小学五年级数学上册“解决问题：进一法与去尾法”导学案

小学五年级数学上册“解决问题：进一法与去尾法”导学案

  一、设计理念与理论依据

  本导学案的设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心精神，以发展学生核心素养为根本目标。教学设计的核心理论依据包括建构主义学习理论、问题解决理论以及现实数学教育思想。建构主义强调，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。因此，本设计将创设真实、复杂、富有挑战性的问题情境，引导学生主动探究、协作交流，自主建构对“进一法”和“去尾法”这两种解决问题策略的理解与应用模型。问题解决理论视“解决问题”为数学教育的中心，认为数学学习应是一个发现、提出、分析和解决问题的动态过程。本设计将“解决问题”的过程结构化、策略化，引导学生超越具体计算，聚焦于策略的选择与决策依据，培养其数学思维和决策能力。现实数学教育思想主张数学教学应源于现实、寓于现实、用于现实。本设计中的所有问题情境均从学生的生活经验和社会实践中提炼，确保数学学习的意义感和实用性，促使学生体会数学在解决现实世界不确定性问题中的价值，实现从“解题”到“解决问题”的跨越。

  二、教材与学情分析

  （一）教材分析：本节课内容隶属于人教版五年级数学上册“小数除法”单元后的解决问题专题。教材在学生掌握了小数除法计算的基础上，编排了例10，通过“分装香油”和“裁剪丝带”两个经典情境，引导学生认识到在解决实际问题时，有时需要根据实际情况，采用“进一法”或“去尾法”取商的近似值。这一内容是对小数除法计算的深化与应用，是连接数学计算与现实生活的关键节点，也是培养学生数学应用意识和理性决策能力的绝佳载体。其教学价值不仅在于掌握两种方法，更在于理解方法背后的逻辑——根据问题的现实背景与内在约束进行合情推理与判断，这体现了数学的严谨性与应用性的统一。

  （二）学情分析：五年级的学生已具备扎实的小数四则运算能力，尤其是小数除法的计算技能。在认知层面，他们正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，能够进行初步的归纳、推理和概括，但对于需要综合考虑多种现实因素、进行策略性选择的复杂问题，其思维的系统性和深刻性仍有待发展。在知识经验上，学生已经学习了用“四舍五入法”求商的近似值，这为理解“进一法”和“去尾法”提供了认知基础，但也可能形成思维定势，即认为所有取近似值的问题都适用“四舍五入”。因此，教学的关键在于创设认知冲突，打破定势，引导学生在对比辨析中领悟“取近似值”这一数学行为的本质是为“解决问题”服务，方法的选择取决于问题的现实语境和目标。

  三、学习目标

  基于核心素养导向，设定以下三维学习目标：

  1.知识与技能：结合具体生活情境，理解“进一法”和“去尾法”的含义；能根据实际问题需要，熟练、正确地运用“进一法”或“去尾法”取商的近似值，并给出完整的解答过程。

  2.过程与方法：经历从现实问题中抽象出数学问题、自主探究解决方案、对比分析归纳策略的全过程，提升发现问题、分析问题和解决问题的能力；通过小组合作、辩论辨析，发展合情推理能力和数学交流能力。

  3.情感、态度与价值观：在解决实际问题的过程中，深刻感受数学与生活的紧密联系，增强数学应用意识；体会根据实际情况灵活选择解决方案的必要性，培养具体问题具体分析的理性精神与务实态度；在探究中获得成功的体验，增强学习数学的自信心。

  四、教学重点与难点

  教学重点：理解“进一法”和“去尾法”的适用情境，掌握根据实际问题灵活选择取近似值方法的能力。

  教学难点：准确把握问题情境中的关键约束条件（如“全部运走”、“最多做”等），厘清“进一法”与“去尾法”的本质区别与决策依据；克服“四舍五入”思维定势的干扰。

  五、教学准备

  1.教师准备：多媒体课件，包含问题情境动画、关键信息强调、对比分析图表、分层练习题目等；实物道具（如小瓶子、丝带模型或卡片）；小组合作学习任务单。

  2.学生准备：复习小数除法的计算；预习课本相关内容；准备练习本、笔等学习用具。

  六、教学过程实施

  （一）情境激疑，提出问题（预计时间：8分钟）

  1.创设现实冲突情境：

  师：（播放一段简短动画或出示图片）同学们，学校食堂的王师傅遇到了一个难题，想请大家帮忙解决。食堂新进了一批苹果，总重22.5千克。现在需要把这些苹果分装到保鲜袋里，每个袋子最多能装2.5千克。请问，王师傅至少需要准备多少个这样的保鲜袋？

