第5章 特殊平行四边形 单元演练卷-2025-2026学年浙教版八年级数学下册

第5章特殊平行四边形单元演练卷

（时间：90分钟满分：100分）

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.b列命题是假命题的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分

B.矩形的对角线互相垂直

C.菱形的对角线互相垂直平分

D.正方形的对角线互相垂直平分且相等

2.如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H,两条对角线AC与BD互相垂直，则四

边形EFGH一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形

3.如图，矩形ABCD中，AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点，MPJ_CD于点P,MQ1BC

于点Q，则PQ的最小值是（）

A.12B.324D

2

4.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45。后，得到正方形ABCD，，边BC与

DC交于点O,则NDOB，的度数为（）

c

A.125°B.130°C.135°D.140°

5.如图，正比例函数y=kx（k*0）的图象与矩形dBCD有公共点，AB=1,BC=2,BCIx轴,

且点A的坐标为（1.2），则k的值可能是（）

6.如图，两张对边平行旦等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成的四边形ABCD是（)

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

7.如图：矩形ABCD,AB>AD,AB=4,AN平分/DAB,DMJ_AN于点M,CN1AN于点

C.26D.4

8.如图，在正方形48CD中，E、F、H分别是4tBC、CD的中点，CE、川咬于点G,连接4G

下列结论中，不正确的是（）

AD

B.CELDF

D.△NOG是等边三角形

9.如图，在矩形4BC0中，E、尸分别是边48、上的点，AE=CF,EF与对角线AC交于点O,

FC=6,则48的长为（）

C.4^3D.6

10.如图，在正方形ABCD中，M、N是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一

点，且AB=4,MN=2,设AM二x,在下列关于△PMN是等腰三角形和对应P点个数的说法中，

①当x=0（即M、A两点重合）时，P点有6个；

②当P点有8个时，x=2V2-2；

③当△PMN是等边三角形时，P点有4个；

④当0VxV4&・2时，P点最多有9个.

其中结论正确是（）

A.①②B,①③C.②③D.③④

二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）

II.如图，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,E是CD边上一动点，过点E分别作EF_LOC于

点F,EG_LOD于点G,连接FG,则FG的最小值为.

12.如图，坐标系中四边形ABCO是正方形，D是边OC上一点，E是正方形边上一点.已知B

（一3,3）,D（0,1）,当AD=CE时，点E坐标为.

13.如图，在影△ABC中，LBAC«90S48,6,4c・8,『是斜边上一动点，PE1

点£?「_1人。于点尸，EF与4F相交于点。则OF的最小值为

14.如图，在正方形ABCD口，△川”的顶点E,F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的

边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N,若EG=4,GF=6,BM=3yli，AB=,

MN=

15.杨师傅要做一个长方形的桌面，做好后量得长为2m,宽为1.5m,对角线为2.15m,则这个

桌面.（填“合格”或‘不合格”）.

16.如图，在Rt△/U/C中，4?=3,AC,Z.H4C«90°,BC的中垂线DE与乙BAC

的角平分线AF交于点E，则四边形ABEC的面积为

三、解答题(17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52

分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.如图，C是宜线1上的点，4CJ,，，点B是直线1上的一个动点，且在C点右侧，以48为边

在直线1的上方作OWOE,若4c=3,XE=12,B£+CB=17.

(1)若四边形为矩形时，求CO的长;

(2)若四边形八80£为菱形时，求C8的长.

18.如图，方格纸上每个小正方形的面积为1.

B

⑴在方格纸上，以线段AB为边画正方形ABCD,并计算所画正方形ABCD的面积.

⑵请你在图上分别画出面积为5正方形A.B^iDi和面积为10的正方形A2B2C2D2,正方形的

各个顶点都在方格纸的格点上.

19.如图，菱形48C0的对角线4?、B&ffi交于点O,过点心作OEIMC,且=连接0£交

于点B连接"、CE.

(1)求证：OE«CD^

⑵若菱形必?。的边长为4,UBC=60。，求先

2().如图，在菱形4BC0中，对角线相交于点。过点C作CEI。。，过点。作DE||dC,CE

与0£相交于点E.

