2027年高考数学一轮复习：高中数学知识目录清单

o集合元素的三个基本特征：·互异性：集合中的元素必须互不相同(常用于求参后的检验，是极易漏分的陷阱)。(如{1,2}={2,1})。o常见数集的专用符号：(有理数集)、R(实数集)。o集合的表示方法：o集合包含关系的判断·子集(三):若对于任意x∈A,都有x∈B,则A≌B。·空集的特殊规定：空集是任何集合的子集(ø≌A),是任何非o集合的子集、真子集及其个数o含参数的集合关系的问题·空集陷阱(重点/易错点):当题目给出ASB的条件时，必须优先分类讨论A=ø和A≠ø两种情况，否则极易漏解。回原题检验，判断能否取到等号(注意实心点≥,≤与空心点>,<的包容关系)。o集合的交、并、补及混合运算·交集(A∩B):找公共部分(逻辑“且”)。·并集(AUB):合并全部元素并去重(逻辑“或”)。·补集(CuA):全集U中剔除A剩下的部分(逻辑“非”)。o根据集合的运算结果求参·解题步骤：化简已知的不含参集合→利用等价转化模型化为包含关系→注意空集讨论→画数轴求参数→验证互异性。o集合的新定义问题离新定义(如“对称差集”、“集合的距离”等),将其严格·操作步骤：先代入具体数字验证新定义的规则(试探法),再2.常用逻辑用语o充分、必要、充要条件的判断件。(“前推后，前是后充，后是前必”)。·集合法(范围法):把条件转化为集合A和B。·若A≌B,则A是B的充分条件(小范围推大范围);·若A2B,则A是B的必要条件(大范围是小范围的必要条件)。·等价转化法(逆否命题法):对于含有“否定词”(如“不等于”)的命题，直接判断p→q较难时，转化为判断其逆否命o充分、必要条件的应用"p是q的必要不充分条件⇔q对应的集合是p对应集合o全称量词命题与存在量词命题·全称量词命题(V):形如“Vx∈M,P(x)”(所有的x都满·存在量词命题(3):形如“3x∈M,P(x)”(存在一个x满“都是”→“不都是(至少有一个不是)”·作差法(最核心、最普适):步骤为“作差→变形→定形→与1比较→结论”。o不等式的性质及其应用b+d)。易错点：同向不等式绝不可相减!不可相除!N,n≥2)。·求范围问题(核心考点):已知x,y的范围，求类似ax+by的范围时，必须利用“整体法”或严格依据“同向可加”原则。求x-y的范围必须转化为x+(-y);求的范围必须转o一元二次不等式的解法等式密不可分。解一元二次不等式的步骤：2.计算判别式△=b²-4ac。3.求对应方程ax²+bx+c=0的根。4.结合抛物线开口向上，写出解集：“大于0取两边(x<x₁或x>x₂),小于0·含参数的一元二次不等式(难点):需进行“三段式”分类讨2.论判别式△:讨论△>0,△=0,△<0(决定是否有根)。3.论两根大小：当有两根x₁1,x₂时，讨论x₁<x₂,x₁=x₂,x₁>x₂。o其他常见不等式的解法·高次不等式：数轴标根法(穿根法)。化标准型(各因式x系数为正)→求根标轴→从右上角开始画线。口诀：“奇穿偶不穿”(遇到奇次幂的根穿过数轴，遇到偶次幂的根弹回)。且g(x)≠0(极易漏掉分母不为0的条件)。o一元二次不等式的恒成立或有解问题·ax²+bx+c>0恒成立⇔a>0且△<0。(若题目未说是“二次”不等式，必须补充检验a=0的情·ax²+bx+c<0恒成立⇔a<0且△<0。·存在性(有解)问题：f(x)>0有解⇔并非f(x)≤0恒成·分离参数法(通法):将问题转化为a≥f(x)恒成立→a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立→a≤f(x)min。2.基本不等式o基本不等式的概念及辨析·一正：各项必须为正数(若是负数，常提取负号转·二定：求和的最小值时，要求“积为定值”;求积的最·均值不等式链：调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。b时等号成立)。o利用基本不等式求最值(范围)·拼凑法(配凑法):为了构造出乘积为常数，对原式进行“添·常数代换法(“乘1法”):已知ax+by=m(常数),求的最值。