  生自主列式计算：22.5÷2.5=9（个）。

  师：很好，计算结果是9个。那么，王师傅准备9个袋子就够了吗？请大家再想一想。

  （此时，可能会有学生直觉感到不对，或通过模拟发现22.5千克装9袋，每袋刚好2.5千克，但若有损耗或实际装袋时无法绝对平均，可能不够。）

  师：让我们换个角度思考。如果每个袋子“最多”装2.5千克，意味着不能超过这个容量。我们用9个袋子去装，假设前8个袋子都装满了2.5千克，共装了20千克，剩下的2.5千克正好装满第9个袋子。看起来是刚好的。但是，在实际操作中，是否存在所有苹果都能被完美地、丝毫不差地分装的可能性？如果最后多出来一点点苹果，哪怕只有0.1千克，怎么办？

  生：那就还需要一个袋子来装这多出来的一点。

  师：是的！为了保证“全部”苹果都能装走，我们必须在计算出的袋子数量基础上，考虑到实际可能的多余量。这就是我们今天要面对的第一类问题。

  2.呈现经典教材情境，明确学习任务：

  师：生活中类似的问题还有很多。请看大屏幕（出示教材例10（1））：“小强的妈妈要将2.5kg香油分装在一些玻璃瓶里，每个瓶子最多可盛0.4kg。需要准备几个瓶子？”

  师：请同学们独立阅读题目，找出已知信息和要解决的问题。关键信息是什么？

  生：香油总量2.5kg，每个瓶子最多装0.4kg，求需要准备的瓶子数。

  师：关键词“最多可盛0.4kg”和“需要准备几个”意味着什么？它和我们刚才讨论的苹果分装问题有什么共同点？

  （引导学生发现共同点：都是“分装”问题，都有“最多装”的限制条件，目标都是“保证全部装下”。）

  师：今天，我们就一起来研究这类在现实生活中，如何根据具体情况来“解决问题”的数学策略。

  【设计意图】从学生熟悉的校园生活情境入手，制造认知冲突，打破“计算结果即答案”的思维惯性，引发学生对问题现实性的深度思考。紧接着引入教材标准情境，使探究焦点集中化、标准化，明确本节课的核心学习任务。此环节旨在激活学生的生活经验和原有认知，为后续探究做好心理和认知上的铺垫。

  （二）自主探究，初建模型（预计时间：12分钟）

  1.独立尝试与计算：

  师：请同学们独立列式解决这个香油分装问题。计算完毕后再仔细思考：你得到的商是多少？它表示什么意思？你认为需要准备几个瓶子？把你的想法和理由记录在练习本上。

  学生活动：独立计算2.5÷0.4=6.25（个）。面对结果“6.25个”，学生必然产生困惑：瓶子数量应该是整数，0.25个瓶子是什么意思？

  2.小组合作研讨：

  师：现在请以四人小组为单位，讨论以下问题：（1）6.25个瓶子在实际生活中怎么理解？（2）你认为到底需要准备几个瓶子？为什么？（3）你们小组的结论是什么？请准备派代表分享你们的思考和理由。

  学生小组活动。教师巡视指导，关注各小组的讨论焦点，收集典型想法（如：直接四舍五入成6个；觉得6个不够，需要7个；争论不休等）。

  3.全班交流辨析：

  小组一：我们认为需要6个瓶子。因为6.25四舍五入约等于6。

  师：其他小组有不同意见吗？

  小组二：我们反对。如果只准备6个瓶子，每个最多装0.4kg，6个瓶子最多能装0.4×6=2.4kg，但总共有2.5kg香油，还有0.1kg香油没地方装。所以6个瓶子不够。

  师：那0.25个瓶子代表什么呢？

  小组三：0.25个瓶子可以理解为“装满6个瓶子后，剩下的香油还需要一部分容器来装”。但这部分容器不是一个完整的瓶子，可我们找不出0.25个瓶子，所以必须再增加一个瓶子，哪怕这个瓶子装不满。因此需要7个瓶子。

  师：太精彩了！同学们通过结合实际的分析，发现了单纯用“四舍五入”可能行不通。在这里，为了保证所有的香油都能被装下，我们必须“无条件”地再增加一个瓶子，即使这个瓶子装不满。在数学上，我们把这种“不管省略部分是多少，都要向前一位进一”的取近似值的方法，叫做“进一法”。

