初中数学九年级上册（北京课改版）核心知识清单：圆的有关概念与性质

初中数学九年级上册（北京课改版）核心知识清单：圆的有关概念与性质一、圆的基本概念与圆的确定（一）圆的定义（两种视角）【基础】【核心】1.描述性定义：在平面内，线段绕其固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。固定的端点叫做圆心，线段的长叫做半径。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。2.集合性定义（轨迹定义）：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点称为圆心，定长称为半径。这种定义方式精确揭示了圆的内在本质，是解决点和圆位置关系的理论依据。（二）圆的确定条件【高频考点】1.过一点的圆：经过平面内一个点可以作无数个圆，圆心可以是除该点外平面内的任意点，半径为这点到圆心的距离。2.过两点的圆：经过平面内两个点（A和B）可以作无数个圆，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上。3.过三点的圆：★【重点】1.4.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。2.5.反例：如果三点在同一直线上，则无法作出过这三点的圆（因为圆心无法找到，即线段垂直平分线平行无交点）。3.6.作法：连接任意两点（如AB和BC），分别作这两条线段的垂直平分线，其交点即为圆心O，以O为圆心，OA（或OB、OC）为半径作圆即可。（三）与圆相关的几何元素【基础】【必会】1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。2.直径：经过圆心的弦叫做直径。直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍（d=2r）。3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作⌒AB。1.4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。2.5.优弧：大于半圆的弧叫做优弧（通常用三个字母表示）。3.6.劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧（通常用两个字母表示）。7.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。半径相等的两个圆是等圆，同圆或等圆的半径相等。8.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧不仅长度相等，弯曲程度（即所对圆心角）也相同。9.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。10.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。11.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。它是一个非常重要的辅助线量，常用于计算。二、点与圆的位置关系【热点】【基础计算】（一）位置关系判定设⊙O的半径为r，圆心O到点P的距离为d（即OP=d），则有：1.点在圆内⇔d<r（此时点在圆的内部）；2.点在圆上⇔d=r（此时点刚好在圆周上）；3.点在圆外⇔d>r（此时点在圆的外部）。（二）记忆技巧与考向1.判定方法：只需比较“点到圆心的距离（d）”与“圆的半径（r）”的大小关系。2.常见题型：多与勾股定理结合，在坐标系中求一点到圆心的距离，判断点与圆的位置关系；或已知位置关系，求半径或距离的取值范围。三、三角形的外接圆与外心【重点】【难点】（一）定义经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。（二）外心的性质与特征【高频考点】1.位置：1.2.锐角三角形的外心在三角形内部；2.3.直角三角形的外心是斜边的中点（即外接圆半径等于斜边的一半）；3.4.钝角三角形的外心在三角形外部。5.距离相等性：外心到三角形三个顶点的距离相等，即等于外接圆的半径R。6.角度计算模型：常考与圆周角、圆心角的关系。如：已知三角形内角，求圆心角或圆周角度数。四、圆的基本性质（对称性与旋转不变性）（一）圆的对称性【基础】1.轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆有无数条对称轴。【重要提示】不能说“直径是对称轴”，因为对称轴是直线，而直径是线段。2.中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心。3.旋转不变性：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。这一性质是圆心角、弧、弦之间相等关系定理的根本依据。五、垂径定理及其推论【★★★★★】【极高频考点】【解题核心】（一）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。（二）数学符号语言表述如图，在⊙O中，CD是直径，CD⊥AB于点E，则：1.AE=BE（平分弦）；2.⌒AD=⌒BD（平分优弧）；3.⌒AC=⌒BC（平分劣弧）。（三）重要推论（知二推三）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。【特别注意】被平分的弦不能是直径，因为任意两条直径互相平分，但未必垂直。（四）解题方法与常见模型【技巧】1.“垂径定理三角形”模型：如图，半径r、弦长的一半（a/2）、弦心距d构成一个直角三角形，且满足勾股定理：d2+(a2)2=r2d^2+(\frac{a}{2})^2=r^2d2+(2a​)2=r22.