(2)若人0=4，LABC=60S求C£的长.

21.如图，，4。是△,，取：的角平分线，。£、DF分别是2.480和二？1CD的高。

(1)求证：40垂直平分EF.

(2)若AB^AC*10,S^ABC«15,z£4「,60,求AO的长。

22.如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目48段和8c段均由不

锈钢管材打造，总长度为26米，矩形AOCC和矩形。EF四为木质平台的横截面，点G在,48上,

点C在GF上，点D在dE上，经过现场测量得知C。=1米，AD二15米.

（1）求立柱的长度：

（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索经测量米，请你求出

要焊接的钢索OF的长.

23.在平面直角坐标系xoy中，对于点P（X1.y1），给出如F定义：当点。（不丫2）满足勺寺=

时，称点Q是点P的等积点.已知点p（12）.

y-

5-5-

-•尸-•P

[1]11]》]11]11]»

O.5X-5O.5X

-4­

备用图

（1）在Q］（2.1）,Q2（-4.-1）,（?3（8.2）中，点P的等积点是.

（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O,P,Q,C为顶点的四边形是平行四边形,

求点C的坐标.

（3）已知点8（1,；）和点M（5,m），点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平

行的正方形T上的任意一点，对于线段8内上的每一点A,在线段上都存在一个点R使

得A为R的等积点，直接写出m的取值范围.

答案

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.下列命题是假命题的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分

B.矩形的对角线互相垂直

C.菱形的对角线互相垂直平分

D.正方形的对角线互相垂直平分且相等

【答案】B

【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，不符合；

B、应该是矩形的对角线相等且互相平分，符合；

C、菱形的对角线互相垂直旦平分，不符合；

D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，不符合；

故答案为：B.

【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质解题即可.

2.如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H,两条对角线AC与BD互相垂直，则四

边形EFGH一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形

【答案】A

【解析】【解答】解：设AC交BD于点O,EF交BD于点M,

•・・E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

，EF〃AC且EF*C,GH//AC且GH少C,EH〃BD且EH=：BD,GF〃BD且GFqBD,

，EF〃GH,EH〃GF,

・•・四边形EFGH是平行四边形，

VAC1BD,

JZFEH=ZFPD=ZCQD=90°,

・•・四边形EFGH是矩形，

故答案为：A.

【分析】根据三角形中位线定理可得EF〃AC且EF^AC,GH〃AC且GH=^AC,EH〃BD且

EH=：BD,GF〃BD且GF=^BD,进而得出四边形EFGH是平行四边形，再结合AC与BD互相

垂直即可得出结论.

3.如图，矩形ABCD中，AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点，MPJ_CD于点P,MQ1BC

于点Q，则PQ的最小值是（）

B

A.12B.324D.5

TT2

【答案】A

【解析】【解答】解：如图，连接CM,

•・・MPJ_CD于点P,MQ_LBC于点Q,

・•・ZCPM=ZCQM=90°,

•・•四边形ABCD是矩形，

ABC=AD=3.CD=AB=4,ZBCD=90°,

・•・四边形PCQM是矩形，

APQ=CM,

由勾股定理得：BD==+5.,32.42=5,

当CM_LBD时，CM最小，则PQ最小,

BC-CD,

.CD3x4-12

•CM-P7r=-r-v

・・・PQ的最小值为号,

故答案为：A.

【分析】如图，连接CM,结合已知根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形PCQM是矩

形，由矩形的性质可得PQ=CM,在直角三角形BCD中，用勾股定理可求得BD的值，根据垂线

段最短可得：当CM_LBD时，CM最小，则PQ最小，在直角三角形BCD中，用面积法可求得

CM的值，即为PQ的最小值.

4.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45。后，得到正方形ABCTT,边BC，与

DC交于点O,则NDOB，的度数为（）

A.125°B.130°C.135°D.140°

【答案】C

【解析】【解答】解：连接&C,如图所示,

•・•四边形ABCD是正方形，

AC平分/BAD,

•・•旋转角NBAB，=45。，ZBAC=45°,

・・・B在对角线AC上，

AZB'CO=45°,

由旋转的性质得:乙ABC=ZB=90%AB,=AB=h

・"OC=45，

:,乙DOB=180-45'=1354

故答案为：C.