  板书：进一法——在取近似值时，根据实际情况，不管省略部分首位数字是几，都要向前一位进一。

  师：那么，这道题正确的解答过程应该是怎样的呢？请一位同学完整口述。

  生：2.5÷0.4=6.25（个）≈7（个）答：需要准备7个瓶子。

  师：注意，这里的“≈”和答语中的“7个”，就是应用了“进一法”的结果。我们要在算式和答语中清晰体现这一决策。

  【设计意图】本环节是学生自主建构“进一法”模型的关键。通过独立计算产生认知冲突（商是小数），小组合作激发思维碰撞，全班辩论明晰道理。教师的作用在于引导讨论方向，鼓励学生用数学语言表达生活逻辑，并在学生“最近发展区”内及时提炼与命名数学方法，完成从感性认识到理性认知的飞跃。

  （三）类比迁移，对比建构（预计时间：15分钟）

  1.呈现对比情境：

  师：我们成功帮助小强的妈妈解决了瓶子问题。生活中还有另一种情况。（出示教材例10（2））“王阿姨用一根25m长的红丝带包装礼盒。每个礼盒要用1.5m长的丝带，这根红丝带可以包装多少个礼盒？”

  师：请大家默读题目，找出关键信息。这道题和刚才的香油分装问题，在条件和要求上有什么不同？

  生：总量是25m丝带，每个礼盒用1.5m，求可以包装的礼盒数。关键词是“可以包装多少个”。

  师：这里的“可以包装多少个”，通常理解为什么意思？（引导学生说出“最多能包装多少个”）

  2.独立应用与迁移：

  师：请同学们尝试独立解决这个问题。思考：你会用“进一法”吗？为什么？

  学生计算：25÷1.5=16.666…（个）≈？

  大部分学生会立刻产生疑问，并可能尝试迁移“进一法”得到17个。

  3.引导深度辨析：

  师：有同学得到结果是约等于17个。让我们来检验一下。如果包装17个礼盒，需要多少丝带？

  生：1.5×17=25.5（m）。

  师：而我们只有25m长的丝带。这说明了什么？

  生：丝带不够！包装17个礼盒需要25.5m，但我们只有25m，差0.5m。

  师：那么，包装16个礼盒需要多少丝带呢？

  生：1.5×16=24（m）。

  师：24m<25m，说明丝带在包装完16个礼盒后还有剩余。剩下的1m丝带还够包装一个礼盒吗？

  生：不够，因为一个礼盒需要1.5m。

  师：因此，尽管25÷1.5的商是16.666…，但实际“最多”只能包装16个礼盒。剩下的丝带虽然还有，但已经不够再包装一个完整的礼盒了，所以只能舍去。在数学上，我们把这种“不管省略部分是多少，都全部舍去”的取近似值的方法，叫做“去尾法”。

  板书：去尾法——在取近似值时，根据实际情况，不管省略部分首位数字是几，都全部舍去。

  师：请写出完整解答。

  生：25÷1.5=16.666…（个）≈16（个）答：这根红丝带可以包装16个礼盒。

  4.对比归纳，形成策略：

  师：现在，让我们将“香油分装”和“丝带包装”两个问题进行对比。

  （引导学生从问题类型、关键约束、目标要求、取近似值方法、结果与实际的关系等方面进行对比，并形成如下结构化认识）

  -香油问题：属于“容器分装”型。约束：每个容器容量有限（最多装…）。目标：保证全部物品被容纳（全部装下）。方法：进一法。结果：准备的容器数≥计算的理论值。

  -丝带问题：属于“材料制作”型。约束：每个成品需要固定材料。目标：利用有限材料最多做出多少个成品（最多做…）。方法：去尾法。结果：实际做出的成品数≤计算的理论值。

  师：通过对比，我们可以发现，选择“进一法”还是“去尾法”，不是看商的小数部分是否大于5，而是要看问题的“现实要求”。核心是思考：省略的部分（小数部分）在现实中意味着什么？如果省略部分所代表的事物仍然“必须被处理/容纳”，就用进一法；如果省略部分所代表的事物已经“无法再构成一个完整单位”，就用去尾法。

