第十一讲：北师大版七年级数学下期末冲刺复习三

各位同学，大家好！期末的脚步日益临近，我们的复习也进入了关键阶段。在前面的复习中，我们已经对本学期的主要知识模块进行了梳理和巩固。今天这一讲，我们将聚焦于三角形、生活中的轴对称以及数据的收集与整理这几个核心内容，进行一次系统性的回顾与深化，希望能帮助大家在期末考中取得理想的成绩。一、三角形专题深化与巩固三角形是平面几何的基石，其重要性不言而喻。我们不仅要掌握三角形的基本概念和性质，更要能灵活运用这些知识解决问题。1.1三角形的边与角*三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这是判断三条线段能否组成三角形的重要依据，也是解决三角形边长取值范围问题的关键。同学们在遇到已知两边求第三边取值范围，或判断线段能否构成三角形时，务必牢记这一点。*内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。这是计算三角形内角度数的基础。由此还可以推导出：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。这些推论在角度计算和证明中应用广泛。*三角形的分类：按角分，可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分，可分为不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形）。等腰三角形和等边三角形具有特殊的性质，是考察的重点。1.2三角形的重要线段*中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心。重心将每条中线分成2:1的两段。*高线：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。*角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形三边的距离相等。在解决与三角形面积相关的问题时，高线往往扮演着重要角色。而中线等分三角形面积的性质，也常常在题目中巧妙出现。1.3全等三角形*定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。*性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（对应边上的中线、高线、对应角的角平分线也分别相等）*判定方法：*SSS(边边边)：三边对应相等的两个三角形全等。*SAS(边角边)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。注意：必须是“夹角”。*ASA(角边角)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。*AAS(角角边)：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。*HL(斜边、直角边)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。全等三角形的证明是这部分的核心，也是难点。同学们在解题时，要仔细观察图形，寻找已知条件和隐含条件（如公共边、公共角、对顶角等），选择合适的判定方法。证明思路要清晰，书写格式要规范，做到步步有据。1.4等腰三角形与等边三角形的性质与判定*等腰三角形：*性质：两腰相等；两底角相等（“等边对等角”）；顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（“三线合一”）。*判定：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）。*等边三角形：*性质：三边都相等；三个角都相等，且都等于60°；具有等腰三角形的所有性质。*判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。这些特殊三角形的性质在几何证明和计算中应用非常广泛，要熟练掌握。二、生活中的轴对称轴对称是一种重要的图形变换，在生活中有着广泛的应用，也为我们解决几何问题提供了新的思路和方法。2.1轴对称的基本概念*轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。*两个图形成轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。2.2轴对称的性质*对称轴是一条直线。*成轴对称的两个图形全等。*如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。2.3利用轴对称解决问题*最短路径问题：这是轴对称性质应用的经典案例。例如，在直线上找一点，使它到直线同侧两点的距离之和最短，通常的作法是作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求。*设计图案：利用轴对称可以设计出许多美丽的图案。在解决与轴对称相关的问题时，关键是要找出对称轴，并利用对称点的性质。三、数据的收集与整理回顾数据是我们认识世界、做出决策的重要依据。本学期我们学习了数据收集与整理的基本方法。3.1数据的收集*方式：普查和抽样调查。*普查：对考察对象的全体进行调查，所得数据准确，但耗费人力、物力和时间较多。*抽样调查：从考察对象中抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况。抽样时要注意样本的代表性和广泛性。3.2数据的整理与描述*统计表：将收集到的数据进行分类整理，制成表格，使数据关系一目了然。*统计图：*条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。*扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。（注意扇形圆心角的计算：圆心角=该部分百分比×360°）*折线统计图：能清楚地反映事物的变化趋势。在分析统计图表时，要能从中准确提取信息，并进行简单的计算和推断。四、典型例题精析例1：三角形内角和与外角性质应用已知在△ABC中，∠A=50°，∠B比∠C大30°，求∠B和∠C的度数。分析：根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°。设∠C=x，则∠B=x+30°，代入即可求解。解答：设∠C=x，则∠B=x+30°。∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=50°∴50°+(x+30°)+x=180°解得：x=50°∴∠C=50°，∠B=50°+30°=80°答：∠B为80°，∠C为50°。例2：全等三角形的判定与性质如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC。求证：BC=DE。分析：要证BC=DE，可考虑证明△ABC≌△ADE。已知AB=AD，AC=AE，只需再证夹角∠BAC=∠DAE即可。由∠BAE=∠DAC，等式两边同时加上∠CAE（或减去公共角，视图形而定），即可得到∠BAC=∠DAE。证明：∵∠BAE=∠DAC∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE（等式性质）即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中AB=AD（已知）∠BAC=∠DAE（已证）AC=AE（已知）∴△ABC≌△ADE(SAS)∴BC=DE（全等三角形对应边相等）例3：等腰三角形性质应用等腰三角形的一个内角是70°，求它的另外两个内角的度数。分析：等腰三角形的两个底角相等。题目中只说一个内角是70°，这个角可能是顶角，也可能是底角，因此需要分情况讨论。解答：情况一：70°的角是顶角。则底角=(180°-70°)÷2=55°另外两个内角为55°，55°。情况二：70°的角是底角。则另一个底角也是70°，顶角=180°-70°-70°=40°另外两个内角为70°，40°。综上所述，另外两个内角的度数为55°，55°或70°，40°。五、复习建议与易错点提示1.回归课本，夯实基础：期末复习的首要任务是将课本上的定义、性质、定理、公式等牢记于心，并理解其推导过程和适用条件。2.勤于思考，总结方法：对于典型例题和习题，要多思考解题思路，总结解题方法和规律。例如，证明线段或角相等，常考虑全等三角形；遇到等腰三角形，要想到“三线合一”等性质。3.重视错题，查漏补缺：将平时作业和测验中的错题整理出来，分析错误原因，及时进行订正和巩固，避免在考试中再犯类似错误。4.规范书写，减少失误：几何证明题要步骤清晰，因果明确；计算题要仔细认真，注意单位。5.易错点提示：*运用三角形三边关系时，容易忽略“任意”两边之和大于第三边。*全等三角形判定中，SAS的“夹角”容易误判为“任意角”。*等腰三角形“三线合一”性质的应用条件。*扇形统计图中，部分占总体的百分比与圆心角的转换。*考虑问题不全面，如等腰三角形中顶角与底角的分类讨论，三角形高的位置等。六、总结与展望同学们，今天我们对三角形、轴对称以及数据的收集