【分析】连接BC由正方形的性质及旋转的性质可得NBCO=45。，利用

三角形内角和求出乙B'OCr45。，由平角的定义即可求出NDOB，的度数.

5.如图，正比例函数y二kx\k*0）的图象与矩形48C0有公共点，dB=1,BC=2,BCIx轴,

且点A的坐标为（12），则k的值可能是（)

【答案】D

【解析】【解答】解：•・,点/I的坐标为(1.2)，AB>bBC|x轴

--C(3.1),

把点/i的坐标代入卜二k乂得k二二，

把点C的坐标代入y=k*得〃=$

正比例函数'二kx(k丰0)的图象与矩形-SCO有公共点，则:9k<2，

故答案为：D

【分析】先根据题意得到点C的坐标，再根据待定系数法求出函数k的值，进而结合题意即可求

解。

6.如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是()

A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】B

【解析】【解答】解：由图可知，过A点作AE_L8C于E,AFLCO于R

•・•两条纸条宽度相等,

,\AE=AF.

'：AB//CD,AD〃BC,

・•・四边形ABC。是平行四边形.

「SABCI产BOAE=CD・AF.

又・.・AE=A凡

：・BC=CD,

・•・四边形ABC。为菱形.

故答案为:B.

【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同，再由平行四边形性质可得邻

边相等，则重叠部分为菱形。

7.如图：矩形ABCD,AB>AD,AB=4,AN平分NDAB,DMJ_AN于点M,CN_LAN于点

N.则DM+CN的值为（）

【答案】B

【解析】【解答】解：如图，•・•四边形ABCD是矩形,

.*.AB=CD=4,ZDAB=ZADC=90°,

TAN平分NDAB,DM1AN,CN±AN,

・•・ZADM=ZMDC=ZMED=ZNEC=ZNCD=45°,

AMD=ME,NE=NC,

222

-DE=v+ME=v'ZDM，CE=>/CN+EN=41CH，

VDE+CE=CD=4,

***\2DM+\~2CN=4，

ADM+CN=2、2.

故答案为：B.

【分析】根据“AN平分/DAB,DMIAN干点M,CNIAN于点N.”得到/ADM=/MDC=

NMED=/NEC=NNCD=45。，再利用三角函数求出DE和CN的长度，最后相加即可。

8.如图，在正方形4BCD中，E、F、H分别是A&BC、CD的中点，CE>OF交于点G,连接4G

下列结论中，不正确的是（）

A.CE=DFB.CELDF

C.GH=\ADD.△A0G是等边三角形

【答案】D

【解析】【解答】解：A、•・•四边形<8。是正方形，

••AB=BC=CD=ADi=LDCF>

VE,F是中点,

U，

•BCESACDF(SAS)，

ACE二OF,乙BCE二ACDF,

故力不符合题意，A错误；

B、：LBCE+LDCG=90^

:•乙DCG+乙CDF=90%

，ZDGC=90%

:・CE1OF,

故H不符合题意，B错误；

C、TH是中点，

・・・G〃=；CD=；d0，

故c不符合题意，c错误；

D、:△CGD是直角三角形，

:・DG*CD,即。GwdO,

•••△40C不是等边三角形，

故。符合题意，D正确.

故答案为：［｝

【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的

判定.先根据正方形的性质可推出48CD■ND,乙B■皿F,利用全等三角形的判定

定理可得：4BCE三4CDF,利用全等三角形的性质可得：CE=Dh乙BCE,bDF,据此可

判断A选项；根据MCE+乙。CG=90。，利用等量代换可得：zDCG+ZTOF,90S进而可推

出CEL0F,据此可判断B选项；利用中点的定义可推出：G〃=；G)=；4/)，据此可判断C选

项；根据3仪；。是直角二角形，利用直角二角形的性质可得：DG*CD,进而可推出"GH4",

利用等边三角形的定义可得：△AOG不是等边三角形，据此可判断D选项;