·例如：已知2x+3y=6(x,y>0),求的最值→凑成·多次使用基本不等式的陷阱：若在同一道题中多次(连用)基本不等式，必须保证每一次取等号的条件能够同时成立，否则结果错误。o利用基本不等式解决实际问题·步骤：理解题意设变量→挖掘隐含条件(定义域)→建立目标函数(面积、体积、造价等)→利用基本不等式求解→检验等三、函数o函数的三要素：定义域、值域、对应关系。判断两个函数是否为“同一函数”,必须满足定义域相同且对应关系相同(化简后形式一致),与o函数的定义域(核心考点):·对数函数：真数大于0,底数大于0且不等于1。·复合函数定义域：已知f(x)的定义域是[ab],求f[g(x)]的定义域，即解不等式a≤g(x)≤b;已知f[g(x)]定义域o函数的值域(难点):基本不等式法：凑出“积为定值”或“和为定值o求解析式的常用方法：·待定系数法：已知函数类型(如一次函数、二次函数),设出解出x用t表示，代入右边；或直接将右边凑成含有g(x)的整体。注意：换元后必须标注新变量t的取值范围(即g(x)的值过将x替换为构造另一个方程，联立消元求o解方程/不等式：必须分段讨论，求出每一段的解集后，还要与该段的2.函数的基本性质o定义法证明：步骤为“取值→作差(f(x₁)-f(x₂))→变形(因式分解、通分、有理化)→定号→下结论”。g(x),若两者单调性相同，则复合函数为增函数；若相异，则为减函数。易错点：必须在复合函数的总定义域内讨论。o常见函数的单调性总结：调递减；当k<0时，在(-∞,0)和(0,+∞)内单调递增。o单调性运算法则：o前提条件：定义域关于原点对称(否则非奇非偶)。o定义：f(-x)=f(x)为偶函数(图象关于y轴对称);f(-x)=-f(x)为奇函数(图象关于原点对称)。o性质推论：·若奇函数f(x)在x=0处有定义，则必然有f(0)=于求参数)。·奇偶函数的四则运算：奇±奇=奇，偶±偶=偶；奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。o轴对称：f(a+x)=f(a-x)o中心对称：f(a+x)+f(a-x)=2b⇔图象关于点(ab)对称。o常见推论：或o对称性与周期性的综合：b|。3.二次函数与幂函数o三种表达形式：一般式y=ax²+bx+c;顶点式y=a(x-h)²+k;两根式(交点式)y=a(x-x₁)(x-x₂)。o闭区间上的最值问题：·定轴动区间/动轴定区间：分类讨论对称轴在区间左侧、区间o形式：y=xα(α为常数，系数必须为1)。o图象与性质：·所有幂函数都在第一象限有图象，且都过点(11)。·α>0时，过原点，第一象限内单调递增；α<0时，不过原4.指数与指数函数o根式与分数指数幂的互化：o定义与图象：y=aˣ(a>0且a≠1)。恒过定点(0,1)。o性质：a>1时，单调递增；0<a<1时，单调递减。在第一象限内，底数越大，图象越靠近y轴(“底大图高”)。o指数比较大小：·异底异指：找中间量(通常为0或1)进行搭桥。5.对数与对数函数o定义与图象：y=logax(a>0且a≠1)。恒过定点(10),即x=1时y=0。定义域为x>0(极易忽略)。o性质：a>1时，增函数；0<a<1时，减函数o解对数不等式：logaf(x)>logag(x),必须先保证f(x)>0且g(x)>0,再根据底数a与1的大小关系决定是否变号。·图象变换(通用法则)o平移变换：“左加右减”(针对自变量x),“上加下减”(针对整o对称变换：关于y关于x·y=f-¹(x)(反函数):与y=f(x)o翻折变换(绝对值):(“留上翻下”)。·y=f(IxI):左侧(“留右折右”)。·函数图象的辨识(选择题技巧)o四步排除法：1.看定义域；2.看奇偶性(对称性);3.看特殊值(截距、极值点);4.看趋势(当x→+∞,-∞或x→0时的极限趋向)。o定义：函数y=f(x)的零点，即方程f(x)=0的实数根，也是函数图象与x轴交点的横坐标。零点是一个数，不是一个点。o零点存在性定理：如果f(x)在区间[ab]上连续，且f(a)·f(b)<0,那么f(x)在(ab)内至少有一个零点。 (可能相切或有偶数个零点);要有且仅有一个零点，通常还·函数与方程的综合(找零点个数/求参数)o分离参数法：求参数范围时，将含参式子隔离，化为a=g(x)的形式，转化为求g(x)的值域或画g(x)的图象。义下的定义域)→运用数学方法(导数、基本不等式、二次函数性质)求解最值→回归实际问题作答。方程为y-yo=f'(x₀)(x-xo)。为(x₀,f(x₀)),得出切线方程y-f(xo四则运算法则：(uv)'=u'v+uv'(“前导后不导+后导前不导”);o复合函数求导(链式法则):y=f(g(x))的导数为y'=f'(g(x))·注意：由外向内逐层求导(类似剥洋葱，从外到内),切勿漏掉内层函数的导数。2.导数的应用o基本判定：在区间内，f'(x)>0→f(x)单调递增f(x)单调递减。(有限个f'(x)=0的点不影响严格单调性)。o利用导数判断、求解、证明函数的单调性(含参)(高考核心难点):·讨论三步曲：1.定义域；2.求导并通分/因式分解，令f'(x)=0;3.寻找分类讨论的“界限点”。·看最高次项系数(或某些因式的符号)是否确定正负。·看判别式△是否大于0(决定导函数是否有根)。·当有两个根x₁,x₂时，比较x₁与x₂的大小。o已知函数单调性(单调区间)利用导数求参：·若f(x)在区间I上单恒成立(且f'(x)不恒为0)。o利用导数解不等式(比较大小)·常见构造：看到xf'(x)+f(x)构造()';看到xf'(x)一f(x)构造;看到f'(x)+f(x)构造(e×f(x))';看·导数与函数的极值(最值)o利用导数研究函数的极值问题：须验证xo左右两侧f'(x)的符号发生改变(“左正右负”为极大值，“左负右正”为极小值)。如y=x³在x=0处导数为0但无极值。o利用导数研究函数的最值问题：值f(a),f(b)进行比较，最大的是最大值，最小o函数图象与导函数图象之间的关系：·看穿伪装：导函数f'(x)图象的正负(在x轴上方还是下方)决定了原函数f(x)的增减；导函数图象的交点(零点)对应原函数的极值点。切忌将导函数的单调性当成原函数的单调性。·导数的综合应用(压轴大题)o利用导数研究不等式的恒成立(能成立)问题：·恒成立：f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a。·能成立(有解):f(x)≥a有解⇔f(x)max≥a。·常用解法1:分离参数法。化为a≤g(x),求g(x)的最小值。·常用解法2:构造函数法。将所有项移到一边，令h(x)=f(x)-a≥0,通过求导研究h(x)的单调性求最小值。o利用导数探究函数的零点问题：·零点个数问题：结合单调性与极值，画出函数的大致草图(包含端点极限趋势),转化为看水平直线与图象有几个交点。·隐零点法(核心大招):当导函数f'(x)=0的根x。无法用公式求出时。不硬解，直接设根为xo,利用f'(x₀)=0得到x₀与o利用导数证明不等式：·作差法：证明f(x)>g(x),构造F(x)=f(x)-g(x),证明其最小值大于0。·极值点偏移问题(双变量问题):已知f(x₁)=f(x₂),证明x₁+x₂>2x₀。常采用构造对称函数法(如令F(x)=f(x)一f(2xo一x))来比较大小。o利用导数解决实际应用问题o导数的新定义问题五、三角函数o任意角与弧度制：·角的推广：正角(逆时针转)、负角(顺时针转)、零角(不o扇形的弧长及面积公式：o任意角的三角函数的定义：(x≠0)。限余弦正(口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”)。o同角三角函数的基本关系式：·解题技巧(齐次式化简):遇到形如或asin²α+bsinacosα+ccos²α的式子，常将分子分母同除o诱导公式：弦；若k为偶数，则函数名不变。确定符号时，将α视作锐2.三角恒等变换o两角和与差的正弦、余弦、正切：o和积、积和公式：积化和：o二倍角、半角公式：·二倍角余弦：cos2α=cos²α-sin²·降幂公式(化简核心):o三角恒等变换的综合应用：·辅助角公式(必考大招):asinx+bcosx=√a²+b²sin(x+φ),其中该公式是解决一切三角函数最值、周期、单调性问题的“敲门砖”,必须化为“一项”才能继续做题。