九年级数学下册 相似三角形的判定（第3课时） 知识清单

九年级数学下册相似三角形的判定（第3课时）知识清单一、核心定理：两角分别相等的两个三角形相似（【重要】）（一）定理的内容与解析该定理是本章的核心内容之一，它指出：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。这是判定两个三角形相似最直接、最常用的方法之一。从逻辑上分析，根据三角形内角和定理（三角形三个内角的和等于180°），当两个三角形有两组角分别相等时，它们的第三组角必然相等。因此，“两角对应相等”实际上等价于“三角对应相等”，这完全契合了相似三角形的定义。这个定理为我们提供了一条极为简便的判定路径：无需测量或计算边长，仅通过角的关系就能确定三角形的形状是否相同。（二）符号语言与图形语言如图，在△ABC和△DEF中，∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF。在这里，对应顶点必须写在对应的位置上。∠A和∠D是对应角，∠B和∠E是对应角，则剩下的∠C和∠F自然成为对应角。对应边则为：AB对应DE，BC对应EF，AC对应DF。（三）定理的证明思路（【理解】）教材中采用了经典的“构造法”进行证明，这种思想方法在几何学习中具有普遍指导意义。证明思路：在△DEF的边DE上截取DG=AB，过点G作GH∥EF，交DF于点H，构造出中间三角形△DGH。首先，根据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”这一基本事实，可得△DGH∽△DEF。然后，通过已知的角相等条件（∠A=∠D，∠B=∠E）和平行线的性质，可以证明△DGH与△ABC全等（ASA）。最后，利用相似三角形的传递性，即可得出△ABC∽△DEF的结论。这个过程完美地体现了“未知”向“已知”转化的数学思想。（四）典型应用场景与例题分析该定理的应用极为广泛，尤其是在含有平行线、圆内接四边形、对顶角、公共角、垂直关系等图形中。1.【基础应用】直接寻找已知角例1：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC。求证：△ADE∽△ABC。证明：∵DE∥BC(已知)，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C(两直线平行，同位角相等)。在△ADE和△ABC中，∵∠A=∠A(公共角)，∠ADE=∠B，∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)。【点评】这是该定理与平行线性质结合的最基本模型，也是“A”型相似的标准形式。2.【高频考点】在圆中求线段长例2：如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P。求证：PA·PB=PC·PD。证明：连接AC、BD。∵∠A=∠D，∠C=∠B(同弧所对的圆周角相等)，在△PAC和△PDB中，∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△PAC∽△PDB(两角分别相等的两个三角形相似)。∴PA/PD=PC/PB(相似三角形对应边成比例)。∴PA·PB=PC·PD(比例的基本性质)。【点评】这是一个经典的“相交弦定理”的证明过程。它将圆中的等角转化与相似三角形的判定完美结合，是中考和竞赛中的常考题型。【重要】3.【难点突破】利用“母子型”相似求边长例3：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高。(1)求证：△ACD∽△ABC；△CBD∽△ABC。(2)若AD=4，BD=9，求CD和BC的长。证明(1)：∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=∠ACB=90°。在△ACD和△ABC中，∵∠A=∠A(公共角)，∠ADC=∠ACB，∴△ACD∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)。同理，∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，∴△CBD∽△ABC。【深入探究】由△ACD∽△ABC，可得AC/AB=AD/AC，即AC²=AD·AB。由△CBD∽△ABC，可得BC/AB=BD/BC，即BC²=BD·AB。