9.如图，在矩形dBCO中，E、尸分别是边dB、CO上的点，AE=CF,EF与对角线4C交于点O,

且rfiEF«2^BACFC=J5，则48的长为()

A.2^3B,3^3C.4GD.6

【答案】B

【解析】【解答】解：连接0B,如图,

•・•四边形ABCD为矩形，

AB/7CD,

・•・ZEAO-ZFCO,

•・•ZAOE=ZCOF,AE=CF,

J△AOE^ACOF(AAS),

.・.EO=FO,

,:BE=BF,

・•・NEBONFBO,ZBOF=90°,

•・•ZBEF=2ZBAC,ZBEF=ZBAC+ZAOE,

ZBAC=ZAOE,

:.AE=EO,

・•・OF=FC,

・•・RtABOF^RtABCF(HL),

:.NFBO=NCBF,

■:/卜BO+NCB卜+NEBO=90U,

・•・ZEBO=30°,

:.2E0=BE,SP2AE=2FC=BE=2\/3,

AB=AE+BE=3\，.

故答案为：B.

【分析】根据平行四边形的性质可得AB〃CD,根据AAS判定△AOE且△COF推出EO=FO,

根据等腰三角形的性质可得NBOF=90。，ZEBO=ZFBO,依据外角的性质可推出NBAC=NAOE

得至ljOF=FC,根据HL判定RsBOFgRSBCF推出ZEBO=30°,计算出BE=2FC,即可求得.

10.如图，在正方形ABCD中，M、N是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一

点，旦AB=4,MN=2,设AM=x,在下列关于△PMN是等腰三角形和对应P点个数的说法中，

①当x=0（即M、A两点重合）时，P点有6个；

②当P点有8个时，x=242-2；

③当△PMN是等边三角形时，P点有4个;

④当0VxV4日-2时，P点最多有9个.

其中结论正确是（)

B.①③C.②③D.③④

【答案】B

【解析】【解答】①如图，当x=0（即M、A两点重合）时，P点有6个；故符合题意;

②如图，当P点有8个时，0<x<4-2,故不符合题意;

有两个P点关于BD对称的位置，共有4个：故符合题意;

④当0<x<4、，2-2时，P点最多有8个.故不符合题意.

故答案为：B.

【分析】利用图象法即可解决问题；

二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）

II.如图，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,E是CD边.上一动点，过点E分别作EF_LOC于

点F,EG_LOD于点G,连接FG,则FG的最小值为.

D

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是菱形

AAC1BD,AD=CD,

•・・EF_LOC于点F,EG_LOD于点G,

，四边形OGEF是矩形，

连接0E,则OE=GF,

当OE_LDC时，GF的值最小，

VBD=6,AC=8,

A0D=3,0C=4,

•'•CD=^oc24.OD2=5，

•・$“OD=；8-OD=；CDOF,

.“OCOD4X3li

・°E=Fr="r=M'

・・・FG的最小值为¥，

故答案为:

T•

【分析】由菱形的性质可得AC_LBD,AD=CD,可证四边形OGEF是矩形，连接OE,贝UOE=GF,

当OE_LDC时，，OE的值最小，即GF的值最小，山勾股定理求出CD=5,再利用△COD的面积

求出0E的长，从而得解.

12.如图，坐标系中四边形ABCO是正方形，D是边OC上一点，E是正方形边上一点.已知B

(-3,3),D(0,1),当AD=CE时，点E坐标为.

【答案】(-3,2)或(-1,0)

【解析】【解答】解：①当点E在正方形的边AB上时,

VAD=CE,如图，

二点E是正方形AB边上一点,

•・•四边形ABCO是正方形，

：.0A・BC,ZAOD=ZB=90°,

在RtAADO和CEB中，

(AD=CE

lOA=RC

ARtAADOaRSCEB(HL),

ABE=OD,

VB(-3,3),D(0,1),

・••点E的坐标为(・3,2).

②当点E在正方形的边OA上时,

y

AuE0|x

同理可证：RtAAOD=RtACOE(HL),

.*.OD=OE,

・••点E的坐标为(-1,0).