·配角技巧(角的变换):已知角求未知角时，不要急于展开，先寻找角之间的联系。例如：α=(a+β)-β;2α=(a+β)+3.三角函数的图象与性质o三角函数的图象：五点作图法(找出横轴上的0,,2π对应的关键点)。熟记sinx,cosx,tanx的渐近线与穿轴点。o三角函数图象变换：·相位变换(平移):易错点：图象的平移规则“左加右减”是对自变量x而言的。若将y=sin(wx)平移，需提公因式写成,实际平移量为而不是φ。o由部分图象求三角函数解析式y=Asin(wx+φ)+B:距为求出周期T,再由解出w(常设w>0·求φ:代入图象上的最值点最稳妥(避免因单调性弄错正负),化为sin(特殊角)=±1求解。o三角函数的定义域、单调性：间，则解出x。·注意：若w<0,必须先用诱导公式将符号提到外边，保证内第21页共51页o三角函数的值域或最值：·一元二次型：形如y=asin²x+bsinx+c,换元令t=sinx (注意隐含条件t∈[-1,1]),转化为闭区间上二次函数求最o三角函数的周期性、奇偶性、对称性：·周期公式：对于正余弦型;对于正切型数值为0)。解出x,对称中心为(x,0)(此时函o三角函数模型的应用o三角函数的零点(方程的根)问题：常结合图象的对称性出题。如果函数在某区间内有两个根x₁,x₂,且对称轴为x=m,则x₁+x₂=2m。4.解三角形o正弦定理：(R为△ABC的外接圆半径)。o余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA及其变形o三角形面积公式：o正、余弦定理的综合应用(高考重点考法):虑“统一度量”。利用正弦定理将边化角(a将角化边。通常带二次方的式子考虑余弦定理，·判断三角形形状：化为纯边关系(如a²+b²=c²直角，或a=b等腰);或化为纯角关系(如sin(A-B)=0得A=·最值/范围问题(压轴题眼):·代数法(基本不等式):已知A和a,求面积最值、周长最值等。列出余弦定理a²=b²+c²-2bccosA≥将C替换为π-A-B,展开后利用辅助角公式化简求o解三角形的实际应用六、平面向量o平面向量的有关概念：·特殊向量：零向量0(长度为0,方向任意，注意与实数0区分);单位向量e(长度为1的向量，·向量关系：平行(共线)向量(方向相同或相反的非零向量，零向量与任意向量共线);相等向量(长度相等且方向相同);相反向量(长度相等且方向相反)。o平面向量的线性运算：·加法：三角形法则(首尾相接，起点指终点);平行四边形法则(共起点，对角线)。·减法：三角形法则(共起点，指被减)。即AB-AC=CB。当λ>0时同向；λ<0时反向；λ=0时为0。o平面向量共线定理的应用：数λ,使得a=λb。·解题技巧(三点共线):证明A,B,C三点共线，通常转化为证明AB=λAC,或寻找一个定点0,证明OC=xOA+yOB且满足x+y=1。o平面向量基本定理及其应用：·定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a,存在唯一实数对(x,y),使得a=xe₁+图形中已知长度和夹角的两个向量作为基底，将所有未知向量o平面向量的坐标运算：·设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则向量坐标AB=(x₂—x₁,y₂-y₁)(核心口诀：“终点坐标减起点坐标”)。o平面向量共线的坐标表示：相乘相等)。·易错点：尽量不要写成因为分母x₂,y₂有可能为0。2.平面向量的数量积o平面向量数量积的运算：围[0π])。注意结果是一个实数，不是向量!·坐标式：设a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂),则a·b=x₁X₂+y₁y₂。者是与C共线的向量，后者是与a共线的向量。