由△ACD∽△CBD，可得AD/CD=CD/BD，即CD²=AD·BD。解(2)：由CD²=AD·BD=4×9=36，∴CD=6(负值舍去)。在Rt△BCD中，根据勾股定理，BC=√(BD²+CD²)=√(9²+6²)=√(81+36)=√117=3√13。【点评】这是直角三角形中最重要的相似模型——“母子型”相似（或称射影定理模型）。由此推导出的三个等积式（AC²=AD·AB,BC²=BD·AB,CD²=AD·BD）是解决直角三角形相关计算问题的重要工具，务必熟练掌握。【非常重要】【高频考点】（五）常见题型与考向分析1.填空题/选择题：直接给出两个三角形的两组角，判断是否相似；或在复杂图形中识别相似三角形的对数。2.解答题：结合平行线、圆、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的性质，证明三角形相似，并利用相似比求线段长度或角度。3.探究题：在动态几何问题中，探究在某一时刻两个三角形是否相似。二、特殊情形：直角三角形相似的判定（【拓展】）（一）一般直角三角形的相似判定由于直角三角形有一组角（直角）是天然相等的，因此判定两个直角三角形相似比判定一般三角形相似的条件更为宽松。主要有以下几种方法：1.【基本方法】有一个锐角相等的两个直角三角形相似。【分析】若∠A=∠A‘，则根据“两角分别相等”，Rt△ABC∽Rt△A’B‘C’。2.【基本方法】两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。【分析】若AB/A‘B’=AC/A‘C’（其中AB、AC是直角边），且夹角∠A=∠A‘=90°，则根据“两边成比例且夹角相等”，Rt△ABC∽Rt△A’B‘C’。（二）【难点】特殊的“HL”判定定理对于直角三角形，还有一个类似于全等三角形中“HL”定理的相似判定方法。定理：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。符号语言：如图，在Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘中，∠C=∠C’=90°。如果AB/A‘B’=AC/A‘C’（或AB/A‘B’=BC/B‘C’），那么Rt△ABC∽Rt△A‘B’C‘。证明思路：已知两组边的比例关系，欲证两个三角形相似，通常考虑“三边成比例”或“两边成比例且夹角相等”。这里没有直接给出夹角（直角）所夹的两边（即两直角边）的比例，而是给出了斜边和一条直角边的比例。我们可以设AB/A‘B’=AC/A‘C’=k，则AB=k·A‘B’，AC=k·A‘C’。在两个直角三角形中，分别利用勾股定理表示出BC和B’C‘：BC=√(AB²AC²)=√(k²·A’B‘²k²·A’C‘²)=k·√(A’B‘²A’C‘²)=k·B’C‘。因此，BC/B’C‘=k。这样就得到了三边对应成比例：AB/A’B‘=AC/A’C‘=BC/B’C‘=k。根据“三边成比例”，可以判定Rt△ABC∽Rt△A’B‘C’。【易错警示】使用此定理时，必须确保比例关系是“斜边比斜边”等于“直角边比直角边”，并且对应的直角边必须是对应边，不能混淆。【重要】三、相似三角形判定的综合运用与思路拓展（一）相似三角形判定的路径选择在面对一个具体的几何证明题时，如何快速准确地选择判定方法，是解题的关键。1.首先看“角”：1.是否有公共角、对顶角？2.是否有平行线带来的同位角或内错角相等？3.是否在圆中，有圆周角定理及其推论提供的等角关系？4.是否有垂直带来的90°角？5.如果有两组等角，直接选择“两角分别相等”。1.其次看“边”：1.如果已知条件中给出了较多的边长的比例关系，或者需要计算边长，则考虑“三边成比例”或“两边成比例且夹角相等”。2.如果是一对直角三角形，优先考虑锐角相等或“HL”相似判定。1.再看“图形结构”：1.“A”型、“8”型：通常利用平行找角。2.“母子”型（射影定理型）：通常利用垂直找等角，得出三个相似三角形。3.“旋转”型：往往通过已知比例和旋转得到的相等角来证明。（二）【高频考点】分类讨论思想在相似中的应用当题目中未明确给出两个三角形的对应顶点时，常需要运用分类讨论思想，以防漏解。例4：如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=6cm，BC=9cm。点D是边AB上的一动点，且AD=2cm。点E在边AC上，连接DE。