辅助线作法：凡涉及弦长、弦心距、半径的计算，最常见的辅助线是“过圆心作弦的垂线”和“连接半径”。构造出直角三角形，利用勾股定理求解。3.实际应用：解决拱桥、隧道、油桶截面等问题时，常需建立坐标系，将实际问题抽象为垂径定理模型。六、圆心角、弧、弦之间的关系定理【重要】【旋转不变性应用】（一）定理内容在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（二）推论（知一推二或知一推三）【高频考点】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。【特别注意】前提“在同圆或等圆中”不可或缺，不能跨圆比较。（三）延伸：弦心距在上述关系中，如果圆心角相等，那么所对的弦的弦心距也相等。七、圆周角定理及其推论【★★★★★】【绝对核心】【综合题基础】（一）圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（二）数学表达如图，在⊙O中，∠ACB和∠AOB是同一条弧AB所对的圆周角和圆心角，则：∠ACB=12∠AOB\angleACB=\frac{1}{2}\angleAOB∠ACB=21​∠AOB（三）重要推论【高频考点】1.同弧或等弧所对的圆周角相等。2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。1.3.【几何语言】若AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°（C在圆上）。2.4.反之，若∠ACB=90°，且A、O、B共线，则AB是直径。5.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（这是圆周角推论的综合应用，常用于证明垂直）（四）解题策略【技巧】1.找角等：寻找同弧或等弧所对的圆周角进行等角转换。2.造直角：题目中出现直径，立即连接圆上一点与直径两端，构造直角三角形。3.转化角：将所求的角通过等弧转移到已知三角形或特殊图形中。八、圆内接四边形【中等考点】（一）定义如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。（二）性质定理圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。1.对角互补：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。2.外角等于内对角：∠DCE（∠C的外角）=∠A。九、直线与圆的位置关系及切线的性质判定【★★★★★】（一）直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：1.直线l与⊙O相离⇔d>r（无交点）；2.直线l与⊙O相切⇔d=r（有且只有一个交点，称为切点）；3.直线l与⊙O相交⇔d<r（有两个交点，此时直线叫做圆的割线）。（二）切线的判定定理【必考证明题】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。1.【判定条件】两个要素缺一不可：①经过半径外端点（在圆上）；②垂直于这条半径。2.【辅助线口诀】1.3.“有点（切点）连半径，证垂直”；2.4.“无点（未明确切点）作垂线，证半径（d=r）”。（三）切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。1.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。2.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（四）切线长定理【拓展提升】从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。1.【应用】常用于证明线段相等、角相等，以及在与内切圆相关的计算题中求线段长度。十、圆中的计算问题（一）弧长公式【公式必记】在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l=nπR180l=\frac{n\piR}{180}l=180nπR​【易错点】公式中的n表示角度数，不带单位；计算结果要区分是否需要保留π。（二）扇形面积公式【公式必记】1.已知圆心角n°和半径R：S扇形=nπR2360S_{扇形}=\frac{n\piR^2}{360}S扇形​=360nπR2​2.已知弧长l和半径R：S扇形=12lRS_{扇形}=\frac{1}{2}lRS扇形​=21​lR（类似于三角形面积公式，便于记忆）（三）圆锥的侧面积与全面积【综合应用】1.圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做母线（记作l，注意与弧长l区分，常设为a）。2.圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面圆的周长（2πr），半径等于圆锥的母线长（a）。S圆锥侧=πraS_{圆锥侧}=\piraS圆锥侧​=πra3.圆锥的全面积：S_{圆锥全}}=\pira+\pir^2十一、常见辅助线作法与解题思想总结（一）辅助线口诀【秘籍】1.圆上若有一弦，中垂线、垂径连；2.见直径，想直角；3.遇切线，连半径（或作垂直）；4.两圆相切，作公切；两圆相交，作公共弦；5.求角度，找圆周、圆心互转换；6.有等弧，联等弦、等角用处大。（二）易错点辨析【警示】1.直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆。2.过三点的圆，前提必须是“不在同一直线上”。3.平分弦的直径垂直于弦——这里必须强调被平分的弦“不是直径”。4.同弧所对的圆周角相等，不能忽略“同弧或等弧”的前提。5.计算弧长和