o向量投影的概念与投影向量：·投影向量(向量):将投影赋予b的方向，公式为考o垂直关系的向量表示：·求模长：利用公式la|=√a²⇔lal²=a到含绝对值的向量和差求模(如|2a-b1),核心法则是0,还要排除二者同向共线(夹角为0的情况);如果是钝角，不仅要a·b<0,还要排除二者反向共线(夹角为π的情o平面向量的新定义问题·向量最值与范围问题的进阶技巧(高考核心压轴模型):半的平方)。此公式常用于处理“定底边、动顶点”的数量积最值问o等和线模型：若OP=xOA+yOB,当动点P的轨迹是一条直线时，o建系坐标法：当图形中存在明确的直角、垂直关系或规则多边形(正方形、正六边形)时，直接建立平面直角坐标系，将所有向量转化为坐标3.平面向量的应用o利用向量法证明平行、垂直、相似、全等。o求解平面几何中的距离比例、面积比例问题(结合三角形重心法则：o力的合成与分解(向量加减法的平行四边形法则的应用)。o做功问题：恒力做功W=F·§,即力的向量与位移向量的数量积。1.数列的概念与表示方法o数列的概念与分类：(即相同数字不同排列是不同的数列)。·分类：按项数分(有穷数列、无穷数列);按增减性分(递增数列、递减数列、常数列、摆动数列)。o数列的函数特性：集{1,2,..,n})的函数an=f(n),其图象是一群孤立的点。问题(如二次函数的对称轴),或利用单调性不等式组(如求o数列的通项公式：o数列的递推关系式：·已知数列的首项(或前几项),以及相邻项之间的关系，·高频考点(由递推求通项的常见类型)·构造法(待定系数法):适用于an+1=pan+q型。构造等比数列an+1+c=p(an+c),解出o数列的前n项和及Sn与an的关系(绝对核心考点):·易错点(必考陷阱):根据Sn-Sn-1算出n≥2时的表达式的形式!·定义：an+1-an=d(常数)。0时),斜率为d。aq。特别地，若m+n=2k,则am+an=2ak(中项性质)。o求Sn的最值：·代数法：将Sn看作二次函数求配方求最值(注意n是正整·数列法：看通项an何时变号。若a₁>0,d<0,求Sn最大3.等比数列o等比数列的概念及通项公式：任意一项都不可能为0。o等比数列的前n项和公式：·公式(必须分类讨论):当q=1时，Sn=na₁;当q≠1时，一反应必须是讨论q=1和q≠1两种情况!o片段和性质：Sm,S₂m-Sm,S₃m-S₂m构成新等比数列(前提是q≠-1或m为奇数保证片段和不为0),公比为qm。o等差数列与等比数列的综合应用：·基本量法(通法):不论题目条件多复杂，把所有已知量都转化为a₁和d(或q)的方程组来解。此法虽然有时计算量稍4.数列求和及综合应用·数列求和方法(四大核心方法)o错位相减法：·适用题型：通项是“等差数列×等比数列”型(如Cn=(2n-·操作步骤：写出Sn表达式→等式两边同乘公比q得到qSn→两式相减→中间部分转化为等比数列求和公式→整比求和项数多数或少数了一项(通常是n-1项或n项);④最后忘记除以(1-q)。o裂项相消法：(千万别忘前面乘上系数的倒数)。后剩两项”,要仔细列出前三项和最后三项观察规律。o分组(并项)法：数列之和(如an=2n+3”),分别求和后再相加。·并项法：正负相间交替的数列(含有(-1)n),相邻两项合并为一个有规律的新数列。需要分n是奇数还是偶o倒序相加法：·适用题型：数列首末两端等距离的项之和有规律(定值)。等第30页共51页o数列的实际应用(分期付款、银行复利等，建模转化为等比数列求o数列与不等式的综合问题(放缩法证明)o数列的新定义问题(结合新情境、新运算规则，考察提取信息并映射到等差等比性质的能力)。八、复数o复数的基本概念：·代数形式：z=a+bi(a,b∈R)。其中a叫作复数z的实·易错点：虚部是实数b,而不是bi。在判断复数类型时，必须先将复数化为标准形式a+bi。o复数相等：程，通常提取实部和虚部，转化为两个实数方程(二元一次方程组)求解。注意：复数(非实数)不能比较大小，只能判断第31页共51页o复数的代数表示及其几何意义：·复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面。x轴为实轴(除原点外，点全代表非零实数),y轴为虚轴(除原点外，点全代表纯虚数)。点Z(a,b)⇔平面向量OZ(起点为原点)。