故答案为：(-3,2)或(-1,0).

【分析】分点E在在正方形的边AB上或在正方形的边OA上两种情况，根据正方形性质及

AD=CE,利用“HL”证得RtAADO三RtACEB或RtAAOD=RtACOE,从而推出BE=OD或

OD二OE,即可求得点E的坐标.

13.如图，在砧△ABC中，LBAC«90S48,6,P是斜边UC上一动点，PE1

点£?卜工/^于点尸，EF与4P相交于点。则OF的最小值为

【答案】2.4

【解析】【解答】解：•・・P£«LAS，PF1AG

：.^PEA=LPFA=90S

・90S

.•.四边形dEPF是矩形,

：.EF«AP,OE=OF=；EF，

・••当U最小时,£F最小，OF最小，即当时,

-AB=AC=8，

：-BC・10,

**AP=[=4R»

，线段EF的最小值为4.8,

・•・线段OF的最小值为2.4,

故答案为：2.4.

【分析】先证明四边形dEPF是矩形，再利用矩形的对角线相等，可知当AP最小时，EF也最小,

再利用面积法，得到关于AP的方程求解.

14.如图，在正方形ABCD口，△/1££的顶点E,F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的

边K相等，连BD分别交AE、AF于点M、N,若EG=4,GF=6,BM=3/，AD=,

MN=

【答案】12；5a

在Rt^ABE和Rt△AGE中,

AB=AG

AE=AE

：.Rt^ABE2/reAAGE(HL)，

同理Rt△ADF2/?r△AGF，

•'•BE=EG=4»FD=FC=6»

=4+6二10,

设AB则CE・x-4,CF®x-6»

在次中，CE?+CF?=E产，即("-4)2+“-6)2=1()2,

解得X]=12*x?=-2(舍去)，

­­AB•12，

••BD=12V2，

•；Rt^ABE3Rt,

/.Z.BAM=Z.GAM，

在△48M和中，

ABsAG

LHAM=LGAM，

AM=AM

•••△ABMSAAGM(SAS)，

­•BM=GM=3^2，ZJ18M=£AGM，

同理AADN三△4GN,

:.ND>NG，UDN■2GV，

•."BA?+MDN=90*,

：-LAGM+LAGN-90」，

：4MGN是直角三角形，

设MN=y，贝iJGN=ON=12>/2-34-y=9近一j，

*-MG)+NC2=MN?，

.•・（3、2）’+（队2-），）2=/，

解得y=5V2»

••MN=5日•

故答案为：12,5、笈.

【分析】连接MG、NG,由题意用HL定理可证RIAABEgRMAGE,RsADF/RsAGE,

由全等三角形的性质可得BE=EG,FD=FG,ZBAM=ZGAM,结合线段的构成得EF=EG+GF

可求得EF的值；设AB=x,则CE=x-4,CF=x-6,在RtACEF中，用勾股定理可得关于x的方

程,解方程可求得x的值（即为AB的值）；于是BD=V12AB=X2X；用边角边可证△ABM空△AGM,

△ADN^AAGN,由全等三曲形的性质可得BM=GM,ZABM=ZAGM,ND=NG,

ZADN=ZAGN,结合已知易证△MGN是直角三角形，设MN=y,在直角三角形MGN中，用

勾股定理可得关于y的方程.解方程即可求解.

15.杨师傅要做一个长方形的桌面，做好后量得长为2m,宽为1.5m,对角线为2.15m,则这个

桌面.（填“合格”或“不合格”）.

【答案】不合格

【解析】【解答】解：如图：

・・・2?+1S=6.25*2.152,

即：AD2+DC2HAC2,

・•・ZD工90°,

・•・四边形ABCD不是矩形，

・•・这个桌面不合格.

故答案为：不合格.

【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果不相等，长、宽、对角线

构成的就不是直角三角形，可得此桌面不合格.