若以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，求AE的长。分析：题目只说△ADE与△ABC相似，并未指明对应关系。因此，我们需要分两种情况讨论：情况一：△ADE∽△ABC。此时，点A对应点A，∠A是公共角，所以AD与AB是对应边，或AD与AC是对应边？需要进一步细分。实际上，我们应抓住已确定的等角关系：∠A=∠A。(1)如果∠ADE=∠B，则根据“两角分别相等”，有△ADE∽△ABC。此时，对应边为：AD/AB=AE/AC。∴2/8=AE/6，解得AE=1.5cm。(2)如果∠ADE=∠C，则根据“两角分别相等”，有△ADE∽△ACB。此时，对应边为：AD/AC=AE/AB。∴2/6=AE/8，解得AE=8/3cm。综上所述，AE的长为1.5cm或8/3cm。【解答要点】在解决相似三角形的动点问题时，必须养成分类讨论的习惯。通常根据已知的相等角（如公共角）作为突破口，分两种情况讨论另一个角的不同对应关系，或者分情况讨论夹这个角的两组边的对应关系。【非常重要】【易错点】四、核心素养与思想方法提炼（一）类比思想本章知识的学习与三角形全等的判定有着惊人的相似性。我们可以通过对比来加深理解和记忆：三角形全等（特殊相似）三角形相似（一般情况）SSS（三边对应相等）三边成比例SAS（两边及夹角对应相等）两边成比例且夹角相等ASA（AAS）（两角及夹边对应相等）两角分别相等（边无需相等）HL（直角三角形的斜边、直角边相等）直角三角形的斜边、直角边成比例通过这种对比，我们可以清晰地看到从“形完全一样”到“形相同，大小不一定相同”的思维进阶。（二）转化思想在证明相似或利用相似求值时，转化思想无处不在。1.等角转化：通过平行线、圆的性质、全等等方式，将已知条件中的等角关系集中到目标三角形中。2.比例线段转化：利用相似三角形的性质，将比例关系在不同三角形之间进行传递，例如在“A”型或“8”型相似中，常常需要利用中间比来沟通已知和未知。3.等积式转化：相似三角形得到的比例式可以化为等积式（如AD·AB=AE·AC），而等积式又是证明线段相等或比例关系的重要桥梁。（三）建模思想熟悉并掌握常见的相似基本模型，可以极大地提高解题速度和准确性。1.平行线型：A型、X型（8字型）。2.相交线型：具有公共角或对顶角的三角形（如例2的相交弦模型）。3.母子型：一个直角三角形被斜边上的高分成的两个小三角形都与原三角形相似（如例3）。4.一线三等角型：一条直线上有三个相等的角，这个模型在压轴题中非常常见。五、本课时考点、易错点与提分策略（【非常重要】）（一）核心考点清单1.基础考点：直接运用“两角分别相等”判定两个三角形相似；识别“A”型、“8”型相似。2.高频考点：在圆中利用圆周角定理证明三角形相似并求线段长（如例2）；在直角三角形中利用“母子型”相似和射影定理的结论进行计算（如例3）。3.难点考点：涉及动点或不确定对应关系时的分类讨论问题（如例4）；将相似三角形与函数、四边形等知识结合的综合性问题。（二）常见易错点警示1.对应关系不清：在写比例式或使用相似三角形的性质时，没有严格将对应边的比值写正确。例如在△ABC∽△DEF中，写成AB/DE=AC/DF是正确的，但写成AB/EF=AC/DF就是错误的。2.判定条件遗漏：在运用“两边成比例且夹角相等”时，容易忽略“夹角”这一核心条件，误将两边及其中一边的对角相等作为判定依据。3.分类讨论遗漏：在动点问题或文字叙述型问题中，只考虑了一种对应情况，导致答案不完整。4.计算粗心：在利用相似比列方程求解时，比例式列错或解方程出错。（三）解题规范与步骤以一道典型的证明题为例，展示规范答题步骤：题目：已知，如图，D是△ABC的边AC上一点，且∠ABD=∠C。求证：AB²=AD·AC。证明规范：∵∠ABD=∠C(已知)，∠A=∠A(公共角)，（【步骤1：找准条件】）∴△ABD∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似)。（【步骤2：判定相似】）∴AB/AC=AD/AB(相似三角形对应边成比例)。（【步骤3：列出比例式】）∴AB²=AD·AC(比例的基本性质)。（【步骤4：得到结论】）【点评】每一步都有理有据，逻辑链条清晰，最终完美得出所要证明的等积式。六、单元知识整合与跨学科视野（一）与后续知识的联系相似三角形的判定是初中几何的基石之一。它不仅在本章后续的“相似三角形的性质”和“位似”中直接应用，更是高中学习“空间几何体”、“空间向量”、“三角函数的定义”等知识的重要基础。例如，