o共轭复数：轭复数记为z=a-bi。·几何意义：点Z与点Ż关于实轴对称。个非负实数);z+z=2a(实数)。o复数的模及其几何意义：·定义：复数z=a+bi的模(绝对值)记为Izl=√a²+b²。·几何意义：表示复平面内点Z(a,b)到原点0的距离。常用于求解复数最值问题或轨迹问题(如|z-zoI=R表示段Z₁Z₂的垂直平分线)。o复数代数形式的四则运算：式展开，遇到i²换成-1即可。·除法(绝对核心考点)第32页共51页·解题技巧(分母实数化):除法的本质是分子分母同乘o虚数单位i的周期性(巧算考点):·规律：i¹=i,i²=-1,i³=-i,i⁴=1。·连加规律：连续四个正整数次幂之和为0,即in+in+1+o常用化简结论：i(即x³=1的两个虚根，常记为w,具有w³=1且1+w+w²=0的奇妙性质)。o复数范围内解方程与因式分解：0时无解；·在复数集C中，当△<0时，方程有两个共轭虚根：x=·实系数多项式方程若有虚数根，则虚数根必然成对出现(互为共轭复数)。1.基本立体图形o空间几何体的结构特征：·多面体：棱柱(侧棱平行的多面体，注意直棱柱、正棱柱的区别)、棱锥(底面多边形，侧面交于一点的三角形)、棱台(平行于底面截棱锥所得)。·旋转体：圆柱(矩形绕一边旋转)、圆锥(直角三角形绕直角边旋转)、圆台(直角梯形绕垂直于底的腰旋转)、球体(半圆绕直径旋转)。o空间几何体的直观图：·斜二测画法规则：建系(原图形中建直角坐标系x0y,直观图中建x'O'y',使得∠x'O'y'=45°或135°);平行不变(原图中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于对应轴);长度规则(平行于x轴、z轴的线段长度保持不变，平行于y轴的线段长度减半)。o几何体中的截面问题：法”(已知平行关系找交线)和“延长引线法”(延长已知线段与几何体的棱相交，寻找共面点连线)。o多面体与旋转体上的最短距离问题：体的侧面沿某条母线(或棱)展开成平面图形，利用“两点之角(r为底面半径，l为母线长),再利用余弦定理求o空间几何体的表面积(侧面积)o空间几何体的体积：·柱体(棱柱、圆柱):V=Sh。·台体(棱台、圆台):·解题技巧(求体积两大方法):①等体积法(顶点轮换法),o与球有关的切、接问题：·外接球(找球心是核心)锥，直接补成长方体)。心。构造直角三角形R²=r²+d²(d为球距离)求解。2.基本图形的位置关系(传统几何法)o平面的基本性质：·公理1(直线在面上):若直线上两点在平面内，则直线上所有·公理2(面面相交):两平面若有一个公共点，则必有一条过该·公理3(确定平面):不共线的三点确定一个平面(推论：直线与外一点、两条相交直线、两条平行直线均可唯一确定一个平o空间中直线、平面间的位置关系：·直线与直线：相交、平行(共面直线);异面直线(不同在任何一个平面内，既不平行也不相交)。o线面平行的判定与性质：线、平行四边形)。行)。o面面平行的判定与性质：这两个平面平行。(线面平行→面面平行)。们的交线平行。(面面平行→线线平行)。o线面垂直的判定与性质：·性质定理：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②直线垂o面面垂直的判定与性质：垂直。(线面垂直→面面垂直)。线的直线垂直于另一个平面。(面面垂直→线面垂直。技巧：作辅助线必定做在交线上)。·空间角与距离(传统找角法)o二面角：寻找平面角。在交线上取一点，分别在两个半平面内作垂直于交线的射线，两条射线所成角即为二面角。常用“三垂线定理”或直接o空间中的距离：最常考的是点到平面的距离。纯几何法通常采用“等体积法”(三棱锥换顶点)来间接求高。3.空间向量与立体几何o空间向量及其线性运算：加法、减法、数乘运算律同平面向量。o空间向量共线、共面定理及空间向量基本定理：·共面定理：四点0,A,B,P共面⇔OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1。