16.如图，在Rt^ABC中，48=3,XC«4,Z.BAC«90°,BC的中垂线DE与Z.BAC

的角平分线4''父于点E,则四边形AUEC的面积为

【答案】苧

【解析】【解答】解：过点E作EG_LAB交AB延长线于G,作EH_LAC于H,

TAE是NBAC的角平分线,

AEG=EH,

〈DE是线段BC的垂直平分线,

，EB=EC,

在RtAEGB和RtAEHC中,EH

EC

ARIAEGB^RtAEHC(HL),

BG=CH,SAEGB=SAEHC,

在RtAAGE和RtAAHE中，｛案：*

ARtAAGE^RtAAHE(HL),

AAG=AH,

.\AB+BG=AC-CH,

・・・3+BG=4-BG,

ABG=3,

7

・・・AG=AB+BG=2

,/ZGAC=ZAGE=NAHE=90。,

・•・四边形AGEH是矩形，

VAG=AH,

・•・矩形AGEH是正方形,

49

・'・S四电形ABEC=S四边形ABEH+SA三HC=S四边彩ABEH+SAEGB=S正方形AGEH=AG?=

T

故答案为：芋

【分析】过点E作EG_LAB交AB延长线于G,作EH_LAC于H,根据角平分线的性质和线段

垂直平分线的性质得到EG=EH,EB=EC,然后证明RtAEGB^RtAEHC,RtAAGE^RtAAHE,

7

=2

求出SAEGB=SAEHC»BG=2>得到AG然后证明I四边形AGEH是正方形，根据四边形

ABEC的面积等于正方形AGEH的面积计算即可.

三、解答题(17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52

分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.如图，C是直线1上的点，点B是直线1上的一个动点，且在C点右侧，以48为边

在直线1的上方作OA8DE,若4c=3,AE=12,B£+CB=17.

E

(1)若四边形人8。£为矩形时.，求C8的长;

(2)若四边形八为菱形时，求C8的长.

【答案】(1)解：•・•矩形

・・・曲£=90。

设CB・x，贝切£»17-x>

由勾股定埋得：X-+3=（17-x）-12\

解得：x=4,

：.CB=4.

（2）解：,・,菱形4BDE

：-AB二A£

设G?=x,

由勾股定理得:X2+32=122，

解得：JC=3/E（负值舍去），

-*<£?=3\15.

【解析】【分析】（1）设C8a%则"£*17-*,利用勾股定理可得/+32=（17-x）2-12?，

再求出x的值即可；

（2）设C8=X,利用勾股定理可得/+3=12］，再求出x的值即可.

（1）解：•・•矩形

"BAE=90。，

设=17-x,

由勾股定理得：

/+3?=（17-I）?-12'，

解得x=4,

：.CB=4：

（2）解：•・•菱形人80£

*'•AB-4£»

设CO二x,

由勾股定理得:

・・/♦3?=12。

解得：*=（负值舍去），

:心=3V15-

18.如图，方格纸上每个小正方形的面积为1.

⑴在方格纸上，以线段AB为边画正方形ABCD,并计算所画正方形ABCD的面积.

⑵请你在图上分别画出面积为5正方形A.BiCiDi和面积为10的正方形A2B2C2D2,正方形的

各个顶点都在方格纸的格点上.

【答案】解：（1）由网格可得：

AB==275'

则正方形ABCD的面积为（2、弓）'=20，正方形ABCD如图所示：

（2）由面积为5正方形A.B.C.D）和面积为10的正方形A2B2C2D2,可得正方形A.B.GD）的边

长为行，正方形A?B2c2D2的边长为、而，则如图所示

【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB,根据正方形的性质及网格特点画出正方形并求出

其面积即可；

（2）先分别求出正方形A6IGDI的边长为，正方形A2B2c2D2的边长为710,根据正方

形的性质及网格特点分别画出正方形即可.

19.如图，菱形48co的对角线dC、BD相交于点O,过点0作DEII4C,且；4C，连接0£交

C0于点凡连接4F、CE.