  【设计意图】通过呈现高度相似（都是除法问题，商都是小数）但本质迥异（现实约束与目标不同）的对比情境，引导学生进行批判性迁移。学生在尝试应用“进一法”失败后，产生新的认知冲突，进而通过检验反思，自主建构“去尾法”模型。最后的对比归纳环节至关重要，它将两个孤立的方法上升为一种可迁移的决策策略，帮助学生从“记忆方法”走向“理解原理”，形成结构化的知识网络和问题解决思维框架。

  （四）巩固应用，分层拓展（预计时间：10分钟）

  本环节设计三个层次的练习，旨在巩固方法、辨析情境、灵活应用。

  层次一：基础辨析（判断下列各题应用“进一法”还是“去尾法”，只列式不计算）

  1.美心蛋糕房制作一种蛋糕，每个需要0.32kg面粉。李师傅领了4kg面粉，他最多可以做多少个这种蛋糕？

  2.果农们要将680kg的葡萄装进纸箱运走，每个纸箱最多可以盛下15kg。需要多少个纸箱？

  3.一种袋装咖啡，每冲一杯需要16.5g咖啡粉和6g方糖。冲完这袋咖啡粉（450g），大约需要多少克方糖？

  （设计意图：第3题为干扰项，冲咖啡需要的方糖总量是连续量，应按照一般的小数乘法或除法计算，结果根据题目要求保留相应位数即可，无需进一或去尾。此题旨在检验学生是否真正理解方法的适用前提——结果是离散的整数个数。）

  层次二：综合应用（完整解答）

  4.五年级126名师生去秋游，每辆大巴车限乘40人（含司机）。至少需要租几辆这样的大巴车？

  5.服装厂用500米布料制作西装，每套西装用布3.2米。这批布料最多能制作多少套西装？

  （学生独立完成，教师巡视，关注答题规范性。指名板演，并说明选择方法的理由。）

  层次三：挑战提升（开放决策）

  6.一段木材长10米，先锯下若干段1.2米长的规格料，剩余的木材还能再锯一段0.8米长的短料吗？请通过计算说明。

  （设计意图：此题需要两步思考。第一步，用去尾法计算10米木材最多能锯出多少段1.2米长的料：10÷1.2≈8（段），余料长10-1.2×8=0.4米。第二步，判断0.4米与0.8米的关系，得出结论：不能锯出0.8米的短料。此题综合了去尾法、余数计算和比较，锻炼学生多步解决问题的能力。）

  （五）总结反思，评价延伸（预计时间：5分钟）

  1.总结梳理：

  师：通过今天的学习，你有什么收获？

  引导学生从知识（掌握了进一法和去尾法）、方法（根据实际情况选择取近似值的方法）、思想（数学源于生活、用于生活，具体问题具体分析）等多个维度进行总结。

  师：我们可以用一句顺口溜来帮助记忆：“四舍五入常规法，进一去尾看实际。全部装完就进一，不够一个就去尾。”

  2.自我评价：

  师：请同学们根据以下标准，进行简单的自我评价（出示评价标准）：

  -我是否能理解“进一法”和“去尾法”的含义？☆☆☆☆☆

  -我是否能根据问题情境正确选择方法并解决问题？☆☆☆☆☆

  -我是否积极参与了小组讨论和课堂发言？☆☆☆☆☆

  3.延伸思考：

  师：生活中还有哪些地方可能用到“进一法”或“去尾法”？请课后留心观察，并尝试自己编一道应用题，下节课与同学分享。

  （例如：快递按重量计费，不足1kg按1kg计算（进一）；银行卡余额不够支付一件商品时，交易失败（类似去尾）；停车费按小时计，不足1小时按1小时算（进一）；用布做衣服，不够做一件就只能舍去（去尾）等。）

  七、板书设计

  解决问题的策略——取近似值

                  

    香油分装                  丝带包装

    2.5÷0.4=6.25(个)               25÷1.5=16.66…(个)

                  

    全部装下？                最多做几个？

    6个不够→需7个              17个不够→只能16个

                  

    进一法                  去尾法

    （不管几分，都要进一）          （不管几厘，都要舍去）

                  

    核心：根据实际情况，灵活选择！

  八、教学反思与特色说明

  本导学案的设计与实施，力求体现当前小学数学问题解决教学的高标准与新理念，具备以下特色：

  1.深刻的认知建构路径：教学设计严格遵循“创设冲突-自主探究-合作辨析-归纳建模-对比升华-应用迁移”的认知建构规律。不是将“进一法”和“去尾法”作为两个孤立的结论直接告知学生，而是让学生置身于真实的问题“困境”中，在尝试、失败、辩论、检验的完整思维历程中，自主发