o空间向量数量积及其应用：·坐标运算：若a=(x₁,y₁,z₁),b=(x₂,y₂,Z₂),则a·B=x₁x₂+·向量法应用(代数化解立体几何的万能钥匙)o空间直线的方向向量与平面的法向量：线的向量a和b,设n=(x,y,z),列方程一个未知数为1(或一个方便计算的数),解出另外两个未知o空间平行/垂直关系的向量表示：·线面平行：直线方向向量，平面法向量n。1n⇔·n=0(且直线不在平面内)。o利用向量法求异面直线角、线面角、二面角(绝对重点)面直线角为锐角或直角)。·线面角α:设直线方向向量为，平面法向量为n。注意正弦与·二面角θ:求出两平面的法向量n1,n2。二面角的大小θ与法向量夹角相等或互补：cosθ=±Icos<no利用向量法求空间距离：·点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n,A为平面内任意一点，则距离公式(投影法)相比等体积法，十、平面解析几何o直线的倾斜角与斜率：·倾斜角α:范围是(0,π)。α=0时直线水平；时直线垂o直线的方程(五种形式):·截距式：(a,b分别为x,y轴截距。不能表示的直线及平行于坐标轴的直线)。·一般式：Ax+By+C=0(A,B不同时为0。万能公式)。o直线方程的综合应用：须单独检验斜率不存在的情况(即x=m是否符合题意);若设为x=my+t则可避免斜率不存在的讨论，常用于圆锥曲条件时，必须单独讨论直线过原点(截距均为0)的情况。o两直线的位置关系：A₂B₁=0且需验证不重合(常数项比例不同)。o点、直线间的距离问题(必考考点):才能直接套用公式)。o点、直线间的对称问题：已知直线斜率之积为-1;②两点连线的中点在已知直线上。·特殊对称：关于y=x对称(x,y互换);关于y=-x对称(x,y互换并变号)。直观给出圆心(ab)和半径r。o与圆有关的轨迹问题：寻找动点满足的几何条件(如距离比例定值等，阿波罗尼斯圆),代入代数表达式化简成圆的方程。o位置关系的判断：相交、相切、相离。度不推荐联立方程用判别式△法，计算量极大。o弦长问题：利用“垂径定理”,构造圆心、弦中点、圆上一点所在的直o切线问题：·过圆上一点(xo'yo)的切线：(x₀-a)(x-a)+(yo-b)(y-·过圆外一点求切线：设方程y-yo=k(x-x₀),出k。极易错点：若解出一个k值，说明存在斜率不存在的切o位置关系判断：根据圆心距d与两半径R,r的关系判断：外离(d>R+r)、外切(d=R+r)、 o公共弦问题：若两圆相交，将其一般方程相减(消去二次项),直接得3.椭圆o定义：平面内与两定点F₁,F₂距离之和等于常数2a(大于I核心关系式：a²=b²+c²(a最大)。o离心率：范围e∈(0,1)。e越接近1,椭圆越扁；e越接近0,椭圆越圆。焦点)。o常规解法核心流程：“设直线方程→联立椭圆方程→消去y得到关于x的一元二次方程→写出△>0及韦达定理(x₁+x₂,x₁x₂)→代入o弦长公式：第41页共51页o中点弦问题(点差法):遇到弦的中点条件，设弦端点A,B代入椭圆方程，两式相减并因式分解，得出斜率k与中点坐标(xo'yo)的关系：4.双曲线o定义：平面内与两定点F₁,F₂的距离的差的绝对值等于常数2a(小于Io标准方程：(焦点在x轴)。核心关系式：c²=a²+b²o渐近线：方程为即共渐近线的双曲线系方程o特殊位置关系：联立后，若二次项系数为0(即直线平行于渐近线),此时直线与双曲线只有1个交点，但这不是相切。o通法：韦达定理与弦长公式同椭圆，但务必注意联立后关于x的一元二次方程的a≠0且△>0。5.抛物线o定义：动点到定点(焦点F)的距离等于到定直线(准线l)的距离。o标准方程(4种):以y²=2px(p>0)为例，顶点在原点，开口向o几何性质应用(重点):凡是涉及“抛物线上一点到焦点的距离”,一律根据定义转化为“到准线的距离”!焦半径第42页共51页o焦点弦性质：设直线过焦点交抛物线于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则必有：·弦长(α为直线倾斜角)。o计算技巧：为了避免讨论斜率不存在且计算更简便，直线与抛物线y²=2px联立时，极力推荐设直线方程为x=my+t,代入抛物线方程得到关于y的方程。