⑵若菱形A8C。的边长为4,U8C,6（T,求噌

AE

【答案】（1）解：（1）证明：四边形40CD是菱形，ZDOC=90°

•.04=0C=；4C，

・DE=34。

DE=OC，

DEIIAC

二四边形OC£D是平行四边形,

DE||4CNEDO=ND0090。

・•・四边形"EC是矩形，

:.0E=CD;

（2）连接4逢

••ACJL80，

四边形是矩形,

%CF=DF,

•・,在菱形40CD中，乙，18c=60'，

三角形ACD是的等边三角形

AAC■AB*CD»AD»4

•.AF1CD,

：•AF=ijAC2-CF2=<42-22=2^3

在三角形ACD中，CE=OD=y/ADr-AO^=2^3

在Rt△4（?£中，/£=JAC?♦CE?=J42+（2VS）2=26

AF2y5历

.•灰=订=丁

【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，先证明四边形"£。是平行四边形，再证四边形OC£。是

矩形，从而得到OE=CD

（2）先证三角形ACD是等边三角形，求出AF。同理求巴OD即CE,在直角三角形ACE中利

用勾股定理求出AE。龙问题得到解决。

（I）证明：四边形4BCD是菱形，

04=OC=；4C，AD=CD,

'：DEIMC且。/T=；AG

DE=0A■OC,

四边形0小。£、四边形OCEO都是平行四边形，

OE■AD,

.OE=CD；

(2)解:连接AE.

・•・四边形OCE0是矩形,

.・.CF,DF,

,•在菱形4SCD中，乙18c,60。，

AC=ABsCDAD=4»

•.AF1CD,

•.AF=4AC-CFZ=V4z-22=26

在矩形OC£D中，CE=OD=^AD2-AO2=26，

在山△ACt+=^AC2fCE2=J42+(2可=26

AF275721

'而Ff

20.如图，在菱形AHCO中，对角线AC,8。相交于点。过点。作以I01),过点。作IMG

与。£相交于点£

(2)若40=4,ZJI8C・6O。，求C£的长.

【答案】（1〉证明；VCE//OD,DE〃AC

，四边形OCED是平行四边形，

又•.,四边形ABCD是菱形，

AAC1BD

:.ZCOD=90°

,四边形OCED是矩形.

（2）解：二四边形ABCD是菱形，

AAB=BC=CD=4

•・•ZABC=60°,

・•・△ABC是等边三角形，

AAB=AC=4,

=2，

・••在RtAOCD中，0〃=\4-22=2\

•・•四边形OCED是矩形，

/.CE=OD=2v,3.

【解析】【分析】

本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形判定与性质、等边三角形的判定和性质、勾股定

理等知识，熟知矩形的判定方法及菱形的性质是解题的关键.（1）根据平行四边形的判定定理:

两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知：四边形OCED是平行四边形；再由菱形的性

质：对角线互相垂直可得：AC1BD,即NCOD=90。，最后根据矩形的判定定理：有一个角是直

角的平行四边形是矩形可得：四边形OCED为矩形，即可证得结论；

（2）根据菱形的性质：四条边相等可知：AB=BC=CD=4,再根据等边三角形的判定定理：有一

个角是60。的等腰三角形是等边三角形可得：△ABC是等边三角形；从而得到AC=4,再由菱

形的性质：对角线互相垂直平分可得：OC=；AC=2,再根据勾股定理：在RsOCD中，

0D=、第二¥=26,最后根据矩形的性质：对边相等可知：CE=OD=2V5，由此即可得到答

案.

(1)证明：•:CEROD,DE||AC,

・•・四边形OCE0是平行四边形，

乂,四边形40CD是菱形，

AC±BD,即zT0D,9(T,

.•・四边形OCED是矩形；

(2)解：•,在菱形4BCD中，48=4,

•.AH=8C=CD=4，

又48c・60、，

・•.△ABC是等边三角形，

:.ACa4,

OC=；"=2，

•・OD=6二22=2、月，

.•在矩形OC££中，CE二。。二2Vq.

