（5+3百）%

23231）3

故选：B

1（）.如图,边长为2的等边M4C的外接圆为圆。，点。为圆。上任意一点，若而=》而+），工,

则2x+2y的最大值为（）

33

【答案】A

【洋解】作耳。的平行线与圆O相交于点尸，与直线相交于点E,与直线4C相交千点

F,

等边三角形边长为2,则外接圆半径为R=2X正乂2=述,

323

ApAF

由BC//EF,可设々=曰=k,

ABAC

当所过点4且与圆。相切时，左取最小值0,

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当8C与跖在点。的同侧，且E/与圆。相切于点尸时，々取最大值,

473

8

此时生叵，

AP=2R=AE=AF=?则R取最大值3=3,

3sin60°yJ3_32~3

4

所以丘0,-,

AE-kAB,AF=kAC,AP-AAE+pAF-AkAB+pkAC:

X=+,则x=/Uj=〃k,得x+y=%(%+〃)=左，

QQ

所以2x+2y=2〃《],则2x+2y的最大值为

JJ

故选：A.

第二部分(非选择题共80分)

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分

11.若复数z=咨，则忖二___________.

1—1

【答案】后

3-5i(3-5i)(l+i)8-2i

【详解】由题可得2：；=F-=4T,

l-i(1-1)(!+1)2

所以|z|=+(-1)'=JFT.

12.已知△彳8C的内角48,。的对边分别为。也c,若。=正，b=瓜,N8=60。，则

ZC=.

【答案】7

6

【详解】由C0S4=^^=^^=:，得/_缶_4=0,解得4=2五或4=

2ac272a2

(舍去).

2

所以cosC=/+'-。=3,又因为NCe(0,兀)，所以NC=g.

lab26

故答案为：7-

6

13.万=(L-2)3=(1〃),日与5的夹角为锐角，/的取值范围为.

【答案】(-—2)[-2,；

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【详解】若向量4与石的夹角为锐角，

则小B>0且向量值与B不平行，

a=1-22>0>得见<一,

2

当向量不与方平行时，A=-2,

所以:的取值范围为（-8,-2）^12,£）.

故答案为：（f，一2）u卜2,；）

14.如图，矩形4?。力中，48=4,BC=2,。为力8的中点.当点尸在4c边上时，ABOP

的值为;当点P沿着BC,CO与D4边运动时，万•丽的取值范围为.

第一空：以力为坐标原点建立直角坐标系，则力（0,0）*（4,0）,。（4,2）,。（0,2）,。（2,（））,

当点P沿着〃。边运动时，设「（4』）140,2],故而.而=（4,0）（2,/）=8；

第二个空：当点尸沿着8c边运动时，设「（4"）"«0,2],君.丽=（4,0）（2"）=8；

当点"沿着C。边运动时,设P（s,2）.se[0.4],布.丽=（4,0）・（s-2,2）=4s-8,因为

s£[0,4],/.4s-8e[-8,8j•

当点尸沿着。力边运动时,设尸（0j）,y«0,2],荏访=（4,0）.（-2M=-8；

综上：赤.赤的取值范围为[-8,8].

故答案为:8；[-8,8]

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15.如图，梯形力4CQ,AB//CD且4B=5,AD=2DC=4,元.瓦5=0，则乙％。=

【详解】在梯形力8CQ中，4B//CD旦AB=5,AD=2DC=4,则觉=2荔，

5

————_■_­o————

于是万/万=(加+觉)(而_石)=(而+不荔)(粉_而)

=而代宿_|布.利阿_|网~网园3s44)

1TT

=6-12cos/.BAD=0,则cosN84O=；,又/8力。e(0,兀)，所以/84。=—：

~3

而，而正方向为XJ粕建立平面直角坐标系，如图,

则A(-2,0),8(3,0),力(0,2两,以2,2®BC=(-1,2两，

令阮=2航=(4,2&)、QWA£\,则以(3—42力/1),

方=(5-42仞)，读=(3-4,20-2扬,

因此万•瓦=(5—幻(3—2)+26/1(2>/11—2百)=13储一20/1+15,

所以当2=时,万•瓦取得最小值,最小值为意.

n95

故答案为：p77

DJLJ

三、解答题：本题共5小题，共6()分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16.设ZwR,已知不，司是平面内两个不共线的向量，荔=耳+&，诙=3耳+&,沅=-2召+於2,

且力，E,。三点共线.