o圆锥曲线中的轨迹方程问题：·相关点法(代入法):若动点P(x,y)随已知曲线上的动点Q(xo,yo)运动，找出两点坐标的函数关系式，代入曲线方程o圆锥曲线中的定点、定值问题：·定点问题：将目标直线方程化为y=k(x-xo)+y。形式(含有参数),即可得出恒过定点(xo'yo)。o圆锥曲线中的面积问题：o圆锥曲线与向量综合问题：共线)。 1.两个计数原理、排列与组合o分类加法计数原理(分类，互斥):完成一件事有n类办法，第一类o分步乘法计数原理(分步，关联):完成一件事需要n个步骤，缺一不o排列(有序):从n个不同元素中取出m个元素，排成一列。公式：为An=n!。规定：0!=1。o组合(无序):从n个不同元素中取出m个元素，并成一组。公o组合数性质：·递推公式(杨辉三角性质):Cn+1=Cm+cm-1。·排列与组合的综合应用(常见解题模型)o相邻问题(捆绑法):遇到“某些元素必须相邻”,将这些元素“捆绑”成一个整体，与其他元素一起进行排列；最后再进行“整体内部”o不相邻问题(插空法):遇到“某些元素互不相邻”,先将其他没有限制的元素排好，再将互不相邻的元素插入到已排好元素形成的空隙(包含首尾两端)中。o定序问题(倍缩法/空位法):遇到“某些元素相对位置固定”,方法只有1种放法),剩下的位置给剩下的元素排列。o分组与分配问题(先分组，后分配——极易错考点):·均匀分组(避坑点):如果有k个组的数量完全相同，分组时乘以对应的全排列An。o相同元素的分配(隔板法):将n个完全相同的元素分给m个不同的的n-1个空隙中插入m-1块板)。·要求“允许有人分得0个”:采用“先借后还”策略，强行给每人借1个，转化为将n+m个元素分给m人(每人至少1个),方案数为o复杂限制条件问题(正难则反):利用“总方案数-不符合条件的方案数(间接法)”求解，常结合容斥原理。2.二项式定理o通项公式(绝对核心):第r+1项的公式为。解题o求某次幂的系数：写出通项公式Tr+1,将字母的指数合并。令指数等于目标值，解出正整数r(若r非整数则说明不存在该项),再代回通项o求常数项：令字母的指数等于0,求出r。o求有理项：令字母的指数为整数，求出符合条件的r的个数。o多项式相乘：如()n,展开左边第一项，转化为求(x-2)”中某两项o赋值法：不展开，直接对未知数x赋予特殊值(常用x=1,x=0,x=o所有项的系数和：令式子中所有的x=1。o奇/偶数次项系数和：设展开式为f(x)=ao+a₁x+a₂x²+…十o二项式系数的最大项：由于Cn先增后减，关于中间对称。o项的系数(或绝对值)最大项：设第r+1项的系数(或绝对值)最大，列不等式组解出r的取值范围，取其中的整十二、概率与统计o频率与概率：在相同条件下重复进行n次试验，事件A发生的次数nA称为频数，称为频率。当试验次数n足够大时，频率个常数附近，这个常数即为概率P(A)。o互斥事件：不可能同时发生的两个事件(A∩B=Ø)。加法公式：o对立事件：必有一个发生且不可能同时发生的两个事件(AUÀ=o解题策略：遇到“至少”、“至多”等字眼时，常使用**“正难则o特征：样本空间包含的基本事件总数有限；每个基本事件发生的可能性o解题方法：常结合排列组合公式、枚举法或树状图计算m和n。o条件概率：在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。公式：P(BIo相互独立事件：一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率，(不能同生)”与“独立(互不影响)”。o全概率公式：将复杂事件的概率化为在各个互斥条件下的概率之和o贝叶斯公式(逆概率):已知结果发生，求是由某个特定原因引起的概2.随机变量及其分布o分布列：列出随机变量X所有可能的取值xi及其对应的概率Pi。必须满足两点：Pi≥0;∑pi=1(检验分布列对错的关键)。o期望(均值)E(X):E(X)=∑xiPi。反映随机变量取值的平均水平。量取值的稳定程度(波动大小),方差越小越稳定。·常见分布模型(核心考点)o超几何分布(不放回抽样):总体N个