21.如图，4谒△A8C的角平分线，DE、OF分别是AABD和△AC。的高。

(1)求证：40垂直平分EF。

(2)若48+AC■10,&UBC*15,MAF・60,求人0的长。

【答案】(1)证明：二〕。是△4BC的角平分线，DE1AB,DF1AC,

:.DE-DF,

在次△XEO和a△XF0中，r?="J,

=DF

；・Rt△AED£*△XFD(//L),

•'-AE=",

而OE=OF,

・・・,4O垂直平分EF

(2)解：VDE-DF,

••S£JK■3£MD+SA4CT

1

=*(/IP4/1C)=15

：AB+»10,

；・；x】QxDE=15，

ADE=3,

V/.E4F=6Q",

・"。,什=LEAD=3俏

二•T。=2DL-6

【解析】【分析】(1)先利用角平分线的性质得。£二0E利用“/〃”证明&LMED三取4"。得

到dE=AF,然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论；

(2)先利用三角形的面积和可求得。£的长，根据(1)中的全等可得，=30。，可

得30的长.

22.如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目48段和BC段均由不

锈钢管材打造，总长度为26米，矩形dOCC和矩形DEFC均为木质平台的横截面，点G在,48上，

点C在GF上，点D在4E匕经过现场测量得知CD=1米，AD=15米.

(1)求立柱A8的长度：

(2)为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF,经测量米，请你求出

要焊接的钢索Of的长.

【答案】(1)解：由题意得AG=CO=1米，GC=AO=15米，AB+BO26米..

设BG二』米，贝=(26—1—幻米，

■:在初△8GC中，BG+CG=C8'，

・・・/+152=(26-lr)?，

解得：x=8.

：.BG=8米.

=8G+G4=9米.

・•・立柱AB的长度为9米.

(2)由题意得CF二二3米，

:・GF=GC+CF=18米.

在Rt△8GF中，BF=、仇2+G尸s48?+®=2西米•

【解析】【分析】(1)根据题意得dG=C0=1米，GC=4D=15米，设BG=x米，则

BC二(26-1-幻米，在RtABGC中利用勾股定理，可得出关于x的方程，求解得BG的长，

即可求出AB的长.

(2)由题意得CF二0E二3米，从而可求出GF二18米.在RsBGF中利用勾股定理，即可求

出BF的长.

(1)(1)由题意得4G=CO=1米，GC•AD15米,

设8G,4米，则BC・(26-1-x)米，

在々△8GC中，由勾股定理得BG?+C(r=CB，

即/♦1512=(26-1-Jr)"解得x・8.

：.BG=8米.

：.AB=8G+G4=9米.

・•・立柱48的长度为9米.

(2)由题意得CF=0/：=3米，

:・GF=GC+CF=[咪.

在中，由勾股定理得8F=J8G2♦GF2=+⑹=2历米•

23.在平面直角坐标系中，对于点。（勺,月），给出如F定义：当点Q3,）2）满足町*='

时，称点Q是点P的等积点.己知点p（12）.

y八y-

5-5-

-•尸-•P

]1」11]》]11]11]»

O.5X-5O.5X

-4­

备用图

（1）在Q］（2,l）,Qz（-4.-l）,Q3（8,2）中，点P的等积点是.

（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O,P,Q,C为顶点的四边形是平行四边形,

求点C的坐标.

（3）已知点和点M（5,rn）,点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平

行的正方形T上的任意一点，对于线段OALt的每一点A,在线段上都存在一个点R使

得A为R的等积点，直接写出m的取值范围.

【答案】(1)Q,(Z.l)

(2)解：设点QCr.y),

•・・尸(12),点Q是P点的等积点,

•*«x=2yWy=

故点Q在直线y二;jf卜.，

・'•点Q(jr,；x)，

当点0平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度,

VO,P,Q,C为顶点的四边形是平行四边形，

・••点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C,

*,*点C(.r+1.；jr+2)»

:点C(x+L；x+2)在x轴上，

二点;jr+2=0，

解得X«-4,

・•・点Q(TO)；

当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度,

VO,P,Q,C为顶点的四边形是平行四边形，

，点Q(Z；x)向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C,

**•点、C--2)，

:点C(x—1,；*-2)在乂轴上，

**,点;x-2=0，

解得x=4，

・••点G(3,o)；

综上所述，点C(一3,0威C(3。).

(3)4<rn<7

【解析】【解答】解：(1)・・P(t2),Q](2.1),Qz(-4,-l)