⑴求4的值：

试卷第9页，共14页

（2）若召=。,1），&=（。,1）,

①求向量7月与沅的夹角的余弦值；

②已知点。的坐标为（3,4）,若四边形为平行四边形.求点力的坐标.

【答案】=

⑵①噜；②［（2,3）

【详解】（1）由己知得族=方+而=宿+2耳,

42

因为4瓦。三点共线,所以2=彳BP2=—1.

一，Z

（2）由已知得而二。,2）,而=砺+及=1=（1,1）,

AB-JC=3=3V10

①cos4用BC=|福.瓯「7T&nTT；

②由平行四边形得布=前，又赤=（3-X/,4-心）,

l=3fx.=2/、

所以I/，解得Q，即4(2,3〉

1=4-心旧=3

17.在△48C中，角力、8、C的对边分别为。、b、c,己知3(〃-c)2=3//-2ac.

⑴求cos8的值；

(2)若5sin4=3sin4,求

(i)sinA的值；

(ii)cos(2"8)的值.

2

【答案】⑴]

⑵(i)更；(ii)”总

515

【详解】(I)由3(a-C)2=3〃-2",得/+C?=3",

3

4

由余弦定理得/+C?_铲c_2

laclac3

2

(2)(i)由(1)得cos8=§,且8G(0,2,

所以sin4=Vi-cos2B=—,

3

试卷第10页，共14页

因为5sin力=3sin8,所以sin/=3x@=走；

535

(ii)由⑴得sin4=正，所以cos2/=l—2sii?X=',

55

因为cos8=g＞。，所以,

由正弦定理可得：=吗=]＜1,可得。＜方，故力＜8,

bsinB5

因6w(0,],则2Ae(0,K),故sin2j=Jl-cos'2力=[,

所以cos(2/l+4)=cos2Jcos^-sin2Jsin5=-x---x—=~~~.

535315

18.在MBC中,内角48,C的对边分别为。也c,且c=2b,2sinJ=3sin2C.

(1)求工的值;

b

(2)求sinC的值;

(3)求cos(2C-力)的值.

【答案】⑴羊

⑵当

呜

【详解】(1)因为2sin4=3sin2C,所以sin4=3sinCcosC,所以a=3ccosC,所以

lab

又因为c=26,所以。=32、忙乜工竺1,化简可得2/=9//,所以@=述

2abh2

(2)|il7jcosC=—=—=1x^=2^,

且Ce(O,兀)，

3。32b624

V14

所以sinC=vl-cos2C-

4

(3)因为cosC=t，sinC=

丁，

I71

所以sin2C=2sinCcosC=2xx—=,cos2C=cos2C-sin2C=------=——

444884

,g9b?

b-2+4/r------

又因为cos彳=金』1,KsinA=—sin2C=

_________2_=.

2bc2b-2b:828

所以cos(2C_4)=cos2Ccos力+sin2Csin/4=--x-+—x^^=—

V7484816

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19.如图，在四棱锥P-.45co中，底面49CO为平行四边形，^ADC=45\AD=AC=\,

。为4C中点，PO1平面.48。。，夕。=2,M为PQ中点.

(1)证明：尸8〃平面力CM；

(2)求四棱锥尸-48CQ的体积.

【答案】(1)讦明见解析

【详解】(1)如图所示，连接

因为。。为平行四边形，。是4C中点，

所以IC,BD是平行四边形ABCD的对角线，所以。是8。中点，

又因为M是尸。中点，所以M0是△Q8P中位线，所以M0〃28,

因为"0u平面ACM,PB<Z平面MAC,所以P8〃平面ACM；

1i2

⑵VP-ABCD=^^=^X0xI)X2=y.

20.已知长方体力8。。一48£。|中，/iB=BC=4,4